一維二元復式晶格的拓撲不變量與邊緣態

盧曼昕 鄧文基

(華南理工大學物理與光電學院,廣州 510641)

1 引 言

早在1980年代,有關量子霍爾效應[1]、量子泵浦[2]和幾何相位[3]的研究已經揭示了一些典型物理效用的拓撲特性.霍爾電導是嚴格量子化的,取決于磁場作用下二維電子氣中電子能帶的拓撲結構,不依賴樣品的大小、形狀和載流子密度甚至遷移率[4-7],泵浦電荷數由量子泵浦系統的陳數(Chern number)所決定[8,9],它們本質上都是量子系統周期絕熱演化過程中的幾何相位,又稱為Berry相位,并具有規范不變性[3,10,11].

最近十幾年,關于拓撲絕緣體的發現再一次引發了人們對量子系統拓撲特性的極大興趣[12-15],拓撲相關的科學研究迅速成為不同學科的研究熱點[16-19],邊緣態(edge state)、體拓撲不變量(bulk topological invariant)和體邊對應(bulk-edge correspondence)已成為拓撲物理學的基本概念[20-23].存在受拓撲保護的邊緣態被認為是拓撲絕緣體的主要特征,而電子能帶的拓撲不變量與邊緣態的對應關系通常都被歸結于系統的體邊對應[16],更深刻的認識則植根于調和分析與K-理論,涉及現代數學的重要進展[24].

在緊束縛近似下,本文系統地求解了一維二元復式晶格電子的能量本征值問題.如所周知[20],Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型[25]描述最簡單的拓撲絕緣體.不失一般性,一維二元晶格都可以簡化為Rice-Mele (R-M)模型[26],而SSH模型只是座能量為零的特例.由于空間反演對稱性破缺,座能量不為零的其他一維二元晶格都被認為是拓撲平庸的,其電子能帶的Zak相位不能作為描述拓撲相變和拓撲相的拓撲不變量[22,27].然而,只要原胞內兩原子之間的躍遷矩陣元小于最近鄰原胞間躍遷矩陣元,邊緣態不僅可以存在于SSH拓撲晶格,而且也可以存在于拓撲平庸的R-M晶格,且兩種類型的邊緣態都對非對角(躍遷矩陣元)無序是魯棒的.

本文第2節在緊束縛近似下系統地研究了一維二元晶格中電子的能量本征態,并根據推廣的布洛赫定理[28]獲得了有限晶格邊緣態的解析表達式;第3節計算了電子能帶的Zak相位和纏繞數(winding number),討論了邊緣態的存在性和魯棒性(robust);第4節是簡單小結.

2 緊束縛模型及其電子態

2.1 無限晶格

考慮無限長的理想一維二元晶格,每個原胞包含A和B兩個原子.在緊束縛近似下,電子的能量本征方程寫作[20]

其中E為能量本征值;εα表示格點α的座能量,對A和B兩種不同原子,可以分別取不同的數值εA和 εB;tαβ標記電子由格點 α到格點 β 的躍遷矩陣元;φα是電子波函數,α遍歷所有格點,對 β 的求和只包含格點α的左右最近鄰.不失一般性,A和B原子的座能量可設為 εA=V=-εB;躍遷矩陣元取正實數,原胞內和原胞間最近鄰原子的躍遷矩陣元分別記作 tv和 tw,如圖1(a)所示;為簡單起見,以原胞尺寸為長度單位,即相鄰的兩個同類原子的間距為 1 .所以一維二元復式晶格的緊束縛近似總是簡化為R-M模型[26];特別地,當A和B原子的座能量相同,即 V=0 時,退化為SSH模型[25].

根據布洛赫定理,一維二元復式晶格中電子的能量本征函數可普遍地假設為布洛赫行波,即

其中n為長鏈中的原胞序數;φA和 φB分別表示A和B子晶格上布洛赫波的復數振幅;k為布洛赫波矢,且可以限定 k ?[0,2π).代入(1)式可得

圖1 (a)R-M緊束縛模型,tv和 t w 分別表示原胞內和原胞間電子的躍遷矩陣元;(b),(c)分別為無限SSH晶格和R-M晶格的電子能譜;藍色實線和紅色點線分別取tv=tw=1和tv=0.8,tw=1.2,R-M晶格 V=0.2;(d),(e)分別展示包含15個原胞的有限SSH晶格和R-M晶格的能量本征值隨躍遷矩陣元的變化,tv=1+cosθ,tw=1-cosθ;當 tv＜tw時,兩者都涌現出一對邊緣態Fig.1.(a)Schematic diagram of tight-bonding R-M model,tvand t w denote the intracellular and intercellular hopping elements,respectively;(b)and (c)are energy spectrum of electron in infinite SSH model and R-M model,where the solid blue lines are drawn for tv=tw=1,and the red dot line for tv=0.8,tw=1.2,and V=0.2 for R-M model;(d)and (e)shown the eigen energies of electron in finite (15 cells)SSH lattice and R-M lattice varying with the hopping elements,tv=1+cosθ,tw=1-cosθ;for both of them,a couple of edge states emerge when tv＜tw.

能量本征值和本征函數分別為

和

值得指出的是,這一能量-波矢共同本征態波函數具有一個相位不確定性.

若V=0,R-M模型簡化為SSH模型,能量本征值和本征函數(4)和(5)式分別簡化為

和

其中幺模復數

由(4)式可知,R-M晶格中電子的能帶結構受tv,tw和V三個參數的調控,上下能帶之間的帶隙為

只有當V=0,即退化為SSH晶格時才能通過調節兩個躍遷矩陣元tv和tw的相對取值閉合能隙,實現量子拓撲相變,如圖1(b)和圖1(c)所示.

2.2 有限晶格

實際樣品均為有限晶格,拓撲能帶理論只考慮包含N個完整原胞的情形.如果忽略晶格的表面效應,將這樣一段原子鏈首尾相連,它與無限晶格的主要差別就是采用了周期性邊條件,即從而波矢取N個分離值,即

并以熱力學極限N→∞近似描述晶格的電子結構.由于存在受對稱性保護的邊緣態是拓撲絕緣體的主要特征,通常采取自然邊條件,假設電子被完全限制在有限晶格內,即

此時晶格的平移對稱性被破壞,電子的能量本征態不再是簡單的布洛赫波.

在采用推廣的布洛赫定理求解有限晶格能量本征態的新方案中[28],仍然假定波函數的試探解為(2)式的形式,但不再預設波矢取實數,即更一般地假設k=β+iα.代入本征方程(3)可得

顯然,為了確保能量本征值為實數,復波矢的允許值分成兩大類：或者波矢只有實部 β,虛部α=0;或者波矢可以具有非零的虛部α,但實部只能取特殊的值,即β=0 或者 π .

首先關注波矢為實數的情形.仍然得到(4)式的正負兩支能帶和(5)式中的對應波函數.對于有限晶格,還需保證波函數滿足邊條件(11)式.注意到能量本征值是波矢的偶函數,相向而行的兩個布洛赫波是能量簡并的,所以它們適當的線性疊加才可能給出有限晶格中擁有同一本征值的能量本征態.設

其中原胞序數n=0,1,2,···,N+1.代入(11)式可得

若tv=tw,它在區間[ 0,2π)內共有 2 (N+1)個實數解,其中僅有開區間 (0,π)內N個實波矢態可按(13)式疊加成有限晶格的2N個能量本征態,即

類似地,若tv＞tw,仍然可以按(15)式在開區間(0,π)內求得N個實波矢并按(13)式疊加成有限晶格的2N個能量本征態;但是,若tv＜tw,則方程(15)在開區間 (0,π)內 只有N-1 個實數解,且只能按(13)式疊加形成有限晶格的 2 (N-1)個駐波形式的能量本征態,缺失的兩個能量本征態的波矢必定具有非零的虛部.

考慮k=π +iα的情形,則由(12)式可得正負兩支能帶為

注意到E±(π-iα)=E±(π +iα),為了得到滿足邊條件(11)式的能量本征態,可設

其中n=0,1,2,···,N+1.代入(11)式可得

顯然,在 0＜tv＜tw的前提下,這個關于 α的超越方程的確存在一對實數解,并由(18)式得出一對能量本征態,即

作為對比,圖1(d)和圖1(e)分別展示了有限SSH晶格(V=0)和R-M晶格(V=0.2)中電子的能量本征值隨原胞內躍遷矩陣元tv和原胞間躍遷矩陣元tw的變化方式.為圖中曲線不要過分密集,晶格只包含了15個完整原胞,僅30個原子.注意到這個二能帶結構取決于兩個躍遷矩陣元的比值tv/tw,可采用一個參量 0≤ θ≤π 描述全部可能情形,即tv=1+cosθ,tw=1-cosθ.值得關注的是,無論是SSH拓撲晶格還是反演對稱性破缺的R-M拓撲平庸晶格,當θ變化跨越θ=π/2的臨界點都涌現一對邊緣態,即在射線tv=tw將tv-tw平面分割為不同的兩相,若 0≤tv＜tw則存在邊緣態,若 0≤tw＜tv則無邊緣態.圖2進一步給出了有限R-M晶格中典型能量本征態波函數的數值計算結果,它們與根據推廣的布洛赫定理求得的解析解完全吻合.

圖2 一維二元有限晶格的邊緣態(其中30個原胞數包含60個格點,參數取θ=0.58π,即tv=0.75,tw=1.25)(a)有限SSH晶格V=0,兩個邊緣態都同時出現在晶格的兩端,它們的本征能量都逼近于零;(b)有限R-M晶格V=0.2,紅色空心圓和藍色實心圓點分別表示逼近上能帶底和下能帶頂兩個邊緣態,分別局域在晶格的左右端Fig.2.Edge states of electron in one-dimensional two-tile finite lattice;the parameters are taken as 30 cells (60 atoms),θ=0.58π,i.e.tv=0.75,tw=1.25 ：(a)V=0 for SSH lattice,the eigen-energy values of the two edge states approach to zero,and each of the edge states appears at two ends of the lattice;(b)V=0.2 for R-M lattice,the red hollow circles stand for the edge state near the upper band,the blue solid dot for the edge state near the lower band;one of them is localized at the left end,and the other at the right end.

3 拓撲不變性與邊緣態

拓撲學主要研究幾何對象在連續變換下保持不變的特性,即拓撲不變量.拓撲能帶理論以絕緣體哈密頓量的絕熱變型(adiabatic deformation)過程中保持不變的物理量如陳數、幾何相位或纏繞數等來區分和定義系統不同的拓撲相;受對稱性保護的邊緣態也常常被認為是拓撲相的標志[16-22].

3.1 Zak相位

Zak相位是Berry相位在晶格電子能帶問題的重要推廣,能帶n的Zak相位定義為[11,22]

其中φn(k)≡φn(k)e-ikn和(k)分別表示布洛赫波的調制振幅及其厄米共軛,波矢k的積分覆蓋布里淵區,包含該能帶中的全部能量本征態.Zak相位可用于描述一維周期晶格能帶的拓撲特性,通常認為Zak相位取 0 的電子能帶是拓撲平庸的,若非零且為 π 的整數倍才是拓撲能帶;并且無限晶格的拓撲能帶總伴隨著有限晶格的邊緣態.

將(7)式代入(22)式,計算可得SSH晶格上下能帶的Zak相位相等,即

其中,±分別表示上下能帶,Δarg (dk)表示在波矢k由0到2π的變化過程中,復數dk幅角的增量.注意到這一增量正比于復平面內復數dk圍繞原點的纏繞數,不難得到

若tw=tv,則SSH晶格的二聚化消失,退化為簡單原子鏈.

將(5)式的布洛赫波函數代入(22)式,可得R-M晶格上下能帶Zak相位,即

并且

但由于空間反演對稱性破缺,不能保證R-M晶格Zak相位的取值為0或 π 的整數倍.如圖3所示,SSH晶格的Zak相位只取 0 和 π 兩個分離值,作為拓撲不變量分別標志拓撲平庸相和拓撲相.與此不同,隨著躍遷矩陣元相對取值tv/tw=cot2(θ/2)的變 化,R-M晶 格 的γ+和γ-可 以 連 續 改 變;若以Zak相位作為拓撲不變量,則座能量變化的一維二元晶格都將被認為是拓撲平庸的,盡管γ+在tv=tw臨界點發生不連續躍變,且伴隨著能隙內一對分別靠近導帶底和價帶頂的邊緣態的涌現.

圖3 一維二元晶格的Zak相位隨躍遷矩陣元的變化,其中紅線表示SSH模型的Zak相位,且γ+=γ-;黑色實線和虛線分別是R-M晶格(V=0.2)上下能級的Zak相位γ+ 和 γ-Fig.3.Zak phases variation with the hopping elements and site energy.The red line presents the Zak phase for SSH model,andγ+=γ-.For the R-M lattice withV=0.2,the black solid line and dotted line showγ+ andγ-,respectively.

3.2 纏繞數

纏繞數是刻畫SSH模型電子能帶拓撲性質的另一個常用的拓撲不變量[20,22].由能量本征方程(3)可得R-M模型的體哈密頓量,即

其中,三維矢量d(k)≡(tv+twcosk,twsink,V);σ≡(σx,σy,σz)為贗自旋的泡利矩陣,描寫原胞內A和B格點的自由度;若V=0 則退化為SSH模型.(27)式中哈密頓量的能量本征態是贗自旋空間中沿d(k)方向(或反方向)的單位矢量,即=d/|d|,而它繞贗自旋空間z軸的纏繞數可以定量地表述為[22]

如所周知,隨波矢k由0連續變化增大到 2π,平面矢量dxy(k)≡(tv+twcosk,twsink,0)繞原點的纏繞數可以描述SSH能帶的不同拓撲相：若tv＞tw則纏繞數為 0,能帶是拓撲平庸的;若tv＜tw則纏繞數為 1,能帶是拓撲的.與采用Zak相位給出一致的結論.

方程(15)和(20)是否存在虛數波矢解完全由(8)式中的幺模復數dk所決定,R-M晶格存在邊緣態的充分必要條件仍然是tv＜tw,與座能量V的取值無關.所以平面矢量dxy(k)繞原點的纏繞數,或者矢量d(k)繞贗自旋空間z軸的纏繞數可作為R-M晶格存在邊緣態的判據：若纏繞數由 0 變到1,則有限一維二元晶格帶隙中涌現一對逼近導帶底和價帶頂的邊緣態.

3.3 邊緣態的魯棒性

拓撲穩定性是邊緣態的重要性質.考慮雜質或無序對電子態的影響和改變,是檢驗其魯棒性的簡單方法.注意到一維二元有限晶格總可以涌現一對邊緣態,有必要比較雜質或無序對SSH邊緣態和R-M邊緣態的不同影響.

圖4 非對角無序對能譜和邊緣態的影響(非對角無序的幅度為ξ=0.5,躍遷矩陣元tv=0.75,tw=1.25)(a),(b)分別是包含15個原胞的有限SSH晶格和R-M晶格的能譜;(c),(d)分別是包含30個原胞的有限SSH晶格和R-M晶格的邊緣態Fig.4.Effects of non-diagonal disorder on the energy spectrum and the edge states.The strength of the off-diagonal disorder is taken ofξ=0.5,hopping elementstv=0.75,tw=1.25 .Panels (a)and (b)present the spectrums of finite SSH lattice and R-M lattice consist of 15 unit cells,respectively;(c)and (d)show the edge states of electron in the finite SSH lattice and the R-M lattice of 30 unit cells.

4 結 論

結合數值與解析的方法求解了一維二元復式晶格電子能量本征值問題,包括得到有限晶格邊緣態的解析表達式.在有限晶格中,電子的布洛赫波矢不必一定為實數,其能量本征態是能量簡并的布洛赫態的疊加態,它們大多仍然是遍布體內的駐波態,但在tv＜tw條件下將涌現一對局域于晶格端點的邊緣態.

與SSH有限晶格一樣,在tv＜tw條件下,R-M有限晶格也可以涌現出一對邊緣態.盡管與SSH邊緣態對稱地局域分布于晶格兩端有所不同,兩個R-M邊緣態分別局域分布于有限R-M晶格的兩端,但它們對非對角無序具有類似的魯棒性.雖然空間反演對稱性破缺的R-M晶格是拓撲平庸的,其Zak相位和纏繞數都不再是拓撲不變量,但纏繞數仍然可以作為其對應的一維二元晶格存在邊緣態的一般判據.