磁場壓縮波動幅度對衛星磁強計零位標定影響的數值仿真

王國強，潘宗浩，胡小文，劉 凱，孟立飛，易 忠，張鐵龍

（1.哈爾濱工業大學（深圳） 空間科學與應用技術研究院，深圳 518055； 2.中國科學院 月球與深空探測重點實驗室，北京 100101； 3.中國科學技術大學 地球和空間科學學院，合肥 230026；4.北京衛星環境工程研究所，北京 100094； 5.奧地利科學院 空間研究所，格拉茨 A-8042）

0 引言

精確的磁場測量對揭示磁重聯和地球磁層動力學過程等空間現象具有重要意義[1-6]。衛星上的磁通門磁強計測量的磁場包含衛星剩磁、磁強計零位偏移和自然磁場[7-9]，為精確獲得自然磁場，需要從磁強計所測的磁場中剔除衛星剩磁和磁強計的零位偏移[10]。衛星剩磁可進一步分為動態磁場和穩態磁場，其中穩態磁場變化較為緩慢，故可將其和磁強計的零位偏移一起視為磁強計的零位補償[11]；動態磁場可采用雙點測量法予以剔除[12]。磁通門磁強計在磁場強度為0的環境下會存在一個偏差，其補償值在衛星發射之前應進行校正[11]；但在衛星發射升空之后，磁強計的零位補償值會因為電子器件溫度變化或老化等因素而發生緩慢改變，所以需要對該補償值進行在軌標定。

空間環境中存在著大量的磁流體力學波動[13-14]，其中磁場壓縮波動會改變總磁場的強度，而剪切阿爾芬波動不會改變總磁場強度[15]。利用阿爾芬波動的這一特性，基于所選時段的行星際空間磁場波動是阿爾芬波動的假設，Belcher方法[16]、Hedgecock方法[17]和Davis-Smith方法[18]等獲取磁通門磁強計零位補償的方法被提出。其中，Davis-Smith方法是使磁場幅度平方的方差最小化，被認為是目前深空探測中磁強計在軌標定的最優方法[19]。

行星際空間中存在大量磁場波動，但沒有純的阿爾芬波動[19]。為確保Davis-Smith方法計算零位補償的可靠性，需要篩選出阿爾芬特性足夠好的行星際磁場數據時段。為此，Leinweber等人[19]對數據窗口的篩選提出了3個準則：1）磁場剪切擾動需要繞多個非平行軸有顯著的旋轉；2）磁場壓縮擾動整體上處于較低的水平；3）磁場矢量中的任一分量與總磁場的平方滿足較強的線性關系。其中，磁場壓縮擾動大小的控制采用的是經驗值。

近期的研究表明，磁場波動的頻率和幅度等對采用Davis-Smith方法計算磁強計零位補償的誤差有顯著影響[20-21]。本文通過數值仿真研究在不同頻率和幅度下的剪切阿爾芬波動對采用Davis-Smith方法計算磁通門磁強計零位補償誤差的影響，給出磁場壓縮擾動處于較低水平的參考值，以期提高深空探測中磁通門磁強計的在軌標定精度。

1 Davis-Smith 方程

采用相關性分析可推導出Davis-Smith方程[19]。在數學上，若變量x和y是獨立的，即x和y不相關，則其協方差Sxy= 〈xy〉-〈x〉〈y〉=0。設BM=(B1,B2,B3)為磁強計測量到的磁場，BA=(BA1,BA2,BA3)為自然磁場，O=(O1,O2,O3)為零位補償，則有：

不論阿爾芬波動中的磁場擾動幅度有多大，其總磁場強度是不變的，即磁場各分量（BA1、BA2或BA3）與總磁場強度的平方（|BA|2）都不相關，于是有：

將式(1)代入方程(2)～(4)之后，將磁補償放置于其中一邊，可得：

方程(5)左邊是一個協方差矩陣，它與磁補償O之間是相互獨立的。將減去各自的平均值后記為，于是有

2 數值仿真

如果磁通門磁強計所測磁場BM為自然磁場，那么磁強計的真實零位補償值為0；此時將所測磁場BM代入Davis-Smith方程后計算出來的結果即為磁強計零位補償的誤差。本文采用數值仿真分析，設定好磁場BM的時間序列后，代入到Davis-Smith方程分析磁場壓縮擾動的相對幅度對磁強計零位補償誤差的影響。

2.1 單頻波動

近期的研究結果表明，如果在數據窗口中磁場壓縮波動的周期和剪切阿爾芬波動的周期相同，則阿爾芬波動的相關參數（如周期和幅度）會對Davis-Smith方程計算磁通門磁強計的零位偏移量的精確度產生顯著影響[21]。首先分析剪切磁場波動只出現在x和y分量上的情況，并引入一個小幅度的磁場壓縮波動。設定磁場x、y分量和總磁場的剪切波動為：

其中：A為磁場剪切波動的幅度；ωc為壓縮波動的角頻率，取ωc=0.105 rad/s（或周期TA=1 min）。數據分辨率為1 s，數據窗口時間長度為10TA。

將上述磁場代入Davis-Smith方程后，計算得到磁強計零位補償的誤差如圖1所示，其中ΔO1、ΔO2和ΔO3分別代表Bx、By和Bz分量的零位補償誤差，A以步長 0.1 nT 從 0.5 nT 增加到 8 nT。可以看到，ΔO3的幅度比ΔO1和ΔO2的大了約1個數量級。對于方程(7)～(9)所設置的波動而言，即使磁場壓縮波動的幅度很小，磁場的零位補償誤差也是非常顯著的；當A=1 nT時，ΔO1和ΔO2的值都大于 50 nT；當A=2 nT時，磁場 3個分量的補償誤差值顯著減小，ΔO1、ΔO2和ΔO3均隨著A的增加而減小并趨于0。行星際空間中的磁場強度典型值在10 nT附近，而圖1中的零位補償誤差最大可達到幾十至幾百nT。近期的研究表明，當壓縮波動的周期和剪切波動周期相同且是單頻波動的情況下，零位補償的計算會出現顯著誤差，特別是在壓縮波動占主導的磁場分量上[21]。該研究結果可解釋圖1中出現的顯著的零位補償誤差值。

圖1 Davis-Smith方程計算出的零位補償誤差與阿爾芬波動幅度的關系Fig.1 The relation between the magnetometer offset and the amplitude of the Alfvén wave based on Davis-Smith method

2.2 Bx包含與壓縮波相同頻率的波動

由圖1可見，當阿爾芬波動為單頻波動且周期和磁場壓縮波動相同時，由Davis-Smith方程計算出的磁強計零位補償誤差非常顯著。為了減小該誤差，在方程中引入多個不同周期的磁場擾動，并使總磁場擾動與方程(9)保持一致，設定磁場x、y分量和總磁場隨時間的變化為：

其中參數d用于控制Bx分量中和壓縮波動頻率相同的磁場波動的幅度。在式(10)、(11)中所引入的其他頻率的磁場波動的參數具有一定的隨機性，但這便于分析各分量磁場波動相對壓縮波動的幅度對零位補償誤差的影響。

為量化磁場各個分量的波動幅度，定義數據窗口中各磁場分量的平均波動幅度為該磁場分量的標準偏差。的值用于描述磁場波動的總平均波動幅度SA，其中SBx、SBy和SBz分別為磁場x、y和z分量的平均波動幅度。總磁場BT的標準偏差SBT可視為壓縮波動的平均波動幅度。行星際空間中不存在純的剪切阿爾芬波動，并且很難將阿爾芬波動和壓縮波動嚴格地從磁場擾動中分離出來。因此，定義R=SA/SBT為磁場波動與壓縮波動平均波幅度之比，R值越大則表明阿爾芬波動的相對幅度越大。當參數d=0.1 nT時，將磁場剪切波動幅度A從初值0.1 nT開始按步長0.1 nT增加；A每改變1次，都將磁場各分量Bx、By和Bz代入Davis-Smith方程中計算出其零位補償誤差，它們隨R值的變化如圖2所示。由圖可見：By和Bz分量的零位補償誤差ΔO2和ΔO3隨著R值的增加而減小，并逐漸趨于0。在R=5時，ΔO2和ΔO3減小得最快；當R＞10時，ΔO2和 ΔO3減小至 0.5 nT 以下，且減小的趨勢趨于緩和；同時，Bx的零位補償誤差ΔO1隨著R值的增加呈現出先快速增加至約3 nT，然后緩慢減小至2.5 nT的走勢。

圖2 Bx包含與壓縮波相同頻率的波動時，磁場3個分量的零位補償誤差隨R值的變化關系（d=0.1 nT）Fig.2 The relation between the error of the magnetometer offset and the relative wave amplitudeRwhen theBx fluctuations contain the same frequency as the compressional wave (d=0.1 nT)

將方程(10)～(12)中參數d的值增加到1 nT后，采用和圖2相同的處理方法，獲得磁場3個分量的零位補償誤差如圖3所示。對比圖2和圖3可見：由于參數d值的增加，圖3中R的起點明顯比圖2中的大；By和Bz分量的零位補償誤差ΔO2和ΔO3的大小和變化趨勢和圖2中的基本一致；Bx分量的零位補償誤差ΔO1明顯比圖2中的小，且圖3中的ΔO1隨R值的增加緩慢減小并趨于0.5 nT。由此說明，當增加Bx分量中和壓縮波動頻率相同的波動的幅度時，可減小該磁場分量的零位補償誤差。此外，當R值增加到10時，磁場3個分量的零位補償誤差已顯著減小。

圖3 Bx包含與壓縮波相同頻率的波動時，磁場3個分量的零位補償誤差隨R值的變化關系（d=1 nT）Fig.3 The relation between the error of the magnetometer offset and the relative wave amplitudeRwhen theBxfluctuations contain the same frequency as the compressional wave (d=1 nT)

2.3 Bx和By中不包含與壓縮波相同頻率的波動

接下來，設定Bx和By分量中不包含與壓縮波動相同頻率的波動，并設置磁場x、y分量和總磁場隨時間的變化為：

圖4所示為d=0.1 nT時磁場3分量的零位補償誤差隨R值的變化關系。由圖可見：磁場3個分量的零位補償誤差都呈現出隨著R值增大而減小并趨于0的趨勢，Bz分量的零位補償誤差ΔO3明顯比另外2個分量的補償誤差ΔO1和ΔO2大，這可能與該分量包含了與壓縮波動頻率相同的波動有關；在R=5附近，磁場3個分量的零位補償誤差衰減速度最快；在R=10附近，各分量的零位補償誤差在0.5 nT附近或小于0.5 nT，減小趨勢也趨于緩和。

圖4 Bx和By中不包含與壓縮波相同頻率的波動時，磁場3個分量的零位補償誤差隨R值的變化關系（d=0.1 nT）Fig.4 The relation between the error of the magnetometer offset and the relative wave amplitudeRwhen theBxandByfluctuations do not contain the same frequency as the compressional wave (d=0.1 nT)

為考察Bx分量幅度對零位補償誤差的影響，取d=1 nT時零位補償誤差隨R值的變化關系如圖5所示。對比圖4和圖5可見：圖5中各分量的零位補償誤差變化趨勢和圖4中的是一致的；當R＞7時，圖5中各分量的零位補償誤差大小和圖4中的近似相等；在R=10附近，各分量的零位補償誤差值都在0.5 nT附近或小于0.5 nT，其變化趨勢也趨于緩和。

圖5 Bx和By中不包含與壓縮波相同頻率的波動時，磁場3個分量的零位補償誤差隨R值的變化關系（d=1 nT）Fig.5 The relation between the error of the magnetometer offset and the relative wave amplitudeRwhen theBxandByfluctuations do not contain the same frequency as the compressional wave (d=1 nT)

3 結論

本文通過數值仿真分析了在不同的磁場波動頻率和幅度條件下用Davis-Smith方法計算磁強計零位補償的誤差變化趨勢。主要結論如下：

1）若數據窗口中的磁場波動為單頻波動，且其頻率與壓縮波動頻率相同，則零位補償誤差非常顯著；當數據窗口中的磁場波動為寬頻波動時，如果某一磁場分量包含與壓縮波動頻率相同的波動，則該分量的零位補償誤差值會相對較大。

2）磁場各分量的零位補償誤差隨著總磁場相對平均波動幅度R的增加而趨于減小；當R=5～10時，零位補償誤差的減小幅度最快；在R＞10時，零位補償誤差已顯著減小，且變化趨勢也趨于緩和。

以上仿真結果表明，在對深空探測衛星的磁通門磁強計進行在軌標定時，應選擇幅度較大的寬頻阿爾芬波動；而壓縮波動的頻率盡可能是窄帶的。本文建議磁場壓縮擾動處于較低水平的參考值為R=5～10，且R值越大，零位補償誤差越小。