基于XFEM的加筋板動態裂紋擴展研究*

彭 英 楊 平 柯葉君 姜 偉

(武漢理工大學交通學院1) 武漢 430063) (高性能船舶技術教育部重點實驗室2) 武漢 430063) (華中科技大學土木工程與力學學院3) 武漢 430074)

0 引 言

在極端惡劣海況以及碰撞、地震等突發事件中，船舶與海洋結構物所承受的環境載荷必須按動態載荷處理.加筋板結構作為船舶與海洋結構中的基本結構，由于其重量輕、結構效率高和止裂效果好等優點而被廣泛應用.然而，由于焊接或應力集中，在加強筋與板相連的區域容易萌生裂紋.焊接結構由于其整體性，一旦產生裂紋，裂紋擴展將不受阻止直至整個構件斷裂，因此，研究加筋板結構中的裂紋在動態載荷下的起裂、擴展和止裂是一項極具意義及挑戰性的工作.

目前用于模擬裂紋擴展的方法較多，主要有：傳統有限元法+自適應網格[1]、虛擬裂紋閉合技術(VCCT)[2]、節點力釋放方法[3]及單元間內聚力模型[4]等，這些方法都具有一定的局限性，比如，伴隨裂紋擴展必須不斷進行網格重構、裂紋擴展路徑必須預先給定、裂紋只能沿著單元邊界擴展、計算成本偏高等.而擴展有限單元法(XFEM)[5-6]的核心思想是用擴充的帶有不連續性質的形函數來代表計算域內的間斷，在計算過程中對不連續場的描述可以完全獨立于網格邊界，因此，應用XFEM模擬裂紋擴展時，無需進行網格重構，并可模擬裂紋沿任意路徑擴展.

本文基于XFEM，采用有限元軟件ABAQUS對含裂紋加筋板結構的動態裂紋擴展過程進行了系列數值模擬研究，并分析了網格尺寸、加強筋高度和裂紋長度對裂紋擴展過程的影響，得到加筋板動態裂紋擴展的一些規律，可為實驗及實際工程提供一定的參考依據.

1 基本理論

XFEM的基礎是單位分解(partition of unity)，通過對標準近似場添加階躍函數和裂尖函數兩種擴充形函數以對未知場進行更精確的描述，見圖1a).由于這種混合增強不易并入瞬態解法中，因此，在動態應用中為避免裂尖增強，使裂尖只在單元邊界之間移動，即每次裂紋擴展都會貫穿整個單元，從而可以只采用階躍增強函數描述不連續場，見圖1b)，其位移場uh(x)可以表示為

式中：N為有限元網格所有節點的集合；ΦI(x)為標準有限元的形函數；uI為標準節點自由度；NΓ為被裂紋完全切斷的單元節點的集合；H(x)為階躍函數；aI為節點附加自由度.

圖1 二維裂紋中節點擴充方案

2 含裂紋加筋板的有限元模型

選取文獻[8]中的含裂紋加筋板作為本文的計算模型，板長a=3 400 mm、寬b=850 mm、厚tp=22 mm，筋高hw=250 mm、厚tw=25 mm.加強筋與板的材料相同，均為各向同性、線彈性，彈性模量E=205.8 GPa，泊松比ν=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3，最大主應力為84.4 MPa，臨界應變能釋放率GⅠc=GⅡc=GⅢc=42.2 N/mm.裂紋處于板的中間位置，并關于加強筋對稱，其初始長度2c=250 mm.含裂紋加筋板橫向受到拉伸三角形載荷p(t)作用，載荷峰值pm=100 MPa，持續時間t=1 ms，見圖2.模型選用C3D8R單元，網格平均尺寸為25 mm，沿板和筋的厚度方向均布置2個單元，具體見圖3.

圖2 三角形沖擊載荷

圖3 含裂紋加筋板的XFEM模型圖

裂紋面間的接觸行為采用軟件默認值，即切向無摩擦、法向“硬接觸”.斷裂準則主要包括損傷起始準則和損傷演化律，需要給定的參數有：最大主應力、臨界應變能釋放率、斷裂準則因子的誤差系數，以及黏聚裂紋黏性系數[9].圖3的加筋板模型中裂紋為Ⅰ型裂紋，因此損傷起始準則采用牽引分離損傷法(damage for traction separation laws)的最大主應力準則(maxps damage)，斷裂準則因子的誤差系數取默認值0.05.損傷演化采用基于能量的、線性軟化的、混合模式的指數損傷演化律(power law)，指數α=1.由于裂紋擴展問題屬于強間斷、強非線性問題，為了提高求解過程的收斂性，取黏性系數為5×10-5，并且增大迭代計算中允許的嘗試步數和每步允許的迭代次數.此外，在模型輸出定義中需要選定裂紋面水平集函數(PHILSM)及裂紋擴展狀態參量(STATUSXFEM)，以在后處理中可以顯示裂紋位置和擴展情況.

圖4為加筋板內裂紋的擴展過程，圖中的應力云圖為von Mises應力，取變形比例因子為100.

圖4 加筋板內裂紋的擴展過程圖

由圖4可知，加筋板右端受沖擊載荷作用后，應力波從右端逐漸向左端傳播，當時間t=0.535 56 ms時，裂紋首先向加強筋中開始擴展，起初裂紋擴展較慢，幾個時間步長裂紋才能向前擴展一個單元，長度約為25 mm；當時間t=0.552 58 ms時，裂紋在板中同時向兩端各擴展一個單元；當時間t=0.696 75 ms時，裂紋同時向加強筋和板中各擴展一個單元；在時間t=0.733 37 ms之后，裂紋擴展速度明顯加快，幾乎每個時間步長裂紋都在板與加強筋之間交替擴展；在時間t=0.845 04 ms時，裂紋向加強筋中擴展一個單元，之后裂紋停止擴展.

3 影響參數分析

針對圖3中的計算模型，采用XFEM計算不同的網格尺寸、不同的加強筋高度和不同的裂紋長度下的裂紋擴展過程.每次只研究單一因素的影響，其他參數保持不變.

3.1 網格尺寸的影響

在ABAQUS軟件中，XFEM計算動態裂紋擴展時并未引入裂尖增強函數，每次裂紋擴展都會貫穿整個單元，為避免因單個時間增量步裂紋擴展距離過大而導致計算誤差，需要驗證網格尺寸對計算結果的影響.分別選取粗、中、細三種網格進行分析，具體網格尺寸見表1.

表1 網格尺寸、裂紋擴展單元數、t1及t2

圖5為不同網格尺寸下裂紋開始擴展和停止擴展時的von Mises應力云圖，裂紋開始擴展的時間t1、停止擴展的時間t2，以及擴展的單元數分別列于表1中.對比圖4和表1可知，隨著網格加密，裂紋開始擴展的時間提前，停止擴展的時間推遲，裂紋擴展長度逐漸減小，并且在板中擴展長度的差別比加強筋中的大，但是裂紋擴展的趨勢基本相同，都是首先往加強筋中擴展，其后在板中同時向兩端擴展，如此在筋板中交替擴展(有時又會在筋板中同時擴展)，直至最終停止擴展.對于本文中的算例，取中等密度網格，即平均尺寸為25 mm，所描述的裂紋擴展過程與細網格已十分接近，其計算結果是可以接受的.

圖5 不同網格尺寸下裂紋開始及停止擴展時的應力云圖

3.2 加強筋高度的影響

為了說明加強筋對板中裂紋擴展的影響，保持平均網格尺寸25 mm不變，分別取加強筋高度hw=200，250，300 mm進行計算.圖6為不同加強筋高度下裂紋開始擴展和停止擴展時的Von Mises應力云圖，裂紋開始擴展的時間t1、停止擴展的時間t2以及擴展的單元數見表2.

表2 裂紋擴展單元數、t1及t2(ms)(不同筋高)

圖6 不同筋高下裂紋開始及停止擴展時的應力云圖

由圖4和表2可知，隨著加強筋高度的增加，裂紋開始擴展的時間延遲，并且裂紋在板中擴展的單元數明顯減小，說明加強筋可以有效地減弱板上裂紋尖端的應力集中，加強筋越強，越有助于提高板的抗裂性能.

3.3 裂紋長度的影響

分別取初始裂紋長度2c=150，250，350 mm，計算具有不同長度的裂紋在沖擊拉伸載荷下的擴展過程，圖7為不同裂紋長度下裂紋開始擴展和停止擴展時的von Mises應力云圖，裂紋開始擴展的時間t1、停止擴展的時間t2，以及擴展的單元數見表3.對比圖4和表3可知，隨著裂紋長度的增加，裂紋開始擴展的時間提前，并且裂紋擴展的單元數明顯增加.當2c=350 mm時，在時間t=0.835 90 ms時板上裂紋發生貫通.說明增大裂紋長度，裂紋尖端的應力集中會隨之增大，在同樣的載荷條件下裂紋更容易發生擴展，甚至發生貫通，這在實際工程結構中是相當不利的.

圖7 不同裂紋長度下裂紋開始及停止擴展時的應力云圖

2c/mmt1/mst2/ms150340.599 990.842 89250660.535 560.845 043501060.511 070.835 90

4 結 論

1) XFEM可以在規則網格上模擬裂紋沿任意路徑擴展而無需對模型進行網格重構，處理斷裂問題具有極大優勢.

2) 在動態裂紋擴展過程中，每次裂紋擴展都會貫穿整個單元，隨著網格加密，裂紋開始擴展的時間提前，停止擴展的時間推遲，并且裂紋擴展的長度逐漸減小，但裂紋擴展的變化趨勢基本相同.

3) 對于含裂紋加筋板結構，由于加強筋對板的約束作用，裂紋開始擴展的時間隨加強筋高度的增大而延遲，并且裂紋在板中擴展的單元數明顯減小.

4) 裂紋長度對動態裂紋擴展具有顯著影響。隨著裂紋長度的增加，裂紋開始擴展的時間提前，并且裂紋擴展的單元數明顯增加，甚至在板中裂紋會發生貫穿.