基于SVM的連續剛構橋施工階段及使用階段可靠度研究*

林友楊 王向陽 關舒元 吳 瓊

(湖北省交通規劃設計院股份有限公司1) 武漢 430051) (武漢理工大學交通學院2) 武漢 430063)

0 引 言

連續剛構橋在橋梁可靠性分析時，由于結構自身構造及作用荷載的復雜性，其功能函數往往為高度非線性的隱式函數，用傳統的可靠度求解方法計算量大，求解過程繁雜.

針對這種情形，國內外許多學者開始尋找一種新的替代模型來求解結構的可靠度，避免對非線性的隱式功能函數求導，Kaymaz等[1-2]在研究結構可靠性時，將Kriging模型引用進來代替結構的隱式功能函數；Gomeso等[3-4]為了解決結構中不能被顯性表達的極限狀態方程，利用人工神經網絡的方法來對結構極限狀態方程進行模擬，避免直接對其求導的問題.

文中將支持向量機[5-6](support vector machines，SVM)運用到橋梁結構可靠性分析的領域中，有效地代替不能被顯性表達的極限狀態方程.與其他替代模型相比，其優點在于樣本學習的能力以及泛化性能比較突出，在訓練樣本比較少的情況下也可以對結構極限狀態方程進行真實的模擬，從而解決了工程結構中失效模式的極限狀態方程不能被顯性表達的問題.

1 支持向量機理論

若是已知樣本數據：(xi,yi)，i=1,2,…,l，xi∈Rn，yi∈{+1,-1}，其線性判別函數一般形式為

f(x)=(ω·x)+b

(1)

相應的分類超平面方程為

(ω·x)+b=0

(2)

式中：(ω·x)為兩個向量的內積.

為了能使訓練樣本數據滿足|f(x)|≥1，則需要對式(1)進行歸一化處理，此時與分類超平面最近的樣本有f(x)=1，在對訓練樣本進行分類時，若想做到不出現誤差，則需要符合：

yi[(ω·xi)+b]-1≥0，i=1,2,…,l

(3)

經過歸一化處理后的分類間隔就轉化為2/‖ω‖，將分類間隔最大化就相當于計算出最小的‖ω‖2.

通過上述的分析，尋找最優分類超平面可以表述為下列問題：

(4)

從式(4)中可以知道所要求解的目標函數是一個凸函數，其中的約束條件也是一個凸集，對于這種優化問題可以稱之為凸二次規劃，通常對這種問題的求解是采用Lagrange乘子法.于是，將Lagrange函數定義為

(5)

式中：αi≥0為Lagrange乘子.在對式(5)進行最小值計算時，分別對ω、b、αi求偏導，并且令偏導值為0，則得：

(6)

通過結合式(4)以及式(6)，可以推導出以下尋優問題：

(7)

若存在唯一最優解αi*，則有：

(8)

在所有訓練樣本數據中，能夠滿足αi*不等于0的那一部分，就是決定最優分類面的支持向量.通過約束條件αi[yi(ω·xi+b)-1]=0可以計算得到分類閾值b*.對于最優分類超平面函數可以詳細的描述成：

(9)

為了解決在計算過程中樣本數據不能被完全準確分離開來的問題，可以將非負松弛因子ξi引入到約束條件中來，它是用來容許在分類過程中產生的錯誤樣本.因此前文分析過程中的分類超平面(ω·x)+b=0需符合：

yi[(ω·xi)+b]≥1-ξii=1,2,…,l

(10)

當ξi≥1時，訓練樣本xi分類錯誤；當0<ξi<1時，訓練樣本xi分類正確.在對原尋優目標‖ω‖2/2的計算過程中，可添加懲罰項ξi，從而轉化為

(11)

由式(11)可知，要使得目標函數值最小，就需要讓‖ω‖2和ξi最小化，目標函數中的參數C代表的是非負松弛因子在整個求解過程中所占的權重，此時式(7)可修改為

(12)

通過上述推導過程可知，無論是對目標函數(7)或(11)的優化還是求解最優分類超平面，這一過程都只和訓練樣本的內積運算(xi·xj)相關.將訓練樣本數據進行非線性變換后，則在高維空間中就只有(Φ(xi)·Φ(xj))出現，不會產生單獨的Φ(xi).因此要是能有一個函數K使得K(xi,xj)=(Φ(xi)·Φ(xj))，則訓練樣本數據就可以直接在高維特征空間中進行內積運算，構建最優超平面.能夠實現上述過程的函數“維數災難”稱為核函數，依據泛函相關原理，K(xi,xj)需要滿足Mercer條件.

因此在求解最優分類超平面時，只用通過相應的核函數K(xi,xj)就可以將訓練樣本數據從非線性分類轉變成線性分類，相比于沒轉換之前，求解的過程也并沒有因此而變得復雜，此時尋優目標函數(7)或(11)轉換成：

(13)

相應的最優分類超平面函數也轉換成：

(14)

2 算例分析

結構的極限狀態方程[7]為

X=exp(0.4X1+7.0)-exp(0.3Z2+5.0)-200=0

式中：變量X1，X2相互獨立，均服從標準正態分布.采用支持向量機分類算法對該算例進行可靠度計算，首先采用LHS方法抽取10組訓練樣本，每組1 000個.然后根據每組的訓練樣本建立可以擬合該結構極限狀態方程的SVC替代模型，最后結合蒙特卡洛法隨機抽樣105次，求解出10組可靠指標值，結果見圖1.圖中的可靠指標精確值是根據結構真實極限狀態方程，采用響應面法所求得.

圖1 SVC-MCS法所得可靠指標結果圖

為了驗證該方法在計算結構可靠度上的準確性，將上述計算的10組計算結果取均值，以此作為該方法最終所求結果，并將其與響應面法(RSM)、蒙特卡洛法(MCS)及一次二階矩法(FORM)計算結果進行對比，各方法所求結構可靠指標值以及失效概率見表1，其中以RSM法計算結果作為參考值，則可以分析得到本文方法所求結果與參考值之間的相對誤差.

表1 可靠指標與失效概率

SVCMCSFORMRSM/%2.722 62.688 82.709 92.710 20.460.003 20.003 60.003 40.003 40.06

由表1可知，采用本文方法所求結構可靠指標值與其他幾種方法計算所得結果相差無幾，表明擬合得到的SVC模型對結構極限狀態方程的重構效果良好，利用該方法所求結構可靠度也滿足實際工程精度的需要.3 橋梁結構可靠度分析

3.1 橋梁有限元模型

3.1.1工程概況

黃石市富水河大橋的橋跨布置為三跨70 m+120 m+70 m預應力混凝土連續剛構橋，全橋長260 m，主墩采用雙板式墩配承臺，邊墩采用實板式墩配承臺.橋梁上部結構采用單箱單室制腹板預應力混凝土箱梁，全橋共劃分為0號塊～15號塊.其中0號塊長12 m，1號塊～7號塊長3 m，8號～15號塊長4 m，中跨合龍段及邊跨合龍段均長2.0 m，邊跨現澆段長為8.84 m.箱梁頂板寬12.24 m，底板寬6.5 m，懸臂長度2.87 m.在與中間墩墩身對應的梁段5.0 m范圍內梁高均為7.2 m，在橋梁邊跨及中跨跨中處梁高2.8 m，懸澆部分梁高按1.7次拋物線規律變化.箱梁頂板厚度0.3 m，箱梁底板厚度在主墩處為0.8 m，邊墩處及中跨跨中處為0.3 m，其余則按1.7次拋物線漸變.該連續剛構橋的跨中橫斷面圖以及橋型布置圖見圖2～3.

圖2 跨中截面橫斷面圖(單位：cm)

圖3 富水河特大橋橋型布置圖(單位：m)

3.1.2材料時變性能研究

試驗材料均來自橋梁施工現場，制作的試件在戶外與主梁懸澆段同步養護，水泥選用華新水泥廠生產的P·152.5高標號水泥；砂取自天然砂，屬中砂，II區級配；碎石最大粒徑16 mm，最小粒徑5 mm，屬于5～16 mm連續級配；水為飲用水.

經過初步基準配合比設計與計算，本文試驗采用的C50混凝土材料配合比見表2.

表2 C50混凝土配合比

為了研究各齡期C50混凝土的軸心抗壓強度以及彈性模量，設計制作了共30個150 mm×150 mm×300 mm混凝土棱柱狀試件，在戶外與現澆的主梁同步養生，試件示意圖見圖4，分別對3，5，7，14，28 d的C50混凝土試件進行試驗.

圖4 棱柱狀試件示意圖

3.1.3試驗結果分析

將試驗得到的C50混凝土軸心抗壓強度以及彈性模量進行整理，試驗值見表3.

表3 軸心抗壓強度fc及彈性模量Ec試驗值

為了減小在試驗過程中C50混凝土彈性模量隨時間變化的誤差，取同一齡期三塊試件所得試驗值的平均值，以此作為齡期t時刻C50混凝土的彈性模量.然后根據試驗測得的數據，初步選擇指數函數、雙曲函數、對數函數以及冪函數來描述數據的規律，利用MATLAB擬合上述四條不同的曲線，分別對C50混凝土隨時間變化的規律進行非線性最小二乘回歸分析，取其中最優方程，4條曲線函數形式見表4.

表4 混凝土彈性模量Ec隨時間變化的函數

表4中，a，b，c為回歸系數；t為齡期：ρ為MATLAB非線性擬合相關系數；e為和方差.因為連續剛構橋懸澆的混凝土在養護2～3 d后才可以承受荷載，在28 d左右達到穩定狀態，故本文僅是對養護3～28 d的C50混凝土力學性能指標進行相關的修正.

C50混凝土彈性模量Ec隨時間變化的擬合曲線見圖5.通過對選取的四條函數曲線進行比較，可以知道對于施工現場早齡期C50混凝土彈性模量隨時間變化的規律，冪函數的相關系數ρ是最大的，和方差e最小.故根據曲線回歸的原則，擬合相關系數越大，和方差越小，數據預測的越好，因此選取冪函數來描述施工現場C50混凝土彈性模量與齡期之間的關系.

圖5 彈性模量Ec隨時間變化的函數

3.1.4建立橋梁模型

在有限元分析軟件midas Civil的時間依存性材料板塊中自定義C50混凝土早齡期彈性模量變化函數，進而建立該連續剛構橋施工階段的懸臂結構模型及施工完后的全橋有限元模型，橋梁的上部結構共有93個節點和88個梁單元，施工合龍的順序為先邊跨合龍后中跨合龍.

3.2 橋梁施工階段可靠度分析

在該連續剛構橋懸臂施工過程中，其線性控制是施工過程中關鍵的部分.影響橋梁線性的因素有眾多，例如在澆筑混凝土時，先澆筑的節段與滯后澆筑的節段在混凝土強度和彈性模量等材料性能上有著較大的差異，并且在懸臂施工過程中，結構也會由短懸臂漸變成長懸臂狀態.這些材料性能和受力狀態的變化都會對橋梁結構前端的撓度產生影響，因此，本文計算主梁標高控制可靠度，就是考慮材料及荷載變異后，確定橋梁在施工懸臂狀態時主梁前端的撓度偏差容許值.

本文選取主梁混凝土彈性模量、混凝土容重、張拉控制應力、預應力鋼筋容重，以及預應力鋼筋彈性模量等隨機變量來對施工過程中主梁前端的標高控制可靠度進行計算分析，主梁標高控制功能函數可表示為

(15)

表5 隨機變量參數統計表

當Z=G(X1,X2,…,Xn)>0時，表示施工過程中主梁前端標高控制可靠；若Z=G(X1,X2,…,Xn)<0，則表示施工過程中主梁前端標高控制失效.

利用樣本數據訓練SVM時，采用K-CV交叉驗證的方法來尋找SVM模型中最優的參數，結構的可靠指標值隨撓度偏差容許值Δλ變化的規律見圖7.通過計算可以分析得到，當該連續剛構橋施工階段處于中懸臂狀態時，主梁前端的撓度偏差容許值Δλ大于3 mm，則結構的失效概率為0，其可靠指標值趨于無窮大，因此圖8a)未標出Δλ>3 mm時可靠指標值的大小.當橋梁結構施工階段處于最長懸臂狀態時，主梁前端的撓度偏差容許值Δλ大于24 mm，則結構的失效概率為0，其可靠指標趨于無窮大，因此圖8b)未標出Δλ>24 mm時可靠指標值的大小.

圖6 連續剛構橋施工階段

圖7 可靠指標值與撓度偏差容許值的關系

眾多隨機變量的影響，結構的失效概率會較大.因此施工過程中的撓度偏差容許值需控制在一個合理的范圍內，通過表3～5中的計算結果可以知道，在橋梁施工至中懸臂狀態時，當Δλ=3 mm，可靠指標為4.652，對標高控制較為有利，因此建議在橋梁中懸臂階段撓度偏差容許值最大不宜超過3 mm；橋梁施工至最長懸臂狀態，考慮到對之后合攏工況的影響，撓度偏差不宜過大，當Δλ=24 mm時，可靠指標為4.136，對標高控制較為合理，因此建議該橋梁最長懸臂階段撓度偏差容許值最大不宜超過24 mm.本文這種分析方法能有效確定標高控制偏差的合理范圍，可以適用于其他類似橋梁懸臂施工的撓度控制.

3.3 橋梁正常使用階段可靠度分析

在該橋梁施工完成后的運營階段期間，由于連續剛構橋本身結構較為復雜，再加上預應力以及車輛等荷載的作用，其失效路徑是相當繁雜的，若是想尋找出所有的橋梁結構失效模式是很難實現的.因此，在查閱相關參考文獻[8]的基礎上，本文主要是對橋梁結構在正常使用極限狀態下的應力失效以及撓度失效進行分析，則該橋的極限狀態方程為

(16)

式中：σR為混凝土材料應力限值，若考慮的是壓應力失效；σR為標準抗壓強度的一半，若考慮的是拉應力失效；σR為標準抗拉強度；σ為橋梁運營階段預應力混凝土受彎構件截面混凝土應力值；L為橋梁計算跨徑；μ為橋梁運營階段預應力混凝土受彎構件截面撓度值.

選取橋梁關鍵截面主要是依據橋梁監控原則以及有限元模型計算結果，將其中應力和撓度較大的截面作為關鍵截面，選取結果如下：①邊跨1/3L截面，對應有限元模型9號節點和77號節點；②0號塊根部截面，對應有限元模型27號節點和59號節點；③主跨(1/4)L和(3/4)L截面，對應有限元模型35號節點和51號節點；④主跨跨中(1/2)L截面，對應43號節點.

在連續剛構橋正常使用階段，影響橋梁體系可靠度的變量有眾多，本文選擇對橋梁結構可靠度影響相對明顯的變量作為主要隨機變量，其中包括主梁混凝土彈性模量、混凝土容重、張拉控制應力、二期恒載以及車道荷載等.

通過有限元模型計算，可以得到該連續剛構橋正常使用極限狀態時的上下緣應力云圖，橋梁關鍵截面的應力和撓度計算值見表6，其中應力負值表示為壓應力.

表6 主梁關鍵截面應力和撓度計算值

從該連續剛構橋梁工程的概況中可以知道，其計算跨徑為L=110 m，主梁使用的是C50混凝土材料，通過查閱文獻[9]可得，C50混凝土材料的軸心抗壓強度標準值為fck=32.4 MPa，抗拉標準強度為ftk=2.64 MPa，結合表3～8中的計算結果及式(15)可知，該橋失效類型主要為壓應力失效、拉應力失效以及撓度失效，其功能函數為

(17)

根據表6中關鍵截面的應力值及撓度值，可以初步確定該橋梁在正常使用極限狀態時的失效模式見表7.

表7 橋梁關鍵截面失效模式

分別對表7中正常使用階段連續剛構橋關鍵截面的應力失效模式及撓度失效模式通過支持向量機分類算法進行可靠度計算.考慮到該連續剛構橋結構對稱，因此，只需對橋梁結構的9號節點、27號節點、35號節點以及43號節點對應關鍵截面處的失效模式可靠度進行計算.在MATLAB中求解的各關鍵截面失效模式可靠指標均值見表8.

表8 各失效模式可靠指標計算結果表

由于在連續剛構橋在正常使用階段，主梁任一關鍵截面的破壞都會造成整個橋梁體系的失效，因此該橋梁體系可以看作由各個失效模式形成的串聯系統.假設各個失效模式之間相互獨立，在不考慮橋梁失效模式之間相關性的前提下，結合表8的計算結果，可得橋梁結構體系的失效概率為

式中：pf為串聯體系的失效概率；pr為串聯體系的可靠概率；pfi為各個失效模式的失效概率.

綜合分析可知，該連續剛構橋梁正常使用階段的體系失效概率為1.644 9×10-4，可靠指標值為3.591 3.從表8的計算結果可知，該橋梁體系可靠指標主要是由主梁中跨跨中截面下緣拉應力失效起決定性作用，稱之為該橋主要失效模式.

4 結 論

1) 對橋梁采用的C50混凝土材料進行試驗研究，擬合出了在實際橋梁施工過程中材料彈性模量的時變規律，混凝土彈性模量隨著養護時間呈非線性變化，選用冪函數來擬合變化規律最合時宜.

2) 基于所求SVM模型，結合蒙特卡洛法迭代求解出了施工階段中不同撓度偏差容許值情況下的標高控制可靠度，給出中懸臂節段前端撓度偏差容許值最大不宜超過3 mm，最長懸臂節段前端撓度偏差容許值最大不宜超過24 mm，這種分析方法可以運用于其他類似橋梁施工的撓度控制.

3) 采用SVM計算出了各個應力失效模式以撓度失效模式的失效概率和可靠指標；最后將橋梁結構作為一個串聯系統計算出結構體系可靠度為3.591，并且從各個失效模式的計算結果可知，主梁中跨跨中截面下緣拉應力失效對結構體系可靠度起著主要作用.