基于Gardiner公式改進的船體外板回彈預測方法

蘭繼雷 茅云生 黃 燦 郭 榮

(武漢理工大學高性能船舶技術教育部重點實驗室1) 武漢 430063) (武漢理工大學交通學院2) 武漢 430063)

在船體外板加工過程中，回彈現象對準確加工產品幾何尺寸有著重要的影響.目前很多學者運用理論分析方法、數值模擬方法及實驗研究的方法對回彈預測做了很多的研究[1].

Gardiner等[2]是最先通過理論分析方法對理想彈塑性矩形截面梁純彎曲回彈進行了研究.Zajkani等[3]采用變化的卸載彈性模量和非線性的隨動強化模型分析高強度鋼的回彈，其有限元分析結果和實驗結果相一致.Sumikawa[4]考慮了材料在發生預應變后的非線性應力應變關系對回彈預測做出改進，其結果與實驗數據非常吻合.Yang等[5]分析了考慮變化的楊氏彈性模量和分段強化函數表示的應力-應變關系的先進高強度鋼空彎回彈問題.Huang等[6]研究金屬窄板回彈時將板材的變形歷史劃分為加載階段、自由卸載階段和非自由卸載階段，提出了窄板純彎曲考慮雙線性強化模型時的回彈預測公式.金屬材料在強化階段的應力-應變關系更符合冪指數函數關系，所以本文選取冪次模型作為材料的真實應力-應變關系，對Gardiner公式進行改進，提出一種新的彈塑性解析回彈預測公式.

1 基本假設

運用彈性彎曲工程理論中的基本假定：①歐拉-伯努利平斷面假設 變形前后橫截面為平面，并且其形狀和大小不發生改變；②單向應力假設 在彎曲過程中橫截面內縱向纖維之間不存在橫向應力，各層纖維處于單向拉伸或者壓縮狀態.

Gardiner在研究純彎曲回彈時假設材料為理想彈塑性的，從而得到回彈預測公式為

(1)

式中：ρb為卸載回彈前的中性軸曲率半徑；ρa為卸載回彈后的中性軸曲率半徑；σy為材料單向拉壓時的初始屈服應力；E為材料的彈性模量；t為梁的厚度.

實際上材料在加工過程中會產生加工硬化現象，在強化階段材料的真實應力-應變曲線更接近冪指數函數，這是本文對Gardiner回彈研究做出的改進的地方.

3) 冪硬化材料模型假設 材料的應力-應變關系為

(1)

式中：σy為材料的屈服應力；n為應變硬化指數；εy為材料在屈服點時的應變；E為彈性模量；ε為真實應變；σ為真實應力.

2 彈塑性分析

2.1 加載過程分析

彎曲回彈前后的狀態見圖1.

圖1 回彈前后狀態

基于假設1)和假設2)，彎曲前后中性軸的長度不變，彎曲后中性軸的曲率半徑為R，距中性軸距離為z處的纖維的應變為

(3)

式中：κ為中性軸彎曲后的曲率，κ=1/R.

彎曲時橫截面內應力的分布為

(4)

σy=Eκ1zy

(5)

式中:zy為處于屈服狀態的纖維距離中性軸的距離；κ1為彎曲時中性軸的曲率.

彈性區域與塑性區域交界處的應力為材料的屈服應力，即

(6)

2.2 卸載過程分析

卸載后橫截面內的殘余應變為

εr=κ2z

(7)

式中：εr為卸載后橫截面內的殘余應變；κ2為卸載后中性軸的曲率.

卸載回彈過程中的應變變化量為Δε，由上分析可知：

Δε=κ2z-κ1z

(8)

彎曲回彈是可以看成是在與加載彎矩大小相等、方向相反的彎矩作用下發生彈性變形的過程，橫截面內各纖維層在反向彎矩作用下產生的應變為彈性應變.橫截面內切向殘余應力為σr：

σr=σ1+EΔε

(9)

即：

(10)

在卸載回彈后，橫截面內的殘余應力之和為零，各層纖維處的切向應力對于中性軸的彎矩之和也為零，達到平衡狀態.

由橫截面內彎矩為零可得：

(11)

對式(11)進行積分后整理可得：

(12)

式(12)為考慮彈塑性材料冪次強化，基于平斷面假定和單向應力假定，金屬材料在單向純彎曲作用下，經過彈塑性分析得到的一種新的回彈預測方法，該方法是基于Gardiner回彈預測研究，并對其進行了改進.

3 實驗驗證實驗的模型見圖2.

圖2 實驗模型

實驗選取了五種不同材料金屬窄板，對于每種材料選取五個不同厚度的實驗樣品，厚度分別為5,6,7,8和9 mm[7].對每個實驗樣品進行空彎回彈實驗，同時對于同一種金屬材料設置五個不同的彎曲半徑，分別為50,70,100,142和193 mm.這5種金屬材料的材料力學屬性見表1.實驗結果見表2.

通過對上述實驗數據進一步分析，其結果見表3.

表1 材料屬性

E/MPa σy/MPanWELDOX700-1217 069.7776.2870.043 1WELDOX700-2178 846.6699.8420.042 5WELDOX900-1205 856.3950.8120.038 5WELDOX900-2200 405.4956.0090.038 7OPTIM 9602046201257.590.0255

表2 實驗結果與公式預測結果mm

trRR1R2WELDOX700-155052.555.9975 56.6570 WELDOX700-197072.576.3658 77.1295 WELDOX700-18100102.5115.4402 117.0059 WELDOX700-17142144.5181.1480 184.4395 WELDOX700-16193195.5291.9886 298.8574 WELDOX700-26505355.4132 56.0190 WELDOX700-25707383.7012 84.9690 WELDOX700-29100103114.9567 116.4665 WELDOX700-28142145179.0739 182.1995 WELDOX700-27193196283.2590 289.6016 WELDOX900-175053.555.4835 56.0339 WELDOX900-167073.583.4359 84.5634 WELDOX900-15100103.5137.7364 140.2889 WELDOX900-19142145.5181.3713 184.3062 WELDOX900-18193196.5287.5243 293.4321 WELDOX900-28505454.9051 55.4178 WELDOX900-27707481.6495 82.6787 WELDOX900-26100104130.9772 133.2184 WELDOX900-25142146235.2900 240.6810 WELDOX900-29193197276.7469 282.2038 OPTIM 96095054.555.6963 56.0636 OPTIM 96087074.583.4038 84.1369 OPTIM 9607100104.5135.2616 136.8503 OPTIM 9606142146.5246.5512 250.3563 OPTIM 9605193197.5564.8191 575.8494

注：t-實驗樣品的厚度；r-回彈前的實驗樣品的曲率半徑；R-回彈后的實驗樣品的曲率半徑；R1-Gardiner公式計算出的回彈后的理論曲率半徑；R2-改進的公式計算出的回彈后的理論曲率半徑.

表3 兩種理論預測方法誤差

(R1-R)/mm(R2-R)/mm(R1-R)/mm2(R2-R)/mm2WELDOX700-1-0.052 5 0.6070 0.00275 0.368446 WELDOX700-1-0.084 2 0.6795 0.00710 0.461726 WELDOX700-1-0.179 8 1.3859 0.03233 1.920738 WELDOX700-1-0.702 0 2.5895 0.49275 6.705625 WELDOX700-1-3.571 4 3.2974 12.75481 10.872523 WELDOX700-2-0.016 8 0.5890 0.00028 0.346963 WELDOX700-2-0.108 8 1.1590 0.01183 1.343336 WELDOX700-2-0.163 3 1.3465 0.02666 1.812986 WELDOX700-2-0.456 1 2.6695 0.20799 7.126244 WELDOX700-2-2.891 0 3.4516 8.35811 11.913334 WELDOX900-1-0.126 5 0.4239 0.01601 0.179710 WELDOX900-1-0.314 1 0.8134 0.09866 0.661593 WELDOX900-1-1.413 6 1.1389 1.99815 1.297150 WELDOX900-1-1.158 7 1.7762 1.34252 3.154758 WELDOX900-1-4.325 7 1.5821 18.71128 2.503093 WELDOX900-2-0.054 9 0.4578 0.00301 0.209613 WELDOX900-2-0.060 5 0.9687 0.00366 0.938472 WELDOX900-2-0.552 8 1.6884 0.30557 2.850659 WELDOX900-2-4.970 0 0.4210 24.70092 0.177249 WELDOX900-2-2.123 1 3.3338 4.50735 11.113989 OPTIM 960-0.033 7 0.3336 0.00114 0.111260 OPTIM 960-0.176 2 0.5569 0.03104 0.310109 OPTIM 960-0.848 4 0.7403 0.71982 0.548046 OPTIM 960-6.898 8 -3.0937 47.59283 9.571037 OPTIM 960-91.560 9 -80.5306 8383.40672 6485.174957

分別繪出這五種材料的實驗樣品理論預測結果的誤差圖，見圖3.

圖3 五種材料實驗樣品兩種理論回彈預測誤差

由圖3可知，對于WELDOX700-1和WELDOX700-2這兩種材料，Gardiner公式計算出的結果的誤差絕對值小于改進的回彈預測公式計算誤差絕對值，Gardiner公式計算出的結果小于實驗測得的回彈后曲率，改進的回彈預測公式計算的結果大于實驗測得的回彈后曲率.對于WELDOX900-2和OPTIM 960這兩種材料，改進的回彈預測公式計算出的結果的誤差小于Gardiner公式計算誤差.當加工的彎曲曲率半徑為142和193 mm時，對于這5種材質的金屬窄板，改進的回彈預測公式的計算誤差明顯要小于Gardiner公式計算誤差.對于OPTIM 960材料，當彎曲曲率半徑為193時，改進的回彈預測公式和Gardiner公式的誤差都很大.

4 結 論

1) 當材料的應變硬化指數較大時，Gardiner公式預測結果偏小，而改進的回彈預測公式預測結果偏大，Gardiner公式優于改進的回彈預測公式.

2) 當材料的應變硬化指數較小同時彎曲曲率較大時，改進的回彈預測公式明顯優于Gardiner公式.

3) 當材料的應變硬化指數很小時， Gardiner公式和改進的回彈預測公式對彎曲回彈量的計算都不準確.

4) 當彎曲曲率較大時，改進的回彈預測公式明顯優于Gardiner公式.

對于理論計算結果的誤差分析歸為以下幾個方面因素：實驗數據的測量存在著誤差；材料在拉伸產生塑性應變之后再對其壓縮時材料的屈服極限會降低，這種現象稱為包辛格效應.本文在對材料進行彈塑性分析時沒有考慮這種效應，因此，得到的回彈預測公式存在誤差；在分析過程中建立的一些基本假設對模型的簡化存在著誤差.