小圓用處大

吳芳蓉

(福建省龍巖市龍巖初級(jí)中學(xué) 364000)

本文以構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題為例，闡述如何通過(guò)挖掘題目中的隱含條件，抽出能構(gòu)造輔助圓的相關(guān)基本模型，巧妙地構(gòu)造出符合題意特征的輔助圓，使問(wèn)題中復(fù)雜的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的圖形中清晰地展現(xiàn)出來(lái)，達(dá)到化隱為顯，化繁為簡(jiǎn)的解題功效.

一、根據(jù)有關(guān)線段相等構(gòu)造輔助圓(等距離型)

人教版九年級(jí)上第24.1 對(duì)圓的定義為：圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于定長(zhǎng)；到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.

例1(2018寧德質(zhì)檢改編)如圖1，已知等腰△ABC，AB=BC，D是AC上一點(diǎn)，線段BE與BA關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，射線CE交射線BD于點(diǎn)F，連接AE，AF，若∠ABC=α，則∠AEF=____.(用α的代數(shù)形式表示)

分析由AB=BC及線段BE與BA關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，可得BA=BC=BE，即可構(gòu)造出以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑的圓，此時(shí)A、C、E均在⊙B上，如圖，構(gòu)建⊙B的內(nèi)接四邊形AGCE，則可把∠AEF轉(zhuǎn)化為四邊形AGCE的外角，利用“圓的內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角”，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到求圓周角∠AGC.

例2在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A(1，1)，在x軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_(kāi)___．

分析因△AOP是等腰三角形，則有兩條同頂點(diǎn)的線段相等，即可構(gòu)造以等腰三角形頂角的頂點(diǎn)為圓心，腰為半徑的輔助圓.

解如圖2，若△AOP為等腰三角形，則

(1)若AO為腰時(shí)，有兩種情況:

①當(dāng)AO=AP時(shí)，點(diǎn)P是以A為圓心，AO為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)⊙A與x軸有1個(gè)交點(diǎn)P1；

②當(dāng)OA=OP時(shí)，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)⊙O與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，分別為P2、P3；

(2)若OA為底時(shí)，P是OA的中垂線與x軸的交點(diǎn)，有1個(gè)交點(diǎn)，為P4．

以上4個(gè)交點(diǎn)沒(méi)有重合的．故符合條件的點(diǎn)有4個(gè)．故填：4.

方法總結(jié)：在某些幾何問(wèn)題中，當(dāng)出現(xiàn)幾條共同頂點(diǎn)的線段相等時(shí)，可利用圓的定義，構(gòu)造出一個(gè)輔助圓，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，使問(wèn)題得以解決，可把這種情形稱(chēng)為等距離型.

等距離型的基本圖形為：如圖3，若AB=AC=AD，則B、C、D在以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓上.

二、根據(jù)定張角構(gòu)造輔助圓(定張角型)

例3如圖4，B是線段AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線l與AC成60°的角，在直線l上取一點(diǎn)P，使得∠APB=30°，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是( ).

A.3個(gè) B.2個(gè)

C.1個(gè) D.不存在

分析由∠APB是一定角(數(shù)量相等，點(diǎn)P位置不固定)，AB是一定長(zhǎng)，可構(gòu)造出輔助圓，此圓以AB為弦，圓心角∠AOB=60°，得出P點(diǎn)是優(yōu)弧AB上的點(diǎn)，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到圓與直線的位置關(guān)系的問(wèn)題.

解如圖4，作等邊△OAB，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，作BM⊥l于M，OH⊥l于H，

∵B是AC的中點(diǎn)，∴令BC=AB=m.

∴OB>OH，∴直線l與⊙O相交，∴點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是2個(gè).故選B.

我們可把有這種關(guān)系的圖形稱(chēng)為定張角、定線段型，其基本圖形為：如圖5，若AB是一定值，∠C的度數(shù)是一定值，但點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，則可把∠C轉(zhuǎn)化為過(guò)AB兩點(diǎn)的圓的圓周角(∠O=2∠C).

三、根據(jù)直角構(gòu)造圓(直角型)

直角型所用的圓的性質(zhì)為：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，有這種關(guān)系的可稱(chēng)為直角型.

直角型的基本圖形為：如圖6，若∠C=90°，則點(diǎn)A、B、C在以AB為直徑的圓上.

例4(2016年安徽省中考)如圖7，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為( ).

分析在此題中，先分析出∠APB=90)，則點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，如圖8，連接OC與⊙O交于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小.

總之，構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)隱含于題目中與圓的有關(guān)信息，抓題目的特征，抽取出構(gòu)造圓的基本圖形，巧作一圓，把圓用“活”，實(shí)現(xiàn)小圓大用處.