斜齒輪磨頭中可變螺旋角齒輪建模方法

徐斌

摘 要：本文在研究意大利COMS磨頭中可變螺旋角齒輪的基礎(chǔ)上，提出可變螺旋角齒輪以齒槽為基準、齒輪中部端面為基準端面的新理論，可變螺旋角齒輪齒槽由中間基準端面直齒齒輪端面上標準齒槽扭轉(zhuǎn)不同角度而成。建立了齒輪端面扭轉(zhuǎn)角與可變螺旋角齒輪齒槽螺旋角之間的數(shù)學關(guān)系，并依據(jù)該關(guān)系式，分別建立了扭轉(zhuǎn)后齒輪兩端端面每個螺旋齒槽的扭轉(zhuǎn)角。根據(jù)所建立的扭轉(zhuǎn)端面A、B以及基準端面C，在CAXA 3D 2105版本中，利用放樣建立了可變螺旋角齒輪的三維模型，并給出加工該齒輪的方法。本文建立的可變螺旋角齒輪方法簡單，加工方法簡單。

關(guān)鍵詞：磨頭;可變螺旋角;斜齒輪;扭轉(zhuǎn);齒槽

1 前 言

斜齒輪磨頭也叫COMS磨頭，是意大利COMS公司于二十世紀九十年代研發(fā)的磨頭，由于其中主要的是一個可變螺旋角齒輪，每個齒的螺旋角都不同，加工技術(shù)要求很高。所以COMS公司不懼怕任何人抄襲，將零部件拆開，在展會上讓別人觀看。2002年廣東科達機電有限公司技術(shù)經(jīng)理周哲波，對該磨頭進行了仿制，但是效果不佳，不能使用，而后科達公司放棄仿制。周哲波而后進入安徽理工大學教書，并帶領(lǐng)學生對COMS磨頭作理論研究，建立了可變螺旋角齒輪模型。但是該模型是以輪齒作為基準進行建立的，并沒有進行實際的應(yīng)用和產(chǎn)業(yè)化，后經(jīng)廣東科達潔能股份有限公司深加工事業(yè)部總經(jīng)理周祖兵確認，周教授建立的可變螺旋角齒輪模型不適用于實際。后續(xù)國內(nèi)有一些廠家對該齒輪進行仿制均失敗。

近年來，山東青島、萊州的石材設(shè)備制造廠商也仿制了COMS磨頭，但是并沒有大規(guī)模的應(yīng)用。2017年廣東佛山的海瑜公司仿制了COMS磨頭，已經(jīng)在科達公司應(yīng)用。國內(nèi)仿制的COMS磨頭在應(yīng)用上都會出現(xiàn)噪聲大等問題。

由于COMS公司對中國技術(shù)封鎖，以及國內(nèi)昌吉仿制之后，也對自己揣摩出來的，所謂的自己那套技術(shù)進行技術(shù)封鎖。而國內(nèi)對COMS磨頭的理論研究也很少，只有周哲波教授進行了理論研究，但是研究結(jié)果還不實用，脫離了實際。

為了加快COMS磨頭的推廣和應(yīng)用，本文另辟新徑，對COMS磨頭中可變螺旋角齒輪進行理論創(chuàng)新，建立該齒輪的數(shù)學模型，以及依據(jù)數(shù)學模型建立起來的三維模型。同時給出了可變螺旋角齒輪的加工方法。本文研究成果，對打破國內(nèi)外對COMS磨頭的技術(shù)及理論封鎖，加快其推廣應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

2 斜齒輪磨頭結(jié)構(gòu)及工作原理

斜齒輪磨頭結(jié)構(gòu)及工作原理，如圖1所示。

1中間齒輪固定在2箱體端蓋上，2箱體端蓋與機架固定在一起。3磨頭主軸 伸進6下箱體內(nèi)，4主動齒輪固定在3磨頭主軸上，5斜齒輪驅(qū)動齒輪、9斜齒圓柱齒輪空套在3磨頭主軸上，5斜齒輪驅(qū)動齒輪與9斜齒圓柱齒輪固定在一起。6下箱體上均勻分布著四至六根7磨塊座主軸。7磨塊座主軸的一端固定有10磨塊座，7磨塊座主軸的另外一端設(shè)置有8直齒圓柱齒輪。8直齒圓柱齒輪的轉(zhuǎn)動軸垂直于7磨塊座主軸。8直齒圓柱齒輪與9斜齒圓柱齒輪嚙合在一起，并且螺旋角按一定規(guī)律周期性變化。

工作原理：

一方面，3磨頭主軸驅(qū)動6下箱體以及安裝在6下箱體內(nèi)的零部件旋轉(zhuǎn)，7磨塊座主軸 連同10磨塊座、磨塊一起繞著3磨頭主軸 公轉(zhuǎn)，這與已有技術(shù)的工作原理相同;

另一方面，3磨頭主軸驅(qū)動4主動齒輪旋轉(zhuǎn)，4主動齒輪經(jīng)過1中間齒輪，將運動和動力傳遞給5斜齒輪驅(qū)動齒輪，進而驅(qū)動螺旋角周期性變化的9斜齒圓柱齒輪旋轉(zhuǎn)，從而迫使7磨塊座主軸上的8直齒圓柱齒輪 按照螺旋角周期性變化的規(guī)律，以7磨塊座主軸為轉(zhuǎn)軸來回擺動，與7磨塊座主軸 固聯(lián)的10磨塊座隨之擺動，最終實現(xiàn)了磨塊一邊繞主軸公轉(zhuǎn)，一邊繞擺動軸左右擺動的運動規(guī)律。

9斜齒圓柱齒輪具有交替為直和斜的部分。

將其360 °展開圖，兩個直齒或齒間可設(shè)在相應(yīng)于原點（0 °和360 °重點）和中點的位置。在0 °和90 °的部分內(nèi)（如圖2a）變成斜齒，最大斜度發(fā)生在90 °。過了這點以后，斜度逐漸減小，到180 °變成零。從180 °到270 °（圖2c）又變?yōu)樾饼X，單斜度個圖2a和圖2b的斜度相反。到270 °，斜度達到最高，從270 °到360 °（或0 °），即在圖2d，斜度又逐漸減小，一直變?yōu)榱恪?/p>

3 可變螺旋角齒輪分析

本文作者于2017年10月拆開了意大利COMS磨頭，也就是意大利原創(chuàng)的變斜齒輪磨頭。該磨頭的核心零件是變螺旋角齒輪，如圖3、4所示。

通過事物觀察發(fā)現(xiàn)，變螺旋角齒輪的每個輪齒的螺旋角度是不同的，而且是漸變的。這樣造成每個輪齒沿著軸線方向的齒厚也是漸變，逐漸變大或者逐漸變小。所以輪齒的兩端會出現(xiàn)大小頭的現(xiàn)象，如圖3所示。

從圖4看出，變變螺旋角齒輪端面的齒厚是不同的，一個區(qū)域齒厚很大，另外一個區(qū)域的齒厚很小，而且齒厚是漸變的增大或者漸變的減小。

但是從圖3、4看出，每個齒槽的寬度是相同的，變螺旋角齒輪是以齒槽為基準，不是輪齒。因為齒槽要與每個不同螺旋角的輪齒嚙合，所以每個齒槽的寬度必須一致。也就是說，齒槽不會出現(xiàn)大小頭的現(xiàn)象，而且每個齒槽的寬度都相同。

將意大利COMS磨頭的變螺旋角齒輪展開成平面圖，如圖5所示。變螺旋角齒輪工共44個輪齒。通過上述分析可知，變螺旋角齒輪是以齒槽為基準的，因此展開圖中的傾斜直線是齒槽線。

齒槽線也叫齒槽中心線，如圖6、7所示。因為變螺旋角齒輪有直齒和斜齒共同組成的，所以本文以普通直齒齒輪和斜齒輪分析齒槽線。

不管是直齒齒輪還是斜齒齒輪都是由輪齒和齒槽組成的，在分度圓上，齒槽和輪齒的寬度是相同的。齒槽的中心線就是齒槽線，直齒齒槽線是一條直線，斜齒輪的齒槽線是一條螺旋線。

由前述可知，變螺旋角齒輪的輪齒寬度是不相同的，但每個齒槽的寬度是相同的。因此，以齒槽作為標準對變螺旋角齒輪進行建模和加工。圖5中的螺旋線和直線是齒槽線。展開圖中顯示共有44條齒槽線，每個齒槽線的的螺旋角不同的，各相差一度。圖5中上端編號是每個齒槽的順序編號，下端是每個齒槽線的螺旋角度。

從圖5看出，編號為0的齒槽和編號為22的齒槽是直齒齒槽，其他的都是螺旋齒槽。其中編號為0的齒槽和編號為44的齒槽是同一個齒槽。

從編號為0的齒槽開開始，齒槽按照1度的差值逐漸的向左傾斜，到編號為11的齒槽傾斜角最大，是11度。接下來的齒槽也是按照1度的差值逐漸的向右傾斜，又從11度逐漸減小為0，到編號為22的齒槽傾斜最小，是0也就是直齒齒槽。編號22到33的齒槽向右傾斜，達到最大11度。編號33到44的齒槽向左傾斜，達到最小0度。

從圖5看出，螺旋槽的齒槽線，展開平面圖之后，都是一條傾斜的直線，傾斜的角度是按照某一個點在旋轉(zhuǎn)傾斜。由直線狀態(tài)繞點傾斜為斜直線狀態(tài)。

4 可變螺旋角齒槽線傾斜形成過程

為了更清晰的說明可變螺旋角齒輪展開圖中，螺旋齒槽線傾斜形成過程，截取圖5中的一個部分進行詳細的分析說明，如圖8所示。

可變螺旋齒輪在寬度方向上分為三個部分：A端面、B端面、中間端面C。圖8中，虛線表示的是輔助直齒齒槽線，實傾斜直線是螺旋齒槽線。為了分析問題，本文引入了輔助直齒齒槽線。

輔助直齒齒槽線與螺旋齒槽線的交點O1、O2、O3、O4、O5、O6......，均是在齒輪寬度的中心線上，也就是中間端面C位置上。輔助直齒齒槽線與齒輪寬度的中心線是相互垂直的。若是把螺旋齒槽線去掉，只留下輔助直齒齒槽線，就是普通的直齒齒輪的俯視圖。直齒齒槽線的間隔是均勻的。也就是O1=O2=O3=O4=O5=O6，......。各個螺旋齒槽線，分別是各自的輔助輔助直齒齒槽線分別繞著各自的交點O1、O2、O3、O4、O5、O6向左旋轉(zhuǎn)1°、2°、3°、5°、6°形成的。

因此齒輪的寬度中心線是一條基準線，所在的端面C是基準平面。端面C上的齒輪端面是正規(guī)的直齒齒輪端面，端面C上的齒輪端面，在分度圓上輪齒厚度與齒槽的寬度一致，與普通齒輪無異。如圖9所示。

也就是說螺旋齒槽線都是繞著端面C上這個正規(guī)直齒齒輪端面扭轉(zhuǎn)形成的。

本文將把可變螺旋齒輪齒輪寬度中心線的部位，分為前后兩個部分。AC這一段是齒輪前段部分;BC這一段是齒輪后段部分。

（1）齒輪前段。

圖10所示是齒輪前段。AC段（也就是齒輪前段）上的螺旋齒槽線，是各個螺旋齒槽線繞著各個輔助直齒齒槽線分別繞著各自的交點O1、O2、O3、O4、O5、O6向左旋轉(zhuǎn)1°、2°、3°、5°、6°形成的。因為圖10是齒輪的平面展開圖，那么三維圖如圖11所示。

為了便于分析和說明，齒輪前段扭轉(zhuǎn)示意圖中，用凸起的直齒、凸起螺旋齒代表輔助直齒齒槽、螺旋齒槽。

在C端和A端施加一對平衡的力偶M1、M2，在扭轉(zhuǎn)的過程中，C端面是基準面，這個基準面是固定不動的，在A端施加一個扭轉(zhuǎn)力偶M2，那么在C端就產(chǎn)生一個反作用的力偶M1與其平衡。

圖11中，齒輪柱上有一個直齒輪齒，如虛線所示。對這個直齒輪齒施加一個逆時針旋轉(zhuǎn)的力偶M2，直齒輪齒產(chǎn)生了一個左螺旋扭轉(zhuǎn)，變成了一個螺旋輪齒。螺旋輪齒和直齒輪齒之間的夾角就是螺旋角γ。這個螺旋輪齒展開成平面圖之后，就是一條斜直線。

圖11中是用直齒輪齒代替了直齒齒槽，直齒齒槽扭轉(zhuǎn)成螺旋齒槽也是這也道理。圖10中的每個螺旋齒槽都是這樣扭轉(zhuǎn)形成的，都是正規(guī)的直齒齒槽扭轉(zhuǎn)不同的角度形成。

（2）齒輪后段。

圖12所示是齒輪后段。BC段（也就是齒輪后段）上的螺旋齒槽線，是各個螺旋齒槽線繞著各個輔助直齒齒槽線分別繞著各自的交點O1、O2、O3、O4、O5、O6向右旋轉(zhuǎn)1 °、2 °、3 °、5 °、6 °形成的。那么三維扭轉(zhuǎn)示意圖如圖13所示。

在C端和B端施加一對平衡的力偶M3、M4，在扭轉(zhuǎn)的過程中，C端面是基準面，這個基準面是固定不動的，在B端施加一個扭轉(zhuǎn)力偶M4，那么在C端就產(chǎn)生一個反作用的力偶M3與其平衡。

圖13中，齒輪柱上有一個直齒輪齒，如虛線所示。對這個直齒輪齒施加一個順時針旋轉(zhuǎn)的力偶M4，直齒輪齒產(chǎn)生了一個右螺旋扭轉(zhuǎn)，變成了一個螺旋輪齒。螺旋輪齒和直齒輪齒之間的夾角就是螺旋角γ。這個螺旋輪齒展開成平面圖之后，就是一條斜直線。

圖13中也是用直齒輪齒代替了直齒齒槽，直齒齒槽扭轉(zhuǎn)成螺旋齒槽也是這也道理。圖12中的每個螺旋齒槽都是這樣扭轉(zhuǎn)形成的，都是正規(guī)的直齒齒槽扭轉(zhuǎn)不同的角度形成。

（3）齒輪前、后段合成。

圖14、15是齒輪前、后段扭轉(zhuǎn)示意圖，在齒輪前、后段上作用兩個大小相等、轉(zhuǎn)向相反且作用面與齒輪軸線垂直的外力偶;其變形特點是：兩力偶作用面之間的各橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。扭轉(zhuǎn)變形時任意兩橫截面間有相對的角位移，這種角位移稱為扭轉(zhuǎn)角θ。圖14、15中的θ即為截面相對于C端面（假設(shè)C端面相對固定）的扭轉(zhuǎn)角。

這里以及上面所述的所有過程中，都是以單獨一個齒槽做為事例來說明的，因為變螺旋角齒輪上的每個螺旋齒槽的螺旋角度都是不同的，為了分析出普遍的規(guī)律，都是拿出一個螺旋齒槽作為說明，當分析出普遍規(guī)律之后，變螺旋角齒輪上的每個齒槽都遵循這個規(guī)律進行變化。

以齒輪前段進行截面扭轉(zhuǎn)進行示意說明，如圖16所示。C端面是假設(shè)固定的，C端面是正規(guī)的直齒齒輪端面，當外力施加在A段端時，齒槽就會產(chǎn)生一個扭轉(zhuǎn)。

假設(shè)將AC段沿著齒輪軸線截成N段，在這里先取4段截面進行分析。截面1、2、3在沒有扭轉(zhuǎn)時，截面1、2、3的端面形貌與C端面是相同的，都是正規(guī)直齒齒輪端面。點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ都是C端面和截面1、2、3端面上直齒齒槽分度圓上的中點。

在扭轉(zhuǎn)的過程，截面1相對端面C逆時針旋轉(zhuǎn)一個扭轉(zhuǎn)角θ1，直齒齒槽分度圓上的中點Ⅱ，旋轉(zhuǎn)到Ⅱ'點。依次類推，截面2相對端面C逆時針旋轉(zhuǎn)一個扭轉(zhuǎn)角θ2，直齒齒槽分度圓上的中點Ⅲ，旋轉(zhuǎn)到Ⅲ'點。截面3相對端面C逆時針旋轉(zhuǎn)一個扭轉(zhuǎn)角θ3，直齒齒槽分度圓上的中點Ⅳ，旋轉(zhuǎn)到Ⅳ'點。

因此，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ連接成為輔助直齒齒槽線，Ⅰ、Ⅱ'、Ⅲ'、Ⅳ'連接成為螺旋齒槽線。輔助直齒齒槽線變成了螺旋線。

但各截面繞軸線發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動，使各縱向直齒齒槽線均傾斜了一微小傾角γ，這個小傾角就是螺旋角。

BC段（齒輪后段）與AC（齒輪后段）的扭轉(zhuǎn)原理相同，在此不再詳述，唯一不同就是扭轉(zhuǎn)方向不同。扭轉(zhuǎn)角以及形成的螺旋角均是相同的。

BC段（齒輪后段）與AC（齒輪后段）都是以C端面作為基準進行扭轉(zhuǎn)的。將兩段合并為一體，AC（齒輪后段）形成的左螺旋齒槽與BC段（齒輪后段））形成的右螺旋齒槽合并為一體，形成一個完成的螺旋齒槽。如圖17所示。

通過上述分析，發(fā)現(xiàn)可變螺旋角齒輪上螺旋齒槽形成過程中，有兩個重要參數(shù)決定著螺旋齒槽的形成，一個是扭轉(zhuǎn)角θ;一個是螺旋角γ。通過扭轉(zhuǎn)角θ可以求出螺旋角γ，通過螺旋角γ可以求出扭轉(zhuǎn)角θ。這兩者的數(shù)學關(guān)系是怎么樣的呢？下面將詳細的分析。

5 扭轉(zhuǎn)角與螺旋角之間的協(xié)調(diào)關(guān)系

為了研究扭轉(zhuǎn)角與螺旋角之間的協(xié)調(diào)關(guān)系，取齒輪前段為例，如圖18所示。

從齒輪前段中用兩相鄰橫截面m-m、n-n取出長為dx的一個小微段，放大如圖19所示，若截面n-n對m-m的相對扭轉(zhuǎn)角為dθ （在此，假設(shè)m-m截面相對固定不動），即橫截面n-n像剛性平面一樣，相對于m-m繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度，半徑O1a轉(zhuǎn)到了 O1b 位置。相應(yīng)輔助直齒齒槽線有一傾斜角γ如果將齒輪前段看成由無數(shù)個截面段組成，則在此微段中，組成齒輪前段的所有截面段的扭轉(zhuǎn)角dθ均相同，所不同的只是截面段半徑不同。設(shè)其中任意截面段的半徑為ρ，螺旋角（傾斜角）為γρ，則可得γρ與ρ的關(guān)系式為

圖中和公式中的r是齒輪分度圓半徑，因為不管是直齒齒槽線還是螺旋齒槽線都是在分度圓上的齒槽線。

因此，分度圓上的螺旋角公式由（1）式可得：

對（2）式進行積分得：

由（3）式得出扭轉(zhuǎn)角與螺旋角之間的關(guān)系

式中：L是齒輪前段的長度，也就是齒輪寬度的一半。

公式（4）是一個弧度計算公式，要將其轉(zhuǎn)換為角度計算公式，轉(zhuǎn)換過程如下：

式中： α是螺旋齒槽的螺旋角，單位是度; φ是扭轉(zhuǎn)角，單位是度。

由（5）式得出扭轉(zhuǎn)角與螺旋角之間的關(guān)系式：

式中：r是分度圓半徑，mm。L是齒輪總寬度的一半，mm。

上述分析是以齒輪前段作為事例進行的分析，齒輪后段與齒輪前段是一樣的，唯一不同的地方就是轉(zhuǎn)向。得出的扭轉(zhuǎn)角與螺旋角之間的關(guān)系與（4）式也是相同的。齒輪前段和后段合并在一起才是完成的可變螺旋齒槽線扭轉(zhuǎn)過程，如圖21所示。

螺旋齒槽線是由齒輪前后段輔助直齒齒槽線扭轉(zhuǎn)合并形成，因為基準在C端面。

6 可變螺旋角齒輪建模參數(shù)

準確的繪制出可變螺旋角齒輪的三維圖，需要計算出每個螺旋齒槽的扭轉(zhuǎn)角度。根據(jù)變螺旋角齒輪的參數(shù)計算，變螺旋角齒輪的參數(shù)如表1所示。

由前述的（6）式是扭轉(zhuǎn)角與螺旋角之間的關(guān)系式。

目前可變螺旋角齒輪的每個齒槽的螺旋角是已知的，可以根據(jù)（6）式求出對應(yīng)的扭轉(zhuǎn)角。式（6）中r是分度圓半徑。根據(jù)前述可知，可變螺旋角齒輪上的每個螺旋槽，都是根據(jù)基準端面C正規(guī)直齒齒輪端面上的齒槽，扭轉(zhuǎn)不同角度形成的。準端面C正規(guī)直齒齒輪端面也有44個輪齒和齒槽，可變螺旋角齒輪上的每個螺旋槽，就是由這44個標準的直齒齒槽，對應(yīng)扭轉(zhuǎn)不同角度形成的。因此，每個可變螺旋角齒槽扭轉(zhuǎn)角計算公式中的r都是按照正規(guī)直齒齒輪分度圓半徑計算。計算公式如下：

（6）式中的L是可變螺旋角齒輪總寬度的一半，由可變螺旋角齒輪齒輪參數(shù)表可知，齒輪的總寬度是54.5，L就是54.5的一半，是L=27.25。因為扭轉(zhuǎn)分為齒輪前段和后段兩個部分。齒輪前段和后段的長度相同，都是齒輪總寬度的一半。將這些參數(shù)代入公式（6），得出表2、3。

（未完，下期待續(xù)）