隨機正交匹配追蹤算法的熱光鬼成像

高 祿， 亓曉曼， 肖 珂， 宋漢全

(中國地質大學(北京) 數理學院, 北京 100083)

0 引 言

鬼成像(Ghost Imaging, GI)，也被稱為關聯成像或者符合成像，具有傳統光學成像所不具備的多種優點，如非定域性、超分辨率、無透鏡成像以及抗干擾能力強等特點[1-2]。鬼成像系統中包括“閑置光”和“探測光”兩個光路，“探測光”照射物體后的總光強值由一個不具備空間分辨率的探測器收集，即進行“桶測量”；“閑置光”光路中的光束自由傳遞至探測器，光強的空間分布信息被CCD(Charge-coupled Device)探測器記錄下來。兩個光路中的任何一路的觀測數據都無法獲得被測物體的信息，然而經過光場強度關聯計算后卻可獲得被測物體的圖像，因此人們形象地稱之為“鬼”成像[3]。這種新型的量子關聯成像方式在遙感[4-5]、醫學[6]、顯微成像[7]，以及彈載、星載成像探測[8]等各領域具有潛在的應用價值。

1988年，Klyshko[9]首次從理論上提出利用糾纏光子對進行關聯成像的方案。1995年，史硯華研究小組首次利用糾纏光子對實現了量子成像和量子干涉實驗[10]。2002年，Boyd等[11]首次利用經典光源實現了鬼成像，由此證明了非相干的經典光源也能夠實現鬼成像，這一研究降低了鬼成像光源獲取的難度，促進了鬼成像的實際應用發展。隨后，計算關聯成像、差分關聯成像的提出以及壓縮感知算法的應用研究，極大地提高了關聯成像的信息獲取效率和圖像質量[12-18]。

對于空間頻率非相干熱光源鬼成像方案，獲取待測物體圖像信息需要對大量的采集數據進行統計平均，而高質量的圖像必然要以龐大的數據量為代價。這樣的采集過程很大程度地制約了成像效率，是鬼成像探測系統在實際應用中的一個最大弊端。本文通過理論研究與實驗驗證，在壓縮感知鬼成像原理基礎上[19-20]，提出隨機正交匹配追蹤算法，利用極少量測量數據即可再現待測物體的主要信息，從而能夠更好地促進熱光鬼成像系統在實際中的應用。

1 實驗設置

實驗裝置如圖1所示。He-Ne激光器發出的波長為632.8 nm激光束通過1個反射鏡M的反射后，穿過兩個偏振片P1和P2，之后光束照射到勻速旋轉的毛玻璃RG上，產生了空間頻率隨機分布的非相干贗熱光源。N為放置在毛玻璃RG之前的透鏡組，用來調節照射到毛玻璃上的激光橫截面尺寸的大小。實驗中贗熱光發出的光束穿過光闌Iris后，被50/50非偏振分束器BS分成光強相同的兩束光。待測物體T緊貼探測器D1放置，光束經待測物體T后被探測器收集，進行“桶測量”，該光路稱為測試光路；另一光路中的光自由傳播到探測器處，探測器可獲得光場橫截面的光強分布，該光路為參考光路。實驗中，可以通過調節光闌孔徑的大小來控制贗熱光源的橫截面尺寸，進而調控關聯成像的分辨率和可見度。BS距兩個探測器和的距離均為30 cm，即探測光路和參考光路的光程相等。實驗中所選擇的待成像的物體是透射型的振幅物體，物體大小為1 cm×1 cm，透光部分呈字母“C”的形狀，長寬均為600 μm，透光部分線寬為150 μm，其余部分均不透光。

He-Ne-激光器；M-平面反射鏡；P1，P2-偏振片；N-擴束器；RG-旋轉毛玻璃；Iris-光闌；BS-50/50非偏振分束器；D1，D2-CCD探測器；T-待測物體; C.C.-關聯測量

圖1 熱光源無透鏡鬼成像實驗裝置圖

2 理論分析

2.1 熱光場二階關聯函數

熱光關聯成像的理論基礎是熱光場的二階關聯特性。被測物體的圖像是通過兩個探測器橫截面光場的二階關聯函數所獲取。根據高斯矩定理，當光場函數滿足高斯統計分布時，高階關聯函數可以用一階關聯表示。熱光場的二階關聯函數可以寫作:

G(2)(r1,r2,t1,t2)=〈E*(r1,t1)E(r1,t1)〉·

〈E*(r2,t2)E(r2,t2)〉+〈E*(r1,t1)E(r2,t2)〉·

〈E*(r2,t2)E(r1,t1)〉=G(1)(r1,t1)G(1)(r2,t2)+

|G(1)(r1,t2)|2

(1)

式中：E(ri,ti) (i=1,2)表示探測器D1和D2處的光場函數；第1項表示探測器D1和D2處強度分布的乘積，理想情況下是一個常數，通常視為直流背景項；第2項表示光場強度的關聯，即光場的關聯信息。

歸一化二階關聯函數可以表示為：

g(2)(r1,r2,t1,t2)=

(2)

g(2)在完全非相干光的理想情況下數值為2，在一般的部分非相干光源情況下，其測量值介于1和2之間，數值越接近2表明關聯圖像的可見度越高。

2.2 壓縮感知算法

Candes等提出了壓縮感知理論，該理論不同于傳統的奈奎斯特采樣定理。它指出，如果待測信號是可壓縮的或者稀疏的，那么就能夠使用一個觀測矩陣將其投影到低維空間上，然后通過求解最優化問題，從投影中重構出信號。壓縮感知算法打破了奈奎斯特采樣定理的采樣速率限制，將信號的采樣與壓縮編碼同時進行。壓縮感知包括稀疏表示、線性觀測以及算法重構3個環節。

根據關聯成像的基本原理，桶測量的每個觀測值都與物體的透射函數T(x,y)有關。如果將桶測量第r次獲得的探測值記為Br，Ir(x,y)，則表示參考光路的光強分布可以通過下式計算出具體值：

(3)

對物體進行M次采樣后，可以得到M組Br和Ir(x,y)。為了恢復物體的透射函數，將桶測量值與參考光路的強度測量矩陣進行關聯，即：

(4)

根據式(3)，將桶測量值Br作為觀測值，將光強矩陣Ir(x,y)作為觀測矩陣，則可以將信號重構問題歸結為優化問題：

(5)

在壓縮感知算法中，不同的重構算法得出的結果有很大的差異，本文主要對正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法進行討論。正交匹配追蹤的核心思想是，每次循環通過計算殘差與觀測矩陣每1列的內積，找出內積最大也就是兩者最相似的1列，然后根據最小二乘法就能夠最大程度地求解出殘差最小的原始信號估值。在運用OMP算法重構關聯影像時，雖然能夠將影像的主要信息提取出來，但是重構圖像并不具有良好的連續性，信息缺失比較嚴重。尤其是在測量幀數比較多的情況下，算法恢復的圖像并不會表現出較好的可見度和分辨率。這是由于在使用正交匹配追蹤算法時，并沒有充分運用所采集的待測物體的數據信息，隨著測量幀數的增多，此缺點愈加明顯。

3 實驗結果

3.1 熱光鬼成像實驗

首先進行了熱光鬼成像實驗，所采用的實驗方案為無透鏡成像。實驗中采集了不同的統計平均幀數，分別計算二階關聯函數值，實驗結果如圖2所示。圖2的結果顯示對于相同的實驗裝置和待成像物體，在實驗參數完全相同的情況下，采集的隨機幀數越多，圖像的可見度越高。當統計幀數低于1 000幀時，圖像質量隨著幀數的增加明顯提高。當統計平均幀數從1 000幀逐步增加到5 000幀時，圖像質量趨于穩定，即當統計幀數達到一定數量時，圖像質量保持不變。由此可見，若想進一步提高圖像的質量，需要采用其他的方法。

(a) 100幀

(b) 300幀

(c) 500幀

(d) 1 000幀

(e) 3 000幀

(f) 5 000幀

圖2 不同統計幀數熱光關聯無透鏡鬼成像結果

3.2 壓縮感知算法鬼成像實驗

首先利用OMP算法針對300幀、1 000幀以及5 000幀的數據進行相對應的數據處理，將物體的主要信息從光強測量中提取出來，得到如圖3所示的結果圖。圖3的結果顯示，即使用少量的采集數據(如300幀)，也能夠獲得比較清晰的待測物體“C”的圖像，1 000幀和5 000幀的OMP恢復圖像結果相對于300幀的圖像恢復結果而言，圖像的連續性和清晰度有所改善，但是改善效果并不明顯。

圖3中的恢復圖像與原始關聯影像相比較而言，只有“信號”部分有數值，而其余部分都為零，因而可以認為圖像的信噪比為無窮大。然而圖像信噪比大幅提高的同時，由于數據缺失比較嚴重，只能利用算法恢復識別出物體的外形輪廓。由此可見，OMP算法能夠在測量幀數較少的情況下實現對待測物體的外形輪廓識別，在遠程非定域物體識別方面極具應用價值。

為了進一步提高熱光關聯成像壓縮感知算法恢復圖像的質量，在OMP算法的基礎上提出RandOMP算法。對500幀、1 000幀以及5 000幀的原始數據進行處理，算法的處理過程為：從觀測數據中隨機選取了500幀數據進行一次OMP處理，共選取了500次得到500個OMP重構結果，然后對這500組結果求平均，最終得到優化解。將RandOMP處理的結果與原始熱光關聯以及使用OMP算法處理的圖像進行了對比分析，所得結果如圖4所示。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

圖3 OMP算法處理的熱光關聯成像結果

(a)，(b)，(c)分別表示300幀、1 000幀以及5 000幀的原始關聯圖像；(d)，(e)，(f)分別表示300幀、1 000幀以及5 000幀的經過OMP算法處理的結果

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

圖4 熱光關聯圖像、OMP處理圖像及RandOMP處理圖像結果

(a), (b)和(c)： 500幀關聯圖像、OMP和RandOMP處理結果；(d)，(e)和(f)：1 000幀關聯圖像、OMP及RandOMP處理結果；(g)，(h)和(i)：5 000幀關聯圖像、OMP及RandOMP處理結果。

將圖3和圖4的重構圖像進行對比分析可以得知，RandOMP重構算法相比于傳統的OMP重構算法而言，主要具有以下兩方面的優勢：

(1) RandOMP重構算法的運行時間更短。由于每次循環都是使用抽稀后的矩陣執行OMP重構過程，相比于直接使用原始矩陣進行OMP重構，運行速度明顯提高。這種運行速度提高的優勢會隨著采集幀數的增加，測量矩陣的增大，而越發明顯。

(2)RandOMP重構算法對圖像信息的挖掘更充分，重構圖像的質量更高。由圖4給出的3列對比圖像結果可以看出相同采集幀數的情況下，RandOMP的恢復圖像連續性更好，更有利于對待測物體細節的分辨，這是因為RandOMP算法與OMP算法相比損失的圖像信息更少。

4 結 語

將壓縮感知的OMP算法應用于熱光無透鏡關聯成像的實驗方案中。實驗結果表明，僅需要300幀的少量采集數據即可很好地將振幅型待測物體的信息提取，恢復出物體的外形輪廓。OMP算法為熱光關聯成像系統利用少量數據進行物體識別提供了可靠的科學依據。進一步，在OMP算法基礎上提出改進的RandOMP算法，并且應用于熱光關聯成像實驗中。實驗結果表明，RandOMP算法可以明顯地提高獲取再現圖像的質量，相比于OMP算法可以大幅提高重構圖像的連續性，可以應用于熱光關聯成像系統在復雜物理環境下的探測。