跳傘運動與數(shù)學模型研究

李佳蕙

摘 要： 數(shù)學與實際應用相結合才能展現(xiàn)其魅力;而數(shù)學建模就是利用數(shù)學來建立模型進而解決實際問題的一門學科。傘兵是我國軍事力量的重要組成部分，同時跳傘運動也越來越受到人們的青睞。因此如何精準地把握開傘時間并確保人員安全顯得尤為重要。通過建立跳傘的數(shù)學模型，對跳傘運動中的各種變量進行分析，如傘的受力面積、開傘時間、人體質量、降落范圍等;通過分析各變量對跳傘運動的影響，對其進行安全分析。在確保運動員安全的前提下，對最佳撐傘時間進行分析研究。

關鍵詞： 安全跳傘;受力分析;運動分析;收尾速度;開傘時間

中圖分類號： TB????? 文獻標識碼： A????? doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.13.096

1 問題背景

跳傘運動在軍事和經(jīng)濟建設上都有重要意義。早在15世紀，利用降落傘下降的可能性已從理論上得到證明。20世紀初以來，飛艇、飛機廣泛用于民航事業(yè)和軍事方面，降落傘被實際用為飛行人員的救生器具，并逐漸發(fā)展為體育活動。降落傘可應用于應急救生，在返回式航天飛飛機失事時拯救飛行員的性命;也可以起到穩(wěn)定作用，保持飛機彈射椅的姿態(tài)穩(wěn)定，空中加油機的加油器穩(wěn)定;在空降空投方面也有著巨大應用價值，例如傘兵空降以及各種物資和武器的空投;同時也可作為一項被大眾廣泛接受的航空運動。

在跳傘的過程中，準確的把握開傘時間是最重要的，為使運動員及空投物資時能更好的預計較為準確的開傘時間，現(xiàn)提出以下幾個問題。

（1）如何確保運動員能夠安全著陸。

（2）如何確保運動員在制定范圍內(nèi)著陸。

（3）風速對落地范圍的影響與開傘時間的跳傘運動的影響。

2 模型假設

（1）假設人在水平方向所受風速恒定。

（2）假設空氣密度均勻，不隨高度變化。

（3）假設降落傘張開后有效受力面積不變。

（4）假設重力加速度不隨高度的變化而變化。

（5）假設打開降落傘所需的時間和此過程速度的變化忽略不計。

（6）假設人和降落傘相對靜止，并以系統(tǒng)的重心代表整個系統(tǒng)進行分析。

3 模型建立與問題分析

本文主要針對跳傘運動的軌跡變化規(guī)律進行展開研究，因此如何描述跳傘運動員的狀態(tài)是建立數(shù)學模型的首要考慮因素。如下是本文的數(shù)學模型，該模型建立在空間物理模型的基礎上，通過受力分析得到運動員的受力情況;結合運動員此時的運動狀態(tài)進而得到運動員的運動軌跡。

由圖1，根據(jù)解題需要，設定如下參數(shù)：

v：風速;

F阻：空氣阻力;

m：人體質量;

s：降落傘的受阻面積;

h：地面到開傘位置的豎直距離;

d：落地最大范圍;

H：開始跳傘位置與地面距離;

tg：開始下落到開傘所用時間;

t：跳傘過程中所用時間。

3.1 模型分析

如圖1，跳傘運動員從高度為H的高空跳傘，第一階段，即降落傘還未打開時，在該過程中由于降落傘未撐開，為簡化模型，在該過程中只考慮人所收到的重力，因此可以建立類自由落體運動。第二階段，傘打開，由于傘的面積較大，因此需要考慮傘所受到的阻力和人所受到的重力，隨著降落傘的打開，人下降的速度會相應減小，因此加速度絕對值大小也會變小，因此可以建立加速度逐漸減小的減速運動模型，根據(jù)模型具體參數(shù)求解得到含第一階段運動的末速度、人的質量和降落傘面積等參數(shù)相關的運動方程。

通過查閱相關資料可知，降落傘是利用空氣阻力來達到減小速度的一種工具。資料顯示，運動的物體在空氣中所受的阻力大小與物體的運動速度有關。當物體在速度較低情況下，可以認為阻力的大小與阻力系數(shù)、接觸面積、速度成正比，即f=ksv，其中k=2.937。然而，當空氣中的速度非常高的時候，物體會與空氣產(chǎn)生摩擦現(xiàn)象，開始出現(xiàn)氣動加熱現(xiàn)象。一般認為當速度大于2.5（馬赫）時，會出現(xiàn)氣動加熱現(xiàn)象。

由以上知識，并結合模型可知，此處假設人在撐傘之前做自由落體運動;當速度v達到2.5倍音速時，即v=340*2.5m/s物體下落的高度為：

H= v2 2g?? （1）

將g=9.8m/s2，v代入上式可得，H=36862米。由于在實際的跳傘運動中，跳傘的高度通常不會大于H，因此在本文中的空氣阻力的計算公式選擇如下：

f=ksv，（k=2.937） （2）

由前文的運動分析，在開傘之前，運動員做自由落體運動，在該過程中，速度大小為：

vg=gt （3）

降落高度與時間的關系為：

Hg= 1 2 gt2 （4）

在豎直方向上的運動方程為：

H=H0-Hg （5）

當運動員撐開降落傘之后，由于物體所受到的阻力對物體運動的影響非常大，因此必須考慮空氣阻力的影響;由上文可知空氣阻力的計算公式，再結合牛頓公式。

ma=mg-ksvv tg =gtg?? （6）

其中，tg表示運動員自由落體的運動時間， a表示加速度，又由加速度與速度、時間的關系：

a= dv dt? （7）

結合微分方程的求解，可得：

vs= mg ks + gtg- mg ks? ×e- ks m （t-tg） （8）

綜上，下降過程中的速度公式為：

v=? gt mg ks + gtg- mg ks? ×e- ks m （t-tg）???? ttg? （9）

3.2 跳傘的安全分析

3.2.1 確保安全降落的基本條件

通過對降落傘的降落過程進行分析可知，運動員在撐傘之后其速度下降的過程中其加速度的絕對值也同時在下降，因此速度最終會趨向于一個固定的值，通常稱該速度為收尾速度，一般認為此時降落傘的阻力等于此時人和降落傘的重力;再通過對以上公式進行分析可知，人在打開降落傘之后，速度最終將趨向于如下速度值：

v= mg ks? （10）

首先，為保證運動員的安全，確保收尾速度小于人能夠接受的速度，也就是說v<8米每秒。因為這m，s值的大小對于運動員來說是變量，因此可對其進行分析，可列表分析。

根據(jù)上表所得數(shù)據(jù)可知，當體重固定時，可通過增加降落傘得面積減小收尾速度保證運動員得安全。結合上表數(shù)據(jù)并結合實際降落傘的大小，可知運動員如果體重大于70千克而且想要以5米每秒的速度著地則至少需要47.6677平方米大小的降落傘，而這已經(jīng)是非常大的降落傘。

3.2.2 確保運動員的絕對安全必須知道最晚開傘時間

在3.1.1中通過對運動過程分析可以得到在降落傘最終得到穩(wěn)定速度時的狀態(tài);然而，在實際跳傘運動中會經(jīng)常出現(xiàn)不能最終以收尾速度著地的情況發(fā)生，而且在實際生活中有很多情況下為了在規(guī)定區(qū)域著地，必須縮短降落時間。因此當確定收尾速度小于8m/s之后，仍需通過高度來確定開傘時間，以使運動員的著地速度小于安全速度。

但是在實際情況中，我們需要知道至少提前多少打開傘，才能讓運動員在未達到收尾速度時，其真實的降落速度小于安全速度。由上文，打開降落傘的時間為tg，如果得到運動員速度達到安全速度的時間，就能夠求出運動員至少提前多長時間撐傘，也就是撐傘的時間。

根據(jù)對模型的分析，要想對最佳的開傘時間進行確定，則需要確定跳傘的高度或者跳傘的總時間的相關不等式。通過分析模型以及對公式的分析，如果通過高度來確定最佳開傘時間則需要求解開傘后運動員運動的高度。由運動學知識可知，運動員下降的高度是運動員速度對時間的積分，則下降的距離s與時間的關系表達式如下：

h=?? 1 2 gt2 mg ks t+ gtg- mg ks? × - m ks? e- ks m （t-tg）+（ 1 2 gtg2- m2g k2s2 ）???? ttg?? （11）

由以上下落高度與時間的關系，當跳傘高度為H，開傘時間為tg時，可令s=H，則通過求解表達式可得時間t，通過將開傘時間tg和落地時間t代入速度公式，則可得到運動員落地的速度為：

v= mg ks + gtg- mg ks? ×e- ks m （t-tg） （12）

通過求解上式可以得到運動員到達地面時的速度，通過對比安全速度可判斷該速度是否能夠保證運動員的安全。通過對模型進行分析可知，在高度一定的情況下越早打開降落傘則落地的速度會越小，因此當計算的落地速度大于安全落地速度時，可以通過提前開傘來降低落地速度的大小。當然如果可以對傘的大小進行選擇的話，也可以加大傘面的面積來減小落地速度。

3.2.3 風速對落地范圍的影響與開傘時間的關系

在實際生活中，通常對運送物資的落地范圍有嚴格的要求。通過本文模型，可以通過公式（11）求解的時間t，再根據(jù)跳傘時的風速可由如下公式求出跳傘運動員的水平位移：

d=v風×t （13）

結合3.2.2中的數(shù)學模型，分析跳傘過程中，H、tg、v風的改變對跳傘運動的影響，在該分析過程中，取3.2.1中m=50kg的數(shù)據(jù)進行分析，計算結果如表2所示。

通過以上分析可以得出如下結論：

（1）當起跳高度，開傘時間，水平風速一定時，傘面積越大，落地時間越長，落地速度越小，水平位移越大。

（2）當起跳高度，開傘時間，傘面積一定時，水平風速越大，水平位移越大。

（3）當起跳高度，傘面積，水平風速一定時，開傘時間越靠后，落地時間越短，落地速度越大，水平位移越小。

（4）當開傘時間，傘面積，水平風速一定時，起跳高度越高，落地時間越長，落地速度越大，水平位移越大。

以此可以直觀地得出起跳高度，開傘時間，水平風速，傘面積的相應變化關系，從而供相關人員參考。

4 總結

在人類歷史發(fā)展和社會生活中，數(shù)學發(fā)揮著不可替代的作用，也是學習和研究現(xiàn)代科學技術必不可少的基本工具。本文通過建立相應數(shù)學模型，對跳傘運動進行研究，通過公式推導及數(shù)據(jù)分析，對降落傘受力面積與開傘時間的關系，風速對落地范圍的影響與開傘時間的關系，落地安全速度對開傘時間的影響及對最佳起跳高度的研究，基本確定了跳傘運動過程中開傘的最佳時間，可供運動員及跳傘運動愛好者參考。同時，在跳傘運動過程中，由于空氣在不同水平層的密度不同，不同水平層的風速也有很大變化，這些影響因素在本文的研究中并未提出，因此模型還有一些缺陷與不足，這也是數(shù)學建模的局限。

本文所求得的開傘最佳時間可以運用在遇險物資投放上，通過程序設定最佳開傘時間來控制物資投放的地點與速度。可以更加安全，范圍更加精準。

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