分數階反應擴散模型在圖靈斑圖中的應用及數值模擬

張榮培, 王 語

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

反應擴散系統在生物、化學、物理和工程中的圖案形成中有著廣泛的應用。如生物學[1-3]、物理學[4-5]、神經科學[6]、光學[7]、化學[8]和地質學[9]等。近幾十年來,分數反應擴散模型因其在各個科學和工程領域的應用也引起了人們的廣泛關注和興趣[10]。

從數學的觀點來看,分數階反應擴散系統可以用一個偏微分方程組描述:

(1)

(n·)

對于大多數分數階微分方程,沒有一種普遍有效的方法來求精確解。為此,需要求解分數階微分方程的數值解。Li和Xu[11]考慮了時空分數階擴散方程弱解的譜方法。Khader等[12-13]選擇了空間導數為Caputo導數的Chebyshev和Legendre Galerkin方法對分數階對流-彌散方程進行離散,這與Li和Xu的分數階擴散方程的結果相似[14]。Hanert[15]還提出了求解分數階Riemann-Louiville對流-擴散方程的Chebyshev譜方法。最近,Zayernouri和Karniadakis[16]提出一種基于分數階拉格朗日插值的配置方法來求解分數階偏微分方程。

本文使用傅里葉譜方法作為一種有效的替代方法求解分數階反應擴散模型。傅里葉譜方法是求解矩形區域的分數階反應擴散問題的一種有效方法,具有譜收斂性。在時間離散方面,采用指數時間差分方法,提高了穩定性和計算效率。

1 分數階Laplacian的譜分解

對于任意u∈Uα,分數階拉普拉斯算子可以定義為

2 數值方法

將二維計算域Ω=[a,b]×[c,d]離散為張量積網格。網格點為(xj,yk):xj=a+jΔx-Δx/2,yk=c+kΔy-Δy/2,(j=0,1,…,M-1,k=0,1,…,N-1)。空間網格尺寸為hx=(b-a)/M,hy=(d-c)/N。考慮有限個正交三角特征函數:

(xj,yk)處的解u可以由截斷級數表示為

再利用逆離散余弦變換得

(2)

將式(2)帶入式(1)中,可得