部分結(jié)構(gòu)突變的線性面板模型的變點(diǎn)估計(jì)

韓姣,夏志明

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言

面板數(shù)據(jù)中存在公共變點(diǎn)的現(xiàn)象發(fā)生在社會(huì)生產(chǎn)的方方面面,例如一種商品價(jià)格的漲跌影響周邊多種相關(guān)商品的銷量,儲(chǔ)蓄利率調(diào)整會(huì)導(dǎo)致各大銀行貨幣存儲(chǔ)量變化等.面板數(shù)據(jù)中變點(diǎn)估計(jì)問題的研究有利于及時(shí)發(fā)現(xiàn)社會(huì)生產(chǎn)中的異常經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象以避免不必要的損失.實(shí)際上,同一事物往往受多因素影響且某些因素之間不存在相關(guān)關(guān)系,當(dāng)某些因素發(fā)生突變時(shí)存在另一些因素不發(fā)生變化,表現(xiàn)在變點(diǎn)模型中稱為部分結(jié)構(gòu)突變,即存在參數(shù)不受變點(diǎn)的影響.一方面,部分結(jié)構(gòu)突變的變點(diǎn)模型在應(yīng)用上更為廣泛.另一方面,同樣精度要求下面板數(shù)據(jù)相對(duì)于單序列在變點(diǎn)估計(jì)問題上需要更少的數(shù)據(jù),即意味著更節(jié)省時(shí)間成本.因此部分結(jié)構(gòu)突變的線性面板模型中變點(diǎn)估計(jì)問題的研究對(duì)于經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展意義重大.

統(tǒng)計(jì)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)現(xiàn)存文獻(xiàn)中有大量關(guān)于線性模型變點(diǎn)問題的文章.文獻(xiàn)[1]對(duì)于變點(diǎn)估計(jì)問題的研究做出了巨大的貢獻(xiàn),考慮了線性過程中具有未知變點(diǎn)的均值漂移模型,通過最小二乘法估計(jì)未知變點(diǎn),相對(duì)于文獻(xiàn)[2-4]采用的最大似然估計(jì)方法縮減了計(jì)算復(fù)雜度,證明了變點(diǎn)估計(jì)量的相合性,得到了收斂速度及躍度較小時(shí)變點(diǎn)估計(jì)量的漸近分布.文獻(xiàn)[5]考慮帶有單個(gè)變點(diǎn)的部分結(jié)構(gòu)突變的多元回歸模型中的變點(diǎn)估計(jì)問題,允許滯后因變量,趨勢(shì)回歸,誤差序列的相關(guān)性及異質(zhì)性,同樣得到了變點(diǎn)估計(jì)量的大樣本性質(zhì).文獻(xiàn)[6]研究了部分結(jié)構(gòu)突變的多變點(diǎn)線性模型的變點(diǎn)估計(jì)與檢驗(yàn)問題并提出了多變點(diǎn)的序貫估計(jì)策略.然而他們都只得到了變點(diǎn)分?jǐn)?shù)估計(jì)量的T相合性,變點(diǎn)估計(jì)量與真值的差是隨機(jī)有界的,在樣本量給定的情形,這樣的結(jié)論沒有任何意義.對(duì)于面板數(shù)據(jù)中變點(diǎn)問題的研究始于文獻(xiàn)[7-8],他們引入了面板數(shù)據(jù)模型的均值項(xiàng)上可能存在變點(diǎn)的問題.文獻(xiàn)[9]對(duì)早期的研究進(jìn)行了一般化的處理,考慮簡(jiǎn)單均值漂移模型,在各面板間相互獨(dú)立的假設(shè)前提下允許每個(gè)面板中誤差存在序列相關(guān)性,且不要求每一項(xiàng)的觀測(cè)值數(shù)量與樣本量成正比,得到了變點(diǎn)估計(jì)量的相合性.然而在復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)關(guān)系中,簡(jiǎn)單均值漂移模型并不能很好地描述和解釋經(jīng)濟(jì)規(guī)律.近期,文獻(xiàn)[10]考慮具有固定效應(yīng)的非線性和不可分離面板數(shù)據(jù)模型的半?yún)?shù)估計(jì),在正則條件下得到估計(jì)量的相合性及漸近正態(tài)性,但對(duì)線性情形未作考慮.

本文討論部分結(jié)構(gòu)突變的線性面板模型中單個(gè)公共變點(diǎn)的估計(jì)問題.首先對(duì)部分結(jié)構(gòu)突變的模型進(jìn)行重參數(shù)化,再通過最小二乘法得到線性參數(shù)估計(jì)量的矩陣表達(dá),由最小化殘差平方和準(zhǔn)則估計(jì)變點(diǎn),證明了變點(diǎn)估計(jì)量的相合性.最后蒙特卡羅模擬結(jié)果顯示理論是正確的.

2 統(tǒng)計(jì)模型及假設(shè)

考慮如下的帶有同一個(gè)給定變點(diǎn)k0的部分結(jié)構(gòu)變化的線性面板模型：

其中yit是可觀測(cè)的因變量,xit(p×1)和zit(q×1)是可觀測(cè)的協(xié)變量向量,是相應(yīng)的系數(shù)向量且?it是誤差項(xiàng).注意不受變點(diǎn)的影響但不同序列可能有不同值.模型(1)可被表示為

模型(1)和模型(2)可被等價(jià)地表達(dá)為矩陣形式

其中

得到.將上述的最小二乘估計(jì)量代入目標(biāo)函數(shù)得到殘差平方和函數(shù)ST(k),則變點(diǎn)估計(jì)量為

考慮參數(shù)的可識(shí)別性,有k∈{p+q,···,T?p?q}且變點(diǎn)估計(jì)量是目標(biāo)函數(shù)的全局最小值.

則模型(3)等價(jià)于

由最小二乘方法可得參數(shù)αj,j=1,2的最小二乘估計(jì)量為其中Wj=diag(W1j,···,WNj),j=1,2.由可得,則

假設(shè)1存在δ>0,K<∞使得

假設(shè)2令,則 (a){?it}是一個(gè)關(guān)于的鞅差序列且存在c>0使得E|?it|4+c<∞;(b)?it關(guān)于i相互獨(dú)立.

假設(shè) 3

根據(jù)假設(shè)1-假設(shè)2,再由文獻(xiàn)[11]及弱大數(shù)定律可得

假設(shè) 4當(dāng)T→∞,k1,k2∈{p+q,···,T?p?q},令

其中Gi(τ0),Gi(τ)和Gi(1)為有限對(duì)稱正定矩陣,Gi(τ)關(guān)于τ連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增,

且存在某一正常數(shù)Q,使得λmax{Gi(τ)}≤Q,i=1,···,N,j=1,2.令

假設(shè) 5存在0

假設(shè) 2要求對(duì)于固定的i,wit中不存在滯后相依的回歸量,此時(shí)要求誤差序列{?it}存在序列相關(guān)性.假設(shè)3是發(fā)展?jié)u近理論的基本假設(shè),要求變點(diǎn)兩側(cè)的觀測(cè)值數(shù)量隨著樣本容量的增加而成比例增加.假設(shè)4是多元線性回歸的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè).假設(shè)5要求躍度不為零且二階矩有限.

3 變點(diǎn)估計(jì)量的大樣本性質(zhì)

對(duì)于帶有單個(gè)公共變點(diǎn)的部分結(jié)構(gòu)突變的線性面板模型(3),可得到如下的變點(diǎn)估計(jì)量的大樣本性質(zhì).

定理3.1在假設(shè)1-假設(shè)5條件下,有

證明考慮類似于文獻(xiàn) [12]命題 1中的重參數(shù)化方法,令W=W1+W2且則模型(4)可被重參數(shù)化為

定義M=I?P,其中投影矩陣P=diag(P1,···,PN),

由標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)得殘差平方和函數(shù)(5)可寫為ST(k)=Y′MY且MW=0,則

M是對(duì)稱冪等矩陣且列滿秩,因此有M半正定,

R∞(τ)連續(xù)且在τ0達(dá)到唯一最小值 0.由文獻(xiàn) [13]的定理 2.1知,當(dāng)T→∞且,再由假設(shè)3和假設(shè)4可得

4 蒙特卡羅模擬

由模型(1)生成數(shù)據(jù)以驗(yàn)證理論的正確性.令樣本量N=1,5,10,15,20,30,70,100,T=30,80,150,,p=2,q=2,的元素服從的元素分別服從U(2,2.5),U(2.5,3),xit,zit的元素服從N(1,1),?i1～N(0,1),ηi1=0,ηit～N(0,1),?it=?0.6ei(t?1)+ηit,i=1,···,N,t=1,···,T,估計(jì) 1000 次得到估計(jì)準(zhǔn)確率及變點(diǎn)估計(jì)量均值與真值的距離,見表1.

表1 基于1000次模擬所得估計(jì)準(zhǔn)確率,變點(diǎn)估計(jì)量均值與真值的距離及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤

由表1可知,在所考慮的情形中當(dāng)N=1時(shí),變點(diǎn)估計(jì)的準(zhǔn)確率隨著T增大而增大,但總體上準(zhǔn)確率偏低,低于 25%.這表明此時(shí)單序列變點(diǎn)估計(jì)效果差強(qiáng)人意.當(dāng)T及N同時(shí)增大時(shí),估計(jì)的準(zhǔn)確率逐漸趨近于1,1000次估計(jì)所得變點(diǎn)估計(jì)量均值與真值的距離及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤都趨于0,即變點(diǎn)估計(jì)值收斂于真值.

5 結(jié)論

本文研究了部分結(jié)構(gòu)突變的帶有單個(gè)公共變點(diǎn)的線性面板模型中變點(diǎn)估計(jì)量的大樣本性質(zhì),在面板數(shù)及樣本量同時(shí)趨于無窮的情形證明了變點(diǎn)估計(jì)量的相合性,并通過蒙特卡羅模擬驗(yàn)證了理論的正確性.