追夢赤子心
——記南京大學數學系教授劉公祥

□ 杜月嬌

1900年，巴黎國際數學家代表會上，數學家希爾伯特發表了題為“數學問題”的著名演講。在這個演講中，他根據19世紀數學研究的成果和趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這些問題后來被統稱為“希爾伯特問題”，100多年過去了，希爾伯特問題有的已經得到圓滿解決，有的至今懸而未決。

南京大學數學系教授劉公祥十分欽佩希爾伯特，不止源于希爾伯特樹起了19世紀末20世紀初國際數學界的一面旗幟，更因為他堅信每個數學問題都可以得到解決的信念。

“在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這里有一個數學問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因為在數學中沒有不可知。”在“數學問題”演講中，希爾伯特說道。

隔著一個時代，劉公祥依然能感受到這句話中澎湃的激情。“熱愛+堅持+勤奮”，這份赤子之心是他十數年數學之路上的行走秘籍。“做學問就要有一顆純粹的心去追求未知的世界，‘功利’只能是一種額外獎賞，而不應該是肩上的負重。”劉公祥說。

念念不忘，必有回響

1941年，德國數學家H.Hopf發現球面的上同調群具有特殊的代數結構，即Hopf代數結構。從此，Hopf代數這個嶄新的代數結構迅速發展了起來。

劉公祥在課堂上

“Hopf代數結構最初來源于拓撲學，它描述了一些拓撲空間的對稱性，隨著研究的發展，人們發現它不僅僅能描述拓撲空間的對稱性，也能用來描繪量子世界的某種對稱性。”劉公祥介紹道，“Hopf代數與物理和數學的很多分支有著意想不到的聯系，例如共形場論、低維拓撲、非交換幾何、特征p域上的代數群表示理論等。”

談起Hopf代數，劉公祥神采飛揚。但在進入安慶師范學院學習之前，劉公祥對數學并沒有太過偏愛。“一個農村孩子，也不知道外面的世界是什么樣的”，他說。高考之前，青蔥少年劉公祥對未來的唯一概念就是“學好數理化，走遍天下都不怕”。為此，他毫無意外地在高考志愿表上填寫了3個專業志愿：數學、物理、化學，而后順理成章地被安慶師范學院數學專業錄取。

大學生活推開了劉公祥人生中的一扇大門，真實地接觸到數學分析、高等代數等課程后，他心底只余4個字來評判——精彩紛呈。“我的性格是逆來順受型的，我不是因為喜歡數學而學習數學，而是因為學了數學以后才喜歡上數學的。我并不知道自己喜歡什么，但是學習數學之后就被這些理論吸引住了。”劉公祥誠懇地說。對數學的“后天”熱愛，令劉公祥存了立志深造的心思。2000年，他考入浙江大學讀研，專業是基礎數學。

從安慶師范學院到浙江大學，劉公祥的路越走越寬，卻也難免迷茫。考研時，他就發現，雖然在學過的專業上基礎十分扎實，但在面試階段，主考老師問到的拓撲學等學科，他并沒有學習過。“知識面窄，但精細”，這也是當時他留給別人最大的印象。年輕時的劉公祥很介懷“知識面窄”，“跟留校的保送生相比，他們知道的東西簡直太多了，我知道的簡直太少了”。剛到浙江大學，劉公祥就為此自卑了。但好學的他，并不會讓自己一味沉淪于自卑感中，反而加倍勤奮起來。那時，他每天看書時間都不會低于12小時，長時間的用腦導致他有段時間早上連鬧鐘都叫不醒。“現在懂得是每天看書時間太長，大腦需要休息了，但那時經常自責，怎么會睡過頭。”

一年過后，劉公祥終于迎頭趕上。最直觀的改變就是，別人知道的，他也知道，而且常常會知道得更深入，到了這時，反而是別人不大知道了。“我是個非常不聰明的人，堅持和勤奮讓我可以努力得到更多知識，這非常關鍵。”劉公祥謙遜地說。

2007年6月，劉公祥結束了在中國科學院數學研究所的博士后研究工作，到南京大學任職。到2019年6月，他在南京大學就要滿12個年頭了。但他依然保留著大學時代的學習習慣，堅持和勤奮已經成為一種自然而然的品格，融入他的血液當中。

Jens Fjelstad（左一）來訪

新方法，新“表示”

采訪中，劉公祥強調了一個時間——1986年。就在這一年，烏克蘭數學家Drinfeld在國際數學家大會上作了一個報告。報告中指出，量子群范疇和Hopf代數范疇事實上是等價的，Hopf代數還是Lie代數的量子化發展。這意味著量子群和Hopf代數之間存在一一對應關系，從某種意義上說，Hopf代數就是量子代數。隨后數年中，量子群得到了長足的進步，而Drinfeld也主要因為此而獲得了數學界的諾貝爾獎——菲爾茲獎。

Drinfeld的觀點極大促進了Hopf代數的發展：Lie理論的思想方法被重新應用到Hopf代數的研究中。而對劉公祥來說，為Hopf代數研究引入新方法，也是他這些年來的重要工作之一。

對于電子商務運營課程教學離不開實踐環節，在理論教學的過程中需要適當的提供實踐環境，方便學生在學習理論之后可以通過實踐教學更好的理解、掌握和運用相關知識點。

“就是代數表示論”，劉公祥介紹道，“研究Hopf代數比較傳統的方法是環論的方法，我喜歡用表示論的方法”。代數表示論是一支興起于20世紀70年代的重要代數分支，主要研究有限維代數的不可分解表示和模范疇的整體構造，其中的核心問題之一就是：給定一類代數，如何根據表示型來分類？

為此，他用了六七年時間去攻關basic Hopf代數表示型的完整分類，成功將Hopf代數結構尤其是余乘結構，與代數表示論及組合數論中的生成函數等建立了聯系，從而解決了Hopf代數及代數表示論的一個核心問題。

走進量子世界

1989年，日本數學家Toshitake Kohno發現K-Z方程組導出的辮子群的單值化表示實際上是由一個泛R-矩陣給出的。1990年，Drinfeld希望通過K-Z方程組直接看出這個泛R-矩陣，從而為Kohno的發現給出一個直接的解釋。按照Drinfeld的設想，K-Z方程組背后應該存在一個擬三角Hopf代數，但出人意料的是，最終結果卻是一個擬三角的擬Hopf代數。擬Hopf代數就這樣出現了，人們隨后發現這是一類如此自然的代數：即幾乎可以理解為表示范疇為張量范疇的代數。

但擬Hopf代數的發展是極為緩慢的：同樣在1990年，3位數學物理學家在理解一類全純頂點算子代數的表示范疇時，利用重構理論構造出一類新的代數——Dw（G），他們也證明出這是一類擬Hopf代數。隨后15年，Dw（G）居然成為唯一被知道的半單擬Hopf代數的新例子！

“從形式上來說，擬Hopf代數比Hopf代數要復雜得多。而且，擬Hopf代數的分類是在twist等價這么一個更加廣泛且自然的條件下進行的。”劉公祥認為，twist等價造成了兩重困境，一是令人懷疑是否根本無法構造出真實的擬量子群；二是很難判斷一個擬Hopf代數是不是真實的。

轉機發生在2005年。這一年，Gelaki構造了一類真實的擬Hopf代數，可以理解為Taft代數的擬Hopf類似，并用群的上同調給出了所構造擬Hopf代數的真實性判斷。隨即，他又與Etingof合作完成了素數階循環群上的基本擬Hopf代數分類，不僅得到了一部分真實的擬Hopf代數，還至少讓人們意識到擬Hopf代數的余乘形式是非常不平凡的。2010年，Angiono極大推廣了Etingof-Gelaki的結果和方法，分類了循環群上的基本擬Hopf代數，但Angiono本質上并沒能給出擬Hopf代數的新例子。

未知即動機。劉公祥認為，他們可以在這一方向上努力。此前，劉公祥已經利用箭圖分類了所有的點的擬三角Hopf代數。利用這一工具，他與合作者還進一步完整刻畫了基本圈上的所有可能擬量子群結構，不僅提供了新例子，還在事實上分類了有限表示型的擬Hopf代數。作為推論，他們還分類了所有的有限型張量范疇，為張量范疇的研究引入了新工具。2011年，這篇論文被投到權威數學物理期刊Comm.Math.Phys.上后，審稿人對此表示出了高度贊同，認為其“得到了一個完整的分類結果”，并“從數學家的角度做出了簡明的介紹和清晰的闡述”。

“我們證明了，對于每一個單Lie代數g，它們對應的擬Frobenius-Lusztig核Q（g）都是存在的。”劉公祥介紹說。難能可貴的是，如果說以往發現的都是相對孤立的例子，他們所提出的就是一個批量生產產品的方法，在這個體系下，可以有大批量的真實的擬Hopf代數被構造出來。“也就是說，對于每一個單Lie代數g，它對應的擬量子群不是真實的，但擬小量子群真實存在。”說起來有些繞口，但劉公祥依然欣慰，他們終于有希望去分類一部分有限維擬Hopf代數了。

“張量范疇與表示論相結合是一個極具潛力的發展方向，而研究它們的一個極為有效的語言就是擬Hopf代數。這個領域充滿未知，現在還是初級階段，我很難預言它下一步會發展成什么樣子，唯一可以斷言的就是這將是一個非常活躍的方向。”

劉公祥堅信這一點。2017年2月，他向國家自然科學基金委提交了優秀青年科學基金項目申報，希望能夠得到更多支持來研究“量子代數與表示論（有限維基本擬Hopf代數的分類）”。從2018年啟動以來，該項目正在循序漸進地開展，預計在2020年年底結題。“我們的目標是分類一大類的有限維擬Hopf代數，不僅可以得到大批量的真實的擬Hopf代數的例子和結構，還將看到擬Hopf代數在張量范疇與表示論方面卓有成效的應用。”劉公祥表示。

“劉代數”

自1969年引入后，有限維Hopf代數的積分理論就被認為具有非常優美的性質，是緊李群上的哈爾積分的類似物。與有限維相對的，自然是無限維。如何定義無限維Hopf代數的積分理論？一直以來，結果并不理想。

直到2005年前后，浙江大學盧滌明教授、美國華盛頓大學J.Zhang教授和復旦大學吳泉水教授合作引進了同調積分概念，保持了通常積分的諸多美妙性質，被證明是一種成功的推廣。3位作者猜測，所有滿足一定條件的Gelfand-Kirillov維數1（簡稱為GK-維數）的Hopf代數只有3類：無限維Taft代數、無限循環群的群代數和無限二面體群的群代數。而這個猜測基于同調積分理論的應用，并受到一維連通代數群分類的影響。

對此，劉公祥也非常感興趣。他在工作中構造出了第一個滿足條件的GK-維數1的Hopf代數的例子，從而回答了上述3位作者的猜測，為GK-維數1的Hopf代數分類工作做好了準備。該文發表在Proc.Amer.Math.Soc上，并被數學領域著名SCI期刊Trans.Amer.Math.Soc.、Proc. Lond.Math.Soc.、J.Pure Appl. Algebra他引。

“我以前研究有限維Hopf代數分類，這個發現也受到了有限維的思想影響。或者說，這一類無限維Hopf代數中可以看到有限維的影子，是用有限維的知識找出一個新的無限維的例子。”劉公祥講述著他的思路。

成果發表后引起了國際學術界的高度關注。2010年，K.Brown和J.Zhang在Proc.Lond.Math.Soc.上提出，可以在某些條件下完成GK-維數1的Hopf代數的分類。在這篇文章中，兩位作者重點突出了劉公祥的研究成果，將其構造出的例子稱為“Liu’s algebra”(劉代數)，并將他們自己構造的一大類新的代數稱為“Generalized Liu’s algebras”（廣義劉代數）。

將研究成果冠以姓氏，這無疑是對一個研究者最大的贊同。劉公祥卻覺得，“這項工作給我帶來的最大喜悅是可以發現很多新的Hopf代數分類”。近年來，在J.Zhang等人工作基礎上，劉公祥又與合作者構造出一大類新例子，并徹底完成了該類Hopf代數的分類。2016年，該成果發表在權威數學期刊Adv.Math.上。在該系列結果出現之前，學術界普遍相信較低GK-維數的Hopf代數應該都是pointed（點）的，而劉公祥構造的新例子否定了這種看法，也充分展示了Hopf代數的復雜性。更加意外的是，在這些例子中還產生了一批新的半單Hopf代數。“這批新的半單Hopf代數值得進一步研究”，劉公祥說。

激情燃燒的數學人生

“劉公祥是最活躍的年輕數學家之一，他在Hopf代數和量子群研究上貢獻很大。我要強調的是，基于身后的理論背景，他的研究成果都得到了具體的例子支持。我認為他的潛力非常大。”國際著名數學家A.Masuoka評價道。

劉公祥身上不乏這樣的高評價，但他卻說自己是一個“故事平淡”的人。一直以來，他都習慣勤勤懇懇地做好一切準備，讓每個“下一步”都來得水到渠成。他認為這是一種做學問應有的態度。目前，他有3位博士在讀，并指導兩位博士后。他強調學生要自主，因為數學思想的發現和數學結構的理解，需要合作，更需要個人的主觀能動性。他們成立了兩個討論班，以讀經典著作和論文為主題，相輔相成。

和Akira Masuoka （左二）在一起

他自己熱愛數學，也希望學生們能夠從熱愛中去從事數學研究。講授“高等代數”課時，他通常把第一堂課設置為導讀課，在這堂課上建立起學生們學習數學的自信，以及對課程的整體印象。他注重講課激情，認為教師的激情能夠感染學生。在研究生面試過程中，他還會通過聊家常來考察學生品德，并綜合考量學生的基礎程度及學習潛力。

“我對他們其實是有規劃的，生活上不嚴格，但是學習上很嚴。”劉公祥自我評價道。但有趣的是，在“南數后花園”公眾號上，劉公祥聞名的并不是他所說的嚴格，而是幽默風趣、靈活多變的授課風格，甚至還擁有一個“公祥小天使”的愛稱。

他熱愛教學、熱愛數學，多年以來，在Hopf代數的分類研究上，他從未動搖過。用他的話說，即使事業生涯中難免遇到瓶頸，也不是對數學失去興趣，而僅僅是問題得不到有效進展。“數學是一種抽象的語言。比如，人們可以看到一支筆、一根筷子，但是數字1是看不到的。這種抽象，對人類的思維提出了極大的挑戰。我從來不覺得數學枯燥，反而覺得這種挑戰特別具有吸引力。”

和所尊崇的希爾伯特一樣，劉公祥在數學研究上懷著一顆赤子之心，他不覺得有什么問題是永遠無解的，只是更難破解而已。1930年，在接受哥尼斯堡（現俄羅斯加里寧格勒）榮譽市民的演講中，針對一些人信奉不可知論觀點，希爾伯特滿懷信心地宣稱：“我們必須知道 ，我們必將知道！”這句話，也寫在劉公祥的信條里。