密集排水孔幕條件下圓形隧洞軸對稱滲流模型數值分析

（貴州省水利水電勘測設計研究院，貴州 貴陽 550002）

1 研究背景

排水孔作為重要的滲控措施廣泛應用于隧洞工程中。一般沿洞軸線方向交替間隔分布，具有一定的規律性，但數量眾多，且徑向尺寸與巨大的滲流模型尺寸相比極小，因此對每一個排水孔進行精確模擬較為困難。針對這一問題，王鐳等［1-6］提出了一系列排水孔模擬方法，比較典型的有排水子結構法、桿單元法、以管代孔法、空氣單元法、復合單元法等。排水子結構法理論較嚴密，計算精度較高，不足之處是需要定義子結構與排水孔之間的關系，會顯著增加數據準備的工作量和計算的復雜度。其他幾種方法則是尋求宏觀等效方法，避免對排水孔進行物理上的直接模擬，因此也就難以精細反映排水孔的排水滲流特性。排水孔是人工設置在巖體中的圓形空心強導水通道，為滲流提供了一個相對開闊的空間，對滲流的阻力遠小于周邊的裂隙和巖塊，這就使得裂隙和巖塊中的水流從排水孔孔壁滲出［4］，其原理與地下水向各向同性介質中水井的穩定運動相同［7］，因此將排水孔的孔壁作為溢出面邊界，按給定水頭邊界條件處理。Gurehgian將排水孔作為計算域內給定水頭的邊界條件，用有限元方法求解［1］。該方法的弊端在于排水孔內徑非常小（直徑5～10 cm），遠遠小于計算域尺寸，且隧洞排水孔眾多，若將每一個排水孔作為內邊界處理，會使網格過于復雜，但從精細模擬的角度考慮，排水孔應作為計算域的邊界處理［8］。基于此，通過將排水孔圓柱面溢出邊界等效為矩形溢出邊界面，能有效降低網格的復雜程度；同時將計算域簡化為平面軸對稱問題［9-10］，并擴展為呈圓環體狀空間模型，進一步簡化了網格模型。基于固定網格，采用單元傳導矩陣調整法［11］，可解決滲流自由面的求解問題。由此，按軸對稱問題建立了密集排水孔幕條件下的圓形隧洞滲流模型，通過求解隧洞襯砌外緣的孔隙水壓力（將其作為襯砌滲透力［9］，同時作用于襯砌外緣的外水壓力）、排水孔的排水流量，達到深部隧洞工程的滲控目的。隧洞按軸對稱問題求解不僅適用于圓形斷面，同樣適用于正方形斷面、圓拱直墻斷面和客專雙線斷面，只需要將非圓形斷面按周長等效法換算成圓形隧洞尺寸即可［12-13］。除此以外，按軸對稱問題求解的方法也可用于淺埋隧洞水壓計算［13］，但應注意求解得到的水壓為隧洞中心處水壓，對斷面較高的隧洞，應注意水壓在高度方向的變化。

2 滲流模型的建立

2.1 圓形隧洞軸對稱模型

在山區深部隧洞工程中，隧洞位置處的水深低于埋深。假定圍巖為各向同性均勻連續介質，隧洞為圓形，襯砌內徑為r0，外徑為r1，遠場穩定水頭r2為地下水頭；地下水頭設為H，水流為穩定流，其運動規律服從Darcy定理，同時假定隧洞的排水通過襯砌均勻滲水實現（隧洞工程排水孔流量均勻分布到襯砌中［9］），襯砌滲透系數k1、圍巖灌漿層滲透系數kg、圍巖滲透系數kr，可簡化為軸對稱問題進行處理，簡化計算模型見圖1。

圖1 圓形隧洞軸對稱簡化模型

由于襯砌厚度相對于地下水頭較小，襯砌滲透力可簡化為作用在襯砌外緣的表面力，該表面力取該處的孔隙水壓力［9-10］。根據地下水動力學理論［14］，推導出圓形隧洞的排水量Q和襯砌外水壓力P1的計算公式［9-10，12］：

式中，h1為襯砌外緣處水頭；rg為固結灌漿圈半徑；γ為水的容重。

2.2 排水孔模擬

2.2.1 排水孔溢出邊界條件等效轉換

排水孔的功能是將地下水排導至滲流計算域以外，對隧洞襯砌的水頭分布影響非常大，是折減隧洞襯砌外水壓力的重要手段［15］。排水孔的孔壁溢出邊界一般為圓柱面，直徑多為5～10 cm，若在空間模型中逐一建立排水孔的溢出邊界，模型將異常復雜。為簡化計算，可以按孔壁的周長等效為一個矩形面（見圖2），將其作為內部邊界條件考慮，使得空間三維曲面溢出邊界轉換為空間平面溢出邊界，有助于對復雜排水孔幕建模。

圖2 排水孔溢出邊界條件等效轉換示意

2.2.2 排水孔滲流行為模擬

（1）排水孔排水特性的模擬方法。盡管排水孔的內徑較小，但其在環向、軸向的分布具有較強的規律性，可視為一系列排列有序的內部排水縫面，具體見圖3。因此，在建立網格模型時，無需建立專門的排水孔單元，只需要結合排水孔周長的等效寬度b、伸入巖體的深度t、排水孔縱向間距L以及環向布置間距，在特定區域內進行網格剖分，而后按照矩形平面溢出邊界的空間位置關系，將一系列對應節點作為內部邊界條件來描述排水孔幕的排水特性。

（2）滲流自由面與排水孔滲流逸出點的計算。滲流自由面基于固定網格的單元傳導矩陣調整法進行求解，對于被自由面穿越的單元，其滲透系數按體積加權法進行計算［11］。逸出點是滲流自由面上的特殊點，它處在滲流自由面和溢出面的交界處，既可作為滲流自由面的節點，也是未知的水頭節點，同時也可作為溢出面的已知水頭節點。計算時，首先假定排水孔溢出矩形面節點均為逸出點，并作為已知水頭節點，求出滲流自由面上各節點的水頭值，然后調整自由面；逸出點的位置根據與其臨近自由面上節點位置加以修改，具體做法見文獻［11］。該方法有效模擬了排水孔穿過自由面時的情況，即排水孔自由面以上邊界為不透水邊界，以下為定水頭邊界。

2.3 空間滲流模型

圖3 隧洞復雜排水孔幕溢出邊界示意

按軸對稱問題對隧洞進行滲控分析是一種重要的解析方法，在理論研究和工程中都得以廣泛應用［16-17］。其外部定水頭邊界為圓形，既能有效簡化滲流模型網格的剖分，還能進一步對比分析有限元計算成果。

2.3.1 計算假定

從實用角度考慮對滲流計算作如下假定［12］：①隧洞圍巖為均質、連續、各向同性介質；②滲流為穩定流并服從Darcy定理；③地下水位恒定，不因隧洞開挖、排水孔的排水而改變。

2.3.2 空間滲流模型

計算域內滲流巖體按軸對稱問題進行簡化，模型呈圓環面狀。由于隧洞襯砌多為防滲混凝土，因此滲透系數極小［18］，近乎不透水，排水完全依靠排水孔，模型也不再考慮混凝土襯砌的作用。擴展為空間模型后，模型由圍巖灌漿層圓環巖體、遠場圓環巖體組成，見圖4。

圖4 圓環體隧洞排水孔空間滲流模型示意

由圖4可知：空間模型兩端部為無排水孔溢出邊界端部圓環體（體3）；體3之間由有排水孔溢出邊界圓環體（體2）和無排水孔溢出邊界圓環體（體1）交替連續排列組合而成。體2在洞軸線方向的長度為b（可取排水孔周長），排水孔中心沿洞軸線方向的間距為L；體1在洞軸線方向的長度為（L-b）；體3在洞軸線方向的長度為（L/2-b/2）。具體建模時，縱向考慮布置5道排水孔斷面，模型縱向長度與L有關，當L為2 m時，模型縱向長10 m；當L為3 m時，則模型縱向長15 m。

圖5為滲流模型邊界條件示意圖，計算域圓環體外表面為給定水頭H，排水孔為溢出邊界，伸入巖體的長度為t。圓環體內表面（襯砌外表面）邊界條件如圖6所示，以不透水邊界為主。將計算域簡化為軸對稱問題并采用排水孔等效矩形溢出邊界后，既能準確反映排水孔幕滲流特性，又大幅降低了眾多排水孔溢出邊界三維隧洞滲流模型的建模難度，有效解決了網格復雜化的問題。

2.4 計算軟件與方法

滲流場與溫度場在基本理論、微分方程、初始邊界條件3個方面具有極大的相似性，因此可以利用ANSYS熱分析模塊來分析滲流問題［11-12］，具體分析過程此處不予以介紹。

3 工程實例分析

3.1 工程概況

貴州夾巖水利樞紐及黔西北供水工程隧洞工程長2.75 km，最大埋深430 m，最大作用水頭79.6 m（對隧洞中心）。由于采用圓拱直墻斷面（斷面尺寸12 m×16.5 m，頂拱中心角120°），水荷載作用下襯砌的力學性能遠差于圓形斷面，因此，外水壓力的取值對襯砌結構設計影響巨大。隧洞按周長等效原則換算為圓形斷面后，r0為8.46 m，r1為9.26 m；固結灌漿圈厚度結合灌漿管長度取6 m，r2為15.26 m；遠場穩定水頭r2=H=79.6 m，圍巖滲透系數kr為1×10-6m/s（對應透水率5Lu），考慮到一般固結灌漿技術水平，圍巖灌漿層滲透系數kg取6×10-7m/s（對應透水率3Lu）；t取2 m，b取排水孔周長，即0.157 m（孔徑為5 cm）。

圖5 滲流模型邊界條件示意

圖6 模型內表面（襯砌外表面）邊界條件展開示意

3.2 襯砌外緣水頭特征

排水孔的布置方式對襯砌外緣的作用水頭影響較大。當排水孔夾角為30°（斷面均布12根）、排水孔縱向間距為2 m時，襯砌外緣水頭特征見圖7；當排水孔夾角為40°（斷面均布9根），排水孔縱向間距為4 m時，襯砌外緣水頭特征見圖8。

圖7 排水孔夾角為30°、縱向間距為2m的襯砌外緣水頭（單位：m）

排水孔布置越密集，襯砌外緣水頭越低，最大作用水頭并未出現在1/2排水孔縱向間距處斷面，而是出現在排水孔中心處斷面，位于相鄰2根環向排水孔之間，圖7中最大外水頭為6.417 m，圖8中最大外水頭為22.101 m，這是排水孔幕空間滲流效應的具體表現之一。為進一步分析作用水頭，沿襯砌外緣對水頭進行積分，可求解出圖7中排水孔中心處斷面、1/2排水孔縱向間距處斷面對圓心的平均水頭分別為4.424 m、5.716 m；圖8中兩處斷面平均水頭分別為14.463 m、18.083 m。值得注意的是，襯砌外緣水頭自拱頂至拱底逐步增大，但并非按照高差規律變化。以1/2排水孔縱向間距處斷面為例，圖7拱頂外水頭4.72 m，拱底5.691 m；圖8拱頂外水頭15.253m，拱底20.901m。因此，隧洞設置排水孔幕后，襯砌受力計算時應按外水頭實際分布進行加載。

圖8 排水孔夾角為40°、縱向間距為4 m的襯砌外緣水頭（單位：m）

3.3 排水孔布置及其影響

為進一步了解排水孔布置對排水量、襯砌外緣水頭的影響，計算了排水孔夾角20°、30°、40°、60°、90°，以及與之相對應的排水孔縱向間距為2 m、3 m、4 m時的襯砌外緣水頭。根據排水孔的夾角可計算出排水孔的環向間距，從而得到排水量與排水孔環向間距的關系，見圖9。排水孔布置越密集，隧洞排水量越大，當排水孔夾角大于40°，隧洞排水量隨夾角的增大（環向間距的增大）總體呈線性減小趨勢。

圖9 隧洞排水量與排水孔環向間距關系

選擇1/2排水孔縱向間距處斷面作為特征水頭斷面，分別計算出對圓心的平均水頭，即可得到平均水頭與排水孔環向間距的關系，見圖10。作用于襯砌外水的平均水頭隨夾角的增大（環向間距的增大）而增大，隨排水孔縱向間距的增大而增大。當排水孔夾角大于40°，水頭隨夾角的增大總體呈線性增大。該工程排水孔的環向間距應控制在5 m以內，縱向間距應控制在3 m以內，此時作用于襯砌外緣的平均水頭可控制在10 m以內，將有效改善襯砌的受力。

圖10 襯砌外緣平均水頭與排水孔環向間距關系

根據計算得到排水量、襯砌外緣水頭，兩者關系見圖11。襯砌外緣水頭隨排水量的增大而呈線性減小趨勢，與按解析法（式1、式2）求解得到的關系一致。

圖11 襯砌外緣平均水頭與排水量關系

3.4 排水孔溢出邊界等效寬度取值

為進一步研究計算中排水孔溢出邊界等效寬度b取值對滲流計算成果的影響，假設b取1/2排水孔周長，設排水孔縱向間距為3 m，分別計算了排水孔夾角20°、30°、40°、60°、90°時的排水量與襯砌外緣平均水頭（取1/2排水孔縱向間距處斷面平均水頭，計算方法同前），與b值取排水孔周長的對比如圖12所示。當b值取1/2排水孔周長時，計算得到的排水量略小，最大偏差約1.7%，計算得到的襯砌外緣平均水頭略高；當排水孔夾角為20°、水頭為6.61 m時，較b值取排水孔周長時的水頭（6.12 m）高出8.0%；當夾角為90°時，水頭偏差隨夾角的增大而減小，偏差為3.4%。就工程應用而言，該偏差值在接受范圍內，對水頭的折減作用已經非常明顯。就具體計算而言，可通過進一步分析b取值對滲流計算成果的影響，合理選定襯砌外緣水頭。

圖12 排水孔溢出邊界等效寬度b取值對滲流計算成果的影響

3.5 對比分析

根據前述滲流計算成果，按照排水量相等的原則，通過式（1）可計算出不同排水孔布置對應的襯砌等效滲透系數k1，按式（2）計算出襯砌外緣水頭。將計算結果與有限元法結果進行了對比，詳見表1。

表1中，襯砌外緣水頭為對圓心的平均水頭，采用有限元法計算得到的水頭為排水孔中心處斷面與1/2排水孔縱向間距處斷面對圓心平均水頭值的平均值作為特征水頭。采用解析法計算時，當襯砌等效滲透系數k1≥1×10-4m/s（即k1/kr≥100）時，每延米隧洞排水量恒定為17.39 m3/d，襯砌外緣水頭近乎為0，襯砌相當于全排。因此，當采用有限元法計算得到的排水量≥17.39 m3/d時，等效參數均按1×10-4m/s取值。

等效滲透系數隨著排水孔環向夾角的增大而減小，排水能力也相應降低；但排水孔也并非越密集越好，當L=2 m、夾角≤30°時，有限元法計算得到的特征水頭下降幅度不夠明顯，而解析法計算得到的特征水頭近乎為0。值得注意的是，兩種方法求解得到的排水量相同，但襯砌外緣特征水頭卻小于有限元法計算得出的水頭，且排水孔布置越密集差異越大。解析法中的溢出邊界條件是均勻連續的襯砌內緣，而排水孔幕的溢出邊界實則間隔跳躍不連續，即使排水量相同，對水頭的削減必然小于連續溢出邊界，但結果真實可靠。

表1 解析法與有限元法襯砌外緣水頭對比

4 結論

（1）通過將計算域簡化為軸對稱問題并擴展為空間模型，再將排水孔等效為矩形溢出邊界，并采用一系列有規律的節點來描述其滲流行為后，大幅降低了密集排水孔幕條件下隧洞空間滲流模型的建模難度。計算中采用單元傳導矩陣調整法求解滲流自由面，并根據自由面進一步調整排水孔滲流逸出點，有效模擬了排水孔穿過自由面時的情況。盡管采用的模型做了一定簡化，但已相對精細地描述了密集排水孔幕條件下隧洞的滲流特征。

（2）結合貴州黔西北某隧洞工程實例，采用ANSYS軟件建立了相應的有限元滲流模型，并應用ANSYS熱分析模塊進行了滲流分析，計算得到的襯砌外緣水頭分布較好地反映了排水孔幕的空間滲流效應。排水孔布置對襯砌外緣的水頭影響極大，布置越密集排水能力越強，作用于襯砌外緣的水頭越低，且襯砌外緣水頭隨排水量的增大而線性減小，與按解析法求解得到的關系一致。排水孔溢出邊界等效寬度取值差異對滲流計算成果的影響，就工程應用而言可以接受，但理論上仍需作進一步分析以確定襯砌外緣水頭。

（3）按照排水量相等的原則，計算出不同排水孔布置對應的襯砌等效滲透系數k1，并按解析法求解了襯砌外緣的水頭。通過比較后發現，解析法中k1隨排水孔縱向、環向間距的減小而增大，即排水能力增大，襯砌外緣水頭減小。但是在排水量相同的條件下，采用解析法得到的外水頭均低于有限元法，說明有限元法中排水孔幕不連續的溢出邊界條件對外水頭的削減效果要差于解析法中連續的溢出邊界，但更加真實地反映了排水孔幕對隧洞外水頭的折減效應。因此，在采用解析法求解襯砌外水頭時，有必要進一步研究排水孔不連續溢出邊界對解析法計算公式的影響。