直覺模糊決策系統的知識約簡*

張 煒，王加陽，帥 勇，龍陳鋒

1.中南大學 信息科學與工程學院，長沙 410006

2.湖南農業大學 信息科學技術學院，長沙 410128

1 引言

粗糙集理論[1-2]由Pawlak于1982年提出，是一種處理不確定性信息的數學工具，已在機器學習、模式識別、決策分析和知識發現等領域[3-6]廣泛應用。該理論的主要思想是用等價關系形成的知識粒來近似表示信息，其主要應用之一是屬性約簡。如，景運革等人[7]提出的知識增量屬性約簡算法，然而隨著現實數據結構復雜化、多樣化，經典粗糙集已無法滿足求解需要，眾多學者從不同角度出發對其進行擴展，模糊粗糙集也是其中一個重要分支。Pawlak等人在文獻[8]給出了將經典粗糙集推廣到模糊粗糙集的可能性。隨后Mi和Sun等人[9-10]將信息表中條件屬性和決策屬性均模糊化處理，使得經典粗糙集中的相似關系變為模糊等價關系。文獻[11-14]進一步研究了模糊粗糙集的約簡，并提出了多重約簡方法。然而研究發現模糊粗糙集存在缺陷：它僅用隸屬度來刻畫“完全肯定”的程度，缺少對“完全否定”的判斷。接下來，Atanassov[15]提出用直覺模糊對模糊理論進行擴充，克服了上述缺陷。吳偉志等人[16]和苗奪謙等人[17-18]將直覺模糊理論同粗糙集結合，提出了直覺模糊粗糙集模型并給出了約簡方法。

Dempster提出的證據理論[19]是處理不確定性問題的另一種方法。它通過一對對偶函數（信任函數和似然函數）定量表示信息的不確定性。粗糙集理論和證據理論這兩種工具相似卻又不同，眾多學者對它們之間的關系進一步展開了研究。Yao等人[20]給出了用信任函數和似然函數來刻畫經典粗糙集中上下近似的可能性；Wu等人[21]從證據理論角度出發研究了Pawlak的粗糙約簡。上述研究均是刻畫經典Pawlak粗糙集同證據理論的聯系，但沒提及功能更強大的直覺模糊粗糙集與證據理論之間的關系以及通過兩者結合進行知識約簡，且國內外對此方向的研究較少。

2 基本知識

首先介紹直覺模糊粗糙集和證據理論的基本知識。

2.1 直覺模糊粗糙集

定義1（直覺模糊粗糙集[15]）設U為非空集合函數μ:U→[0,1]，ν:U→[0,1]，且 ?x∈U，滿足 0≤μ(x)+ν(x)≤1，則稱集合A={＜x,μ(x),ν(x)＞|x∈U}為直覺模糊集。μ(x)、ν(x)分別表示U中元素屬于A的隸屬度和非隸屬度，πA(x)=1-μ(x)-ν(x)表示對元素x屬于A的懷疑度；s(A(x))=μ(x)-ν(x)為集合A關于x的得分函數；h(A(x))=μ(x)+ν(x)為集合A關于x的精確函數。

從上述定義可知，傳統集合是直覺模糊的特例。用直覺模糊集合形式表示，即對A∈P(U)，如果x∈A，則A(x)=(1,0)；如果x?A,則A(x)=(0,1)。

定義2（直覺模糊粗糙集運算[15]）有模糊集A={＜x,μA(x),νA(x)＞|x∈U}和B={＜x,μB(x),νB(x)＞|x∈U}則可得如下運算：

（1）s(A(x))＜s(B(x))?A(x)?B(x)

（2）s(A(x))=s(B(x))∧h(A(x))=h(B(x))?A(x)=B(x)

（3）s(A(x))=s(B(x))∧h(A(x))＜h(B(x))?A(x)?B(x)

（4）s(A(x))=s(B(x))∧h(A(x))＞h(B(x))?A(x)?B(x)

由定義可知，若A(x)=(0.2,0.5)，B(x)=(0.3,0.6)，則s(A(x))=s(B(x))=-0.3,h(A(x))=0.7,h(B(x))=0.9，故A(x)?B(x)。

性質1對模糊集A={＜x,μA(x),νA(x)＞|x∈U}和B={＜x,μB(x),νB(x)＞|x∈U}而言，具有以下性質：

（1）A?B?μA≤μB,νA≥νB

（2）A?B?{＜x,min(μA,μB),max(νA,νB)＞|x∈U}

（3）A?B?{＜x,max(μA,μB),min(νA,νB)＞|x∈U}

（4）A⊕B={＜x,μA+μB-μA?μB,νA(x)?νB(x)＞|x∈U}

（5）A?B={＜x,μA?μB,νA(x)+νB(x)-νA(x)?νB(x)＞|x∈U}

（6）λA={＜x,1-(1-μA)λ,(ν(x))λ＞|x∈U}

（7）Aλ={＜x,(μ(x))λ,1-(1-ν(x)λ)＞}

（8）～A={＜x,νA(x),μA(x)＞ |x∈U}

由性質1可得如下定義。

定義3（模糊集和運算、積運算[9]）模糊集簇Ai={＜x,μAi(x),νAi(x)|x∈U＞}，且i=1,2,…,n，則關于和⊕運算算子和積?運算算子的定義如下：

定義4（普通優勢關系[9]）直覺模糊信息系統IFIS=(U,AT=C,V,f)且U為非空論域，C為條件屬性集，函數f為值域函數，f(x,c)=(μc(x),νc(x)),c∈C可得關系，則稱為普通優勢關系。

定義6（廣義和優勢的上、下近似關系[10]）IFIS=(U,AT=C,V,f)為直覺模糊信息系統，對?X?U有：

根據廣義和優勢關系的上近似和下近似的定義可知其具有如下性質。

性質2IFIS=(U,AT=C,V,f)為直覺模糊信息系統，C={c1,c2,…,cm}，?X,Y?U有：

因（1）～（6）的性質由定義5得到，故不再證明。

2.2 證據理論

定義7（mass函數[19]）設Θ為識別框架，A是Θ中的任意子集，定義在識別框架Θ的函數m:2Θ→[0,1]滿足如下條件：

則稱函數m為2Θ上的基本可信度分配函數或mass函數。

m(A)表示證據對A的信任度。若m(A)＞0，則A為焦元，所有焦元的并稱為核，記作F。同時根據基本可信度分配函數可得出信任函數和似然函數的定義。

定義8（信任函數、似然函數[19]）設Θ為識別框架，A是Θ的任意子集，m是識別框架Θ上的基本可信度分配函數。

則稱Bel(X)和Pl(X)分別為信任函數和似然函數。

信任函數Bel(X)表示對X為真的信任度，似然函數Pl(X)表示不懷疑X為真的信任度，且Bel(X)=1-Pl(～X)。同樣也可以根據半加性定義信任函數。

定義9（信度函數[19]）對識別框架Θ的任意子集2Θ，若函數Bel:2Θ→[0,1]滿足如下條件：

則稱函數Bel:2Θ→[0,1]為信度函數。

3 直覺模糊粗糙集與證據理論的關系

文獻[20]研究表明Pawlak粗糙集和基于覆蓋的粗糙集所獲得的下、上近似均可通過證據理論的信任函數和似然函數分別刻畫。接下來，將分析直覺模糊粗糙集和證據理論之間的關系，是否也能滿足以上特征。

定理1IFIS=(U,AT=C,V,f)為直覺模糊信息系統，A?AT=C,?X?U，則：

通過對上述定理分析得出，直覺模糊粗糙集的下、上近似也可以用證據理論的信任函數和似然函數分別刻畫。接下來，給出此時的mass函數表達式。

如果不滿足上面的條件，m(X)=0。

證明由定理1可得如下結果：

下面給出實例說明直覺模糊粗糙集和證據理論相結合的屬性約簡方法。

例1現有一組數據如表1，用于判斷硬盤是否為損壞。其中論域U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10}，條件屬性為C={c1,c2,c3,c4,c5}。

Table 1 Intuitive fuzzy information systems表1 直覺模糊信息系統

由定義3計算可得如下結果：

同理可得：

由定義1可得各元素的得分：

故可得如下排序結果：

對應的廣義和優勢關系的等價類為：

令X={x8,x9,x10}，則對應的上、下近似為：

對應的質量函數為：

4 決策系統的約簡

決策系統可分為協調決策表和不協調決策表兩種。進行屬性約簡前，先給出協調決策表和不協調決策表的定義。

定義10（直覺模糊不協調決策系統[20]）IFDS=(U,AT=C?g0gggggg,V,f)為直覺模糊決策系統，分別為基于條件屬性集C和決策屬性集d計算而得到的廣義和優勢關系{Cl1,Cl2,…,Cln}。若?x∈U有，則IFDS=(U,AT=C?g0gggggg,V,f)為協調決策系統；若?x∈U有，則稱IFDS=(U,AT=C?g0gggggg,V,f)為不協調決策系統。

定義11（直覺模糊決策系統的三種約簡[20]）IFDS=(U,AT=C?g0gggggg,V,f)為直覺模糊決策系統，屬性子集A?C，則：

（2）若?Clt,1≤t≤n，BelA(Clt)=BelAT(Clt)，則稱A是相對信任協調集。若A為相對信任協調集且A的任意非空真子集B不為相對信任協調集，則稱A是相對信任約簡。

（3）若?Clt,1≤t≤n，PlA(Clt)=PlAT(Clt)則稱A是相對似然協調集。若A為相對似然協調集且A的任意非空真子集B不為相對似然協調集，則稱A是相對似然約簡。

定義11從分類、信任度和似然度三個角度給出了相對約簡的概念。接下來，協調決策系統中分析三者的一致性。

定理4IFDS=(U,AT=C?g0gggggg,V,f)為協調直覺模糊決策系統，屬性子集A?C，則有：

（1）A為相對協調集、相對信任協調集和相對似然協調集三者等價。

（2）A為相對約簡、相對信任約簡和相對似然約簡三者等價。

（2）同（1）可證。

由定理4可知在協調直覺模糊決策系統中，相對約簡、相對信任約簡和相對似然約簡等價，要獲得三者，只需確定其中之一即可。接下來，將研究不協調直覺模糊決策系統的約簡關系。針對不協調決策系統，其處理方式是將它轉化為協調決策系統。同理,給出由不協調直覺模糊決策系統得到廣義直覺模糊決策系統的定義12。

定義13（廣義直覺模糊系統的三種約簡[20]）IFDS=(U,AT=C?{?C},V,f)為廣義直覺模糊決策系統，屬性子集A?C，則：

以下將給出一個算例表明如何將不協調決策系統轉化為協調決策系統。

例2給定決策表2，用于判斷硬盤是否損壞。其中論域U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10}，條件屬性為C={c1,c2,c3,c4,c5}，決策屬性d表示接受硬盤的與否概率。

Table 2 Intuitionistic fuzzy decision making system表2 直覺模糊決策系統

由定義1的得分函數和精確函數可計算屬性論域的覆蓋如表3。

Table 3 Dominant class of decision attributes表3 決策屬性的優勢類

根據定義5可得廣義優勢關系對論域的覆蓋如表4。

Table 4 Dominant class of condition attributes表4 條件屬性的優勢類

根據定義10可知，決策表3為不協調決策系統，故可根據定義11來計算轉換后的決策值。

同理可得：

直覺模糊廣義決策系統如表5所示。

Table 5 Intuitionistic fuzzy generalized decision system表5 直覺模糊廣義決策系統

接下來，分析廣義相對約簡和相對約簡之間的關系。

定理5IFDS=(U,AT=C?{?C},V,f)為廣義直覺模糊決策系統，屬性子集A?C，則：

（1）A為廣義相對協調集當且僅當A為相對協調集。

（2）A為廣義相對約簡當且僅當A為相對協調集。

證明（1）由定義可知，若，故A是相對協調集；同理可得，若A是相對協調集，則A是廣義相對協調集，故結論成立。

定理6IFDS=(U,AT=C?g0gggggg,V,f)為廣義直覺模糊決策系統，屬性子集A?C，則：

（1）A為廣義相對協調集、廣義相對信任協調集和廣義相對似然協調集三者等價。

（2）A為廣義相對約簡、廣義相對信任約簡和廣義相對似然約簡三者等價。

證明同定理4，故不再贅述。

5 結束語

協調決策系統和不協調決策系統的約簡通常不一致。本文首先分析了直覺模糊粗糙集與證據理論之間的關系，即當上、下近似具有可加性和可乘性時，直覺模糊粗糙集所獲得下、上近似可通過證據理論的信任函數和似然函數分別刻畫。接下來，分析了決策系統約簡的一致性，當為協調決策系統時，直覺模糊決策系統的相對約簡、相對信任約簡和相對似然約簡三者等價；當為不協調決策系統時，在廣義決策優勢關系下，協調決策系統的約簡與不協調決策系統的約簡一致。通過上述研究，進一步完善了直覺模糊粗糙集決策約簡理論。