基于Adams的Delta機器人路徑規(guī)劃設計與仿真

文/胡睿 李宏勝

1 引言

Delta 機器人以其重量輕、體積小、運動速度快、定位精確、成本低、效率高等特點，正在市場上被廣泛應用于食品、藥品和電子產品的加工裝配。由于Delta 機器人末端件慣性小、逆運動學簡單、工作空間大等一系列優(yōu)點，已成為機器人研究者的主要研究熱點之一。

Delta 機器人在工作中需要頻繁進行升降抓放的操作，因此Delta 機器人的軌跡規(guī)劃十分重要，優(yōu)化機器人的運動路徑，能有效減少機器人在運行過程中的剛性沖擊，降低故障風險，延長工作壽命，提高工作效率。國內外許多學者對最優(yōu)時間軌跡規(guī)劃進行了深入研究。趙杰等人巧妙地將Delta 機構正運動學問題最終等效為求解三棱錐定點坐標問題，直接獲得了滿足運動連續(xù)性的合理解；宮赤坤等人基于運動學分析了Delta 機器人的雅可比矩陣最小奇異值與條件數，對Delta 機器人結構進行了優(yōu)化設計；李云輝優(yōu)化了Delta 機器人抓放軌跡，使運行周期內躍度曲線變得連續(xù)，消除了系統的柔性沖擊；梁香寧等人在Delta 機器人正逆運動學的基礎上分析了其工作空間，陳統書等人則在MATLAB 里進行了仿真分析，并將工作空間以空間三維圖形的形式直觀地表示出來；王林軍等人基于Matlab 和Adams 將門字形軌跡進行了仿真模擬，雖然得到了相對連續(xù)的運動數據，但是路徑約束點處的導數不連續(xù)，因此主動臂在對應的這兩個時刻受到沖擊和振動。

本文在Solidworks 中建立模型，結合Matlab 和Adams 聯合仿真，針對典型的圓角門形軌跡，以降低工作時的在轉角路徑點的沖擊和振動，通過Matlab 工具完成計算和生成數據，并導入Adams 軟件進行仿真和分析。

2 機構簡介

一般的Delta 機器人結構由上下1 個靜平臺、1 個動平臺、3 根主動臂、3 組平行四邊形組成的從動臂、抓具體以及3 個伺服電機構成，如圖1所示。

三根主動臂和從動臂相隔120°分別對稱連接在靜平臺和動平臺上，其中主動臂與靜平臺為轉動副連接，主動臂與從動臂為球鉸鏈連接，從動臂與動平臺也為球鉸鏈連接。工作時，三個主動臂的轉動帶動三根從動臂，從而拉起動平臺在工作空間內移動。該機構自由度為3，可以使動平臺沿X，Y，Z 軸三個方向進行平動，但無法繞任意軸轉動。

3 Delta機器人運動學

3.1 建立運動學幾何模型和坐標系

機器人運動學一般分為正運動學和逆運動學兩種，正運動學研究的是輸入機器人各關節(jié)的運動狀態(tài)后求解機構末端位姿，而逆運動學則可以根據機器人需要到達的末端位姿反解機器人各關節(jié)需要輸入的運動狀態(tài)。對于Delta 機器人，運動學正解計算過程中需要求解多元高度耦合的非線性方程，逆運動學可以根據運動軌跡計算Delta 機器人三根主動臂需要的轉動角度。

為了便于對Delta 機器人的運動學分析，需對Delta 機器人的結構進行簡化，如圖2所示。

圖2中，△A1A2A3和△B1B2B3分別表示機器人的動平臺和靜平臺，桿BiEi為主動臂，桿EiAi為從動臂。在該模型上建立空間坐標系，坐標原點為靜平臺△B1B2B3中心點，OY軸垂直于B1B2，XoY 平面，OZ 軸垂足于靜平臺△B1B2B3所在的平面，如圖3所示。

圖3中，|OBi|=R，|OAi|=r，|BiEi|=Lb，|EiAi|=La，θ1、θ2、θ3為主動臂相對于靜平臺平面的轉動角度，η1、η2、η3為三維坐標系X 軸和Y 軸在靜平臺△B1B2B3上的相對角度，ηi表達式為：

3.2 正運動學分析

應用趙杰等人在Delta 并聯機器人運動學正解幾何解法，對Delta 機器人正運動學進行分析，如圖2所示。

圖1：Delta 機器人的機械結構

圖2：Delta 機器人的幾何模型

圖3：機器人結構參數

圖4：Delta 機器人正運動學分析

圖5：某一主動臂的兩個運動學逆解

圖6：Delta 機器人Solidworks 模型

圖7：Delta 機器人Adams 模型

如圖4中將EiAi分別沿著向量AiO'平移并相交于O'點，當3 個主動臂輸入角度給定，則Ei三個點的坐標可知，同時平移矢量AiO'易得，于是Ei平移后的Ci三個點可求得。這樣DELTA 機器人的運動學正解問題可等效為三棱椎O'-C1C2C3的頂點坐標O'的求解問題。而在三棱椎所有的邊長及三個頂點的坐標已知前提下，第四個頂點坐標是可以求解的，也就求解了DELTA 機器人動平臺位置正解。

3.3 逆運動學分析

由圖2幾何關系可知，連接點Ei的位置方程：

設動平臺質心O 在空間坐標系內的坐標為(x，y，z)，則點A 的位置方程為：

圖8：Delta 機器人運動軌跡

圖9：Delta 機器人Adams 運動軌跡

聯立式（3），可得到關于θi的方程：

求出Ki，Ui，Vi的值后，方程（8）就是關于t的一元二次方程，根據求根公式可知：

3.4 逆運動學多解的取舍

由式（5）可知，每個主動臂張角θi都有2 個解，三個主動臂組合后，每個Delta 機器人動平臺位置都有8 個對應的反解，式（6）求出的2 個解分別表示主動臂和從動臂的2 個對稱位置，如圖5所示。

根據實際機器人主動臂運動范圍，一般Delta 機器人主動臂張角范圍都在[-90°，90°]，因此每個反解都應使主動臂在靜平臺外側，即

圖10：加速度隨時間變化曲線

因此，已知動平臺的三維坐標時，根據式（6）可求解出唯一的主動桿與靜平臺的張角θi。

3.5 運動學求解程序

本例中，Delta 機器人結構尺寸參數如表1所示。

根據以上推導，借助MATLAB 工具，分別編寫DELTA 機器人動平臺位置正解和逆解程序。經驗證，正逆解程序的結果可以相互轉換，證實了運動學方程的正確性。

4 虛擬樣機仿真

4.1 建立仿真模型

利用Solidworks 軟件建立Delta 機器人各零件的三維模型，然后進行裝配得到完整的Delta 機器人的三維裝配體模型，對機器人模型進行簡化，僅保留結構運動特性，如圖6所示。

該機構由三條運動支鏈組成，并均勻分布于靜平臺上，每條運動支鏈都有一個主動臂和一個閉環(huán)組成，此閉環(huán)是由從動臂和四個球鉸組成的平行四邊形封閉結構，此結構通過球鉸分別與主動臂和動平臺聯接。三組均勻分布的平行四邊形閉環(huán)結構保證了靜平臺和動平臺只能保持相對平行運動，消除了動平臺的三個轉動自由度，保留了動平臺三個方向的平動自由度。

將三維模型導入Adams 軟件，修改模型坐標位置使其與逆運動學分析中的坐標位置一致，為靜平臺添加固定副，主動臂與靜平臺添加轉動副，從動臂與主動臂以及從動臂與動平臺添加球鉸副，在主動臂和靜平臺的三個旋轉副上分別添加旋轉驅動，如圖7所示。

4.2 軌跡規(guī)劃

Delta 并聯機器人通常用于完成生產線上的高速抓取-放置操作，即抓取-上升-平移-下降-放置，其運動路徑為門字形。但在工程應用中，為避免 Delta 機器人在門形路徑轉角處產生的沖擊震動，通常在轉角處引入平滑過渡曲線，因此將圓弧作為轉角路徑，如圖8所示。

Delta 機器人運動路徑為：

將該運動路徑等分，輸入逆解程序到求出對應的主動臂張角并生成txt 文件，導入Adams 軟件，標記模型中的動平臺質心然后進行仿真，可以觀察到動平臺的運動軌跡如圖9所示。

為使得機器人運動更加穩(wěn)定、迅速，避免剛性沖擊，采用正弦修正梯形加速度曲線函數作為Delta 機器人每段運動的加速度，當初始條件為零時，對正弦修正梯形加速度曲線函數求2 次積分，則在該加速度下的曲線位移s 關于時間t 的函數為：

式中：

帶入式（8），得：

將式（10）帶入正弦修正梯形加速度曲線中，得到加速度隨時間的變化曲線，如圖10所示。

表1：Delta 機器人尺寸參數

圖11：動平臺速度曲線

圖12：動平臺加速度曲線

圖13：主動臂角速度曲線

圖14：主動臂角加速度曲線

結合圖8運動路徑和式（8）曲線位移s關于時間t 的函數，利用Matlab 時間點求得時間點對應的各個主動臂的角位移，生成.txt 文件，該文件的第一列為主動臂運行的，第二列為各個時間點對應的主動臂的角位移。

4.3 Delta機器人的仿真分析

在主動臂和靜平臺的三個旋轉副上分別添加旋轉驅動，導入.txt 文件，加載到對應的驅動上，然后進行仿真，仿真結果如下：

通過圖11、12、13、14 實驗和仿真數據曲線的對比，可以發(fā)現：

（1）通過圖11、12 可見，動平臺運動軌跡按照預期規(guī)劃運行。軌跡在仿真坐標內的XoY 平面內移動，因此動平臺在Z 軸上運動參數沒有變化。圖11 反應出動平臺在X 軸和Y 軸方向上的速度隨時間變化連續(xù)且平滑，無間斷點，無不可導點；圖12 反應出動平臺加速度分別在每個軌跡段對應的時間段上，即1-2s，2-3s，3-5s，5-6s，7-8s，都按照正弦梯形修正曲線隨時間呈梯形變化，而且變化曲線連續(xù)光滑。因此，末端動平臺的速度和加速度分別在各個時間段上平穩(wěn)增減，隨時間變化連續(xù)，過渡平滑，不會受到沖擊，所以動平臺運行平穩(wěn)，運動特性良好。

（2）通過圖13、14 可見，由逆運動學得到的主動臂運動變化與分析計算得出的結論相符，由于主動臂1 和主動臂2 相對于運動軌跡所在的XoY 平面對稱，因此主動臂1 和主動臂2 隨時間的運動變化完全相同。圖13 反應出主動臂角速度曲線連續(xù)且平滑，隨時間的變化無間斷點，各個時間點的銜接過渡平滑；圖14 反應出，主動臂角加速度隨時間呈梯形變化，Mag 曲線取XYZ 三個方向的值的平方和的根，因此圖像均為正值，可以看出，在數值取正之前，角加速度曲線變化是連續(xù)的，且沒有突變點，因此主動臂在對應的這兩個時刻不會受到沖擊和振動。

綜上所述，仿真結果反應出動平臺按軌跡規(guī)劃的預期運行，用圓弧轉角替代直角軌跡使得主動臂角速度、角加速度隨時間變化連續(xù)且平滑，在軌跡轉角路徑點，即2s、3s、5s 和6s 處，無間斷和突變點。

5 結語

本文先對Delta 機器人進行了運動學分析，得到了運動學反解的maltab 函數，然后在Solidworks 中建立Delta 機器人的模型并將其導入Adams 軟件中，隨后優(yōu)化設計了Delta機器人的抓放軌跡，生成了一個連續(xù)且可導的運動軌跡，結合正弦梯形修正函數設定運動加速度，將該軌跡帶入Matlab 反解函數中求出3個主動臂在各個時間點的張角，生成運動數據文件，并導入Adams 軟件中運行仿真。仿真結果表明，動平臺按軌跡規(guī)劃的預期運行，用圓弧轉角替代直角軌跡使得主動臂角速度、角加速度隨時間變化連續(xù)且平滑，避免了主動臂在此處收到的沖擊和振動。論文所提方法對研究Delta 機器人的軌跡規(guī)劃和優(yōu)化控制具有較大的意義。