基于三點法攔截幾何的導彈滑模制導律設計

董飛垚

(空軍西安飛行學院,陜西 西安 710306)

三點法制導律因其技術實施簡單,抗干擾性能好等優點被廣泛應用于各種戰術導彈系統中,其導引彈道求解有諸多方法,如數值積分法、解析法和圖解法等[1]。針對非機動目標攔截的三點法制導律研究,文獻[2-3]給出了鉛垂面內導彈三點法制導律的解析解,得到導彈位置的解析表達式;針對機動目標的三點法制導律研究,文獻[4]進行了三維運動學彈道建模與仿真,解決了三點法彈道求解的問題,但上述方法均不能給出制導律所對應的導彈過載指令,這大大限制了三點法制導律的全彈道仿真驗證;此外,傳統三點法制導律的實現大多都基于波束制導體制,利用導彈偏離雷達波束或激光的誤差進行控制,這種方法的弊端是由于測量偏離誤差存在滯后,針對高速機動目標的攔截,脫靶量將會增大。針對機動目標攔截,文獻[5]基于三點法思想設計了一種制導律,但其核心在于視線角速率的引入,同時對制導信息的獲取也提出了較高要求。

滑模變結構控制因具有強魯棒性近年來已被廣泛應用于制導律研究中[6-8],基于此,本文利用三點法攔截幾何,設計了一種滑模制導規律。選取導彈高低角與目標高低角之差、導彈方位角與目標方位角之差以及其微分作為滑模面參數,根據快慢回路要求,利用極點配置得到滑模面參數,最后給出滑模制導律的表達式,并基于Lyapunov穩定性理論進行了穩定性證明。仿真結果表明,所設計的制導律能確保導彈實時位置點、目標實時位置點和導彈初始位置點這三點始終在一條直線上,導彈過載指令變化平緩,符合工程實際要求。

1 三點法彈目攔截幾何

圖1 彈目攔截幾何關系

為便于描述,以(xm,ym,zm)來表示導彈在地面坐標系下的位置,(vxm,vym,vzm)表示導彈速度沿地面坐標系各軸的分量,(axM,ayM,azM)表示導彈加速度沿速度坐標系各軸分量,(axm,aym,azm)表示導彈加速度沿地面坐標系各軸分量,εm為導彈高低角,βm為導彈方位角,θVM為導彈彈道傾角,ψVM為導彈彈道偏角。帶下標m和M的量分別表示導彈在地面坐標系和導彈速度坐標系下的相關值,帶下標t和T的量分別表示目標在地面坐標系和目標速度坐標系下的相關值。坐標系定義參考文獻[1]。

三點法制導律的核心思想是導彈在飛向目標過程中,導彈、目標和制導雷達(制導站)始終在一條直線上,基于圖1所描述的幾何關系,三點法制導律的核心思想還可描述為:導彈在整個飛行過程中,其高低角εm始終等于目標的高低角εt,其方位角βm始終等于目標的方位角βt,即:

(1)

由式(1)可以看出,三點法制導律的數學模型是基于地面坐標系的,而描述導彈和目標的加速度(過載)通常都在各自速度系下進行描述,因此為得到過載指令即制導律的數學表達式,需根據二者間的轉換矩陣,進行速度矢量和加速度矢量的相應轉換。

(2)

(3)

導彈加速度沿地面坐標系各軸的分量(axmaymazm)T為

(4)

(5)

進而得到地面系下目標的速度矢量(vxtvytvzt)T為

(6)

地面系下目標的加速度矢量(axtaytazt)T為

(7)

根據地面坐標系下導彈高低角和方位角的定義:

(8)

式中:atan2函數為根據輸入的2個參數,輸出對應[0,2π]范圍內角度的函數,具體定義可見Matlab的Math庫函數。

式(8)兩邊均對時間求導得:

(9)

同理,給出目標高低角和方位角表達式為

(10)

上式兩邊均對時間求導,得:

(11)

對上式兩端求導,得:

(12)

(13)

2 滑模制導律設計

(14)

選取滑模面S=(s1s2)如下所示:

(15)

式中:c1>0,c2>0,值的大小根據極點配置,使其動態特性遠小于內回路(控制回路)的動態特性。

對式(15)兩端求導可得:

(16)

選擇指數型趨近律:

(17)

式中:k1>max(|ayM|,|azM|),k2>0。

聯合式(16)與式(17)可得:

(18)

(19)

式中:

3 穩定性分析

選取Lyapunov函數如下所示:

(20)

對式(20)兩端求導得:

(21)

將式(17)代入上式得:

4 仿真及結果分析

(22)

式中:Δ稱為“邊界層”,仿真中Δ取值為0.000 1。

仿真結果顯示，脫靶量0.393 m，導彈飛行時間為22.656 s，對應攔截曲線和過載指令如圖2～圖5所示。其中，圖2～圖4中的5條虛線是為驗證彈道是否嚴格符合三點法的規律而繪制，繪制時分別選擇仿真時間t=0，4.5 s，9.0 s，13.5 s，18 s時的導彈和目標的位置點與坐標原點連線，可以看出，在整個攔截過程中，保證了發射點、導彈和目標始終在一條直線上；從圖5可以看出，整個攔截過程中，導彈的制導指令變化較為平緩，能滿足執行機構的要求。

圖2 Oxy平面彈道曲線

圖3 Oxz平面彈道曲線

圖4 三維彈道曲線

圖5 導彈制導指令

5 結束語

基于三點法攔截幾何,設計了一種滑模制導律,通過數值仿真對其有效性進行了驗證。結果表明,該制導律保證了導彈在整個飛行過程中嚴格符合三點法的攔截幾何,且導彈過載指令變化平緩,對三點法全彈道數值仿真具有較強的實用價值。