一種懸索橋主纜計算的新方法

鄧小康，徐恭義

(1. 武漢科技大學 汽車與交通工程學院，湖北 武漢 430081；2. 中鐵大橋勘測設計院集團有限公司，湖北 武漢 430050)

懸索橋的設計和施工控制都需要對主纜線形進行精確計算[1]，計算方法主要包括非線性有限元法和數值解析法兩種，其中數值解析法是已知主纜所受外力條件下主纜線形和內力計算的一種方法[2-3]，與有限元法相比，其能簡便模擬主纜與鞍座的接觸問題和鞍座的頂推等，并具有解答精確、輸入數據少、計算速度快的特點[4]。

目前用于懸索橋主纜計算的數值解析法主要包括傳統拋物線法、分段拋物線法、分段直線法、分段懸鏈線法和參數方程法等。

文獻[5-6]對分段懸鏈線法進行了詳細闡述，假定主纜自重沿變形前的長度均勻分布，計算結果與實際情況最為相符[7]。但是該種方法對線形偏差與內力修正的迭代計算繁瑣，迭代收斂速度較慢[8]，甚至在某種荷載作用下其迭代計算得不到結果[7，9]。

文獻[10-11]提出參數方程法，假定主纜自重沿主纜長度方向均布，其余恒載看作沿跨徑方向均布，由此建立平衡微分方程，并引入一個參變量求解方程，該方法雖然計算簡便、收斂較快，計算精度也能滿足工程要求，但其本質上仍是一種近似方法[12]。

本文基于對主纜索段的受力分析，在建立各索段統一線形方程的基礎上，找到主纜最低點的位置及其斜率，利用變形相容條件建立方程，以主纜索力水平分力的變化規律求解方程，提出一種受力更明確、適應性更強、計算更簡便的主纜線形計算方法，本文將其總結為斜率爬升法。

1 主纜索段的劃分及受力分析

1.1 計算假定及索段的劃分

分析計算過程中，采用以下假定：(1)主纜材料符合胡克定律，應力-應變呈線性關系；(2)主纜為理想柔性，即既不受壓，也不受彎；(3)受力后主纜抗拉剛度的計算使用變形前的主纜面積[1]。

坐標系Ⅰ下的主纜計算模型及索段劃分示意見圖1。跨徑為L的主纜以最低點A(即全橋主纜的斜率最小點，位置待求)為界，左側(m-1)個吊桿將主纜分為m段，右側(n-1)個吊桿將主纜分為n段。以最低點A為原點建立坐標系Ⅰ，y軸豎直向上，左側x軸正向水平向左，右側x軸正向水平向右。

圖1 坐標系Ⅰ下的主纜計算模型及索段劃分示意

令左邊主纜垂度為f1，跨徑為L1；右邊主纜垂度為f2，跨徑為L2。索段的受力情況：索段兩端承受吊桿傳來的集中力P，中間承受沿索長均勻分布的主纜自重q。

1.2 索段受力分析和全橋主纜線形與斜率的關系

1.2.1 不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

在坐標系Ⅰ下，取最低點A的左側主纜進行分析，對其上任意索段i，由豎直方向力的平衡條件，可得

(1)

式中：H為索段上任一點索力的水平分力。

定義索段上任一點的斜率為

(2)

代入式(1)，得

即

(3)

解式(3)，可得

(4)

式中：D1為積分常數。

求反函數，可得

(5)

將式(2)與式(3)相乘，可得

解得

(6)

式中：D2為積分常數。

式(4)～式(6)為索段i的線形方程，由于H和q在全橋主纜范圍內為常量，故式(4)～式(6)對每個索段的方程形式均一樣，當將所有索段的原點都取為A點(即坐標系Ⅰ)時，每個索段的積分常數D1和D2取值不一樣，即各索段為了滿足主纜線形連續，出現了曲線平移。為更好地分析主纜線形與斜率之間的關系，本文將索段曲線還原至其平移前的位置。

對任意索段i，將其坐標系原點移至索段曲線上斜率為0的位置，x、y軸的方向同前述，得到坐標系Ⅱ，見圖2。此時應有邊界條件x=0，y=0，z=0，代入式(4)～式(6)，可得D1=0，D2=-H/q。此時，索段i的線形方程變為

(7)

(8)

(9)

式(7)～式(9)不包含任何索段i的信息，僅與坐標系Ⅱ下的主纜坐標有關，所以在將各索段自身的坐標系原點移至索段曲線斜率為0的位置后，全橋主纜線形方程可統一為式(7)～式(9)。

圖2 坐標系Ⅱ下的索段示意

將圖1中的左邊主纜都按上述方法統一到坐標系Ⅱ下，見圖3。最低點作用有集中力的情況(最低點斜率不為零)見圖3(a)，最低點無集中力作用的情況(最低點斜率為零)見圖3(b)。定義任意索段i低點位置的斜率為zL(i)，對應的橫坐標為xL(i)，縱坐標為yL(i)；高點位置的斜率為zH(i)，對應的橫坐標為xH(i)，縱坐標為yH(i)。

(a) 有集中力

(b) 無集中力圖3 坐標系Ⅱ下最低點有無集中力作用時的主纜示意

由于吊桿處有集中力作用，主纜斜率不連續，由式(7)和式(9)可得吊桿作用處曲線的橫坐標和縱坐標也不連續。圖3中的每個陰影段都對應于主纜上一個索段，其線形即為索段的真實線形。

1.2.2 考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

由胡克定率，可得

(10)

式中：ds為有應力狀態下主纜的微段長度；ds0為無應力狀態下的微段長度；A0為無應力狀態下主纜的橫截面面積；E為主纜所用材料的彈性模量；T為主纜任意點的索力。

(11)

由質量守恒定律，可得

q0ds0=qds

(12)

式中：q0為無應力狀態下沿索長均布的主纜自重荷載；q為有應力狀態下沿索長均布的主纜自重荷載。

由式(11)和式(12)，可得

(13)

由力的分解關系，可得

(14)

式中：z為斜率。

將式(14)代入式(13)，可得

(15)

將式(15)代入式(1)，可得

(16)

將式(2)代入式(16)，可得

(17)

求倒數，則

(18)

求解得

(19)

式中：D3為積分常數。

將式(2)與式(18)相乘，可得

(20)

求解得

(21)

式中：D4為積分常數。

(22)

(23)

式(22)、式(23)為考慮主纜自重荷載變化時的主纜線形方程。

當已知某一點在坐標系Ⅱ下的橫坐標x時，采用二分法求式(22)，可得斜率z。

由

將左邊主纜按上述方法統一到坐標系Ⅱ下，同樣可得圖3。

2 主纜對稱時變形相容方程的建立和求解

2.1 主纜斜率最小點的確定

由主纜的對稱性可知，此時斜率最小點(最低點A)應位于主纜的跨中位置。

當A點作用有集中力P(m)時，點斜率zL(m)為

(24)

當A點無集中力作用時，該點斜率為

zL(m)=0

(25)

2.2 變形相容方程的建立和求解

將左邊主纜按照前述方法統一到坐標系Ⅱ下可得圖3。

以不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響為例，將式(24)或式(25)代入式(7)中，可得主纜最低點在坐標系Ⅱ下的橫坐標為

(26)

定義索段i在水平方向上的長度為L(i)，在式(26)中加上索段的橫向長度，即得第m個索段最高點的橫坐標為

xH(m)=xL(m)+L(m)

(27)

代入式(8)，可得第m個索段最高點的斜率為

(28)

將式(24)(或式(25))和式(28)代入式(9)，可得第m個索段的高差為

f(m)=yH(m)-yL(m)=

(29)

集中力P(i)作用點左右的兩個索段應滿足

H·zL(i)-H·zH(i+1)=P(i)

可得

(30)

將式(28)代入式(30)，即可得zL(m-1)。

對第m-1個索段至第1個索段，重復式(26)～式(30)的過程，即可得各索段的f(i)。

建立主纜變形相容方程為

(31)

由于f(i)均只含有H一個未知數，所以式(31)為關于H的一元非線性方程。

構建函數

(32)

在其他條件不變時，主纜的垂度增加，主纜索力的水平分力將減小[13]。任意給定一個H的初值H0(如10 000 kN)，如f′=0，則說明此時的H0為式(31)的解；如f′>0，則說明H0取值偏小，令H0=10×H0，再次代入式(32)，直至f′<0，則H的求解區間為[H0/10，H0]；如f′<0，則說明H0值偏大，令H0=H0/10，再次代入式(32)，直至f′>0，則H的求解區間為[H0，10H0]。在上述求解區間內對式(31)采用二分法求解，即可求得H。

該求解過程對平面主纜懸索橋的線形計算一定收斂，且收斂速度很快。

上述二分法求解H時，最后一次的迭代過程同時計算出了索段i在坐標系Ⅱ下的zL(i)、xL(i)、zH(i)、xH(i)和f(i)。

對于考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響時的情況，可參照上述方法確定斜率最小點的位置和其斜率大小，并由式(22)、式(23)和式(30)重復計算可得各索段的高差f(i)，進而建立式(31)并求解。

本文將上述對主纜結構的計算過程稱為斜率爬升法。

3 主纜坐標和長度的計算

3.1 主纜坐標的計算

主纜坐標的計算可歸納為在坐標系Ⅰ下已知某點的橫坐標x，求縱坐標y。仍以不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響的情況為例。

前述過程已求得坐標系Ⅱ下任意索段i的zL(i)、xL(i)、f(i)。

對坐標系Ⅰ下主纜上的任意點，假定其位于索段j上，其與索段j最低點在水平方向上的距離為xC，于是該點在坐標系Ⅱ下的橫坐標為

xZ=xC+xL(j)

(33)

將式(33)代入式(8)，可得該點的斜率為

(34)

將zZ和zL(j)代入式(9)，即可得該點與索段j最低點的高差為

fZ=y(x)-yL(j)=

(35)

該點在坐標系Ⅰ下對應的縱坐標為

(36)

如此反復即可求得主纜上各點的坐標。

對于考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響的情況，計算過程相同。

3.2 有應力索長的計算

3.2.1 不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

索段弧長的微分式為

(37)

將式(3)代入式(37)，可得

(38)

求解式(38)，可得

(39)

式中：D5為積分常數。

前面已經求出任意索段i最高點的斜率為zH(i)，最低點的斜率為zL(i)，代入式(39)，可得索段i的有應力索長為

(40)

左邊主纜的有應力索長為

(41)

3.2.2 考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

對任意索段，將式(18)與式(37)相乘，可得

(42)

求解得

(43)

式中：D6為積分常數。

s(i)=s[zH(i)]-s[zL(i)]

(44)

左邊主纜的有應力索長為

(45)

3.3 無應力索長的計算

3.3.1 不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

將式(14)、式(38)代入式(11)，可得索段無應力弧長的微分式為

s0=Π(z)+D7

(47)

式中：D7為積分常數。

則索段i的無應力索長為

s0(i)=Π[zH(i)]-Π(zL(i)]

(48)

左邊主纜的無應力索長為

(49)

這里求得的無應力索長是精確值[10]。

3.3.2 考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

對任意索段，將式(14)、式(42)代入式(11)，可得

(50)

求解得

(51)

式中：D8為積分常數。

索段i的無應力索長為

(52)

左側主纜的無應力索長為

(53)

4 不等高主塔時主纜的線形分析

限于地勢與選線的要求，懸索橋有時采用不等高主塔的非對稱設計，如云南普立特大橋，其左右兩邊主塔的高差達10.362 m[14]。當主塔高度不相等時(一側支點抬高高度為h，主纜最低點水平移動距離為a)，帶來主纜線形的偏移和內力重分布，過程見圖4[15]。

圖4 主塔不等高時懸鏈線最低點變化

主塔不等高時主纜計算示意見圖5。圖5中，f1≠f2且二者均不為零(為分析方便，取f1

令A點左側斜率為zL(m)，右側斜率為zL(n)。

圖5 主塔不等高時主纜計算示意

當A點位于兩吊桿之間時

zL(m)=zL(n)=0

(54)

當A點位于吊桿作用處時

(55)

式中：P為作用在A點的集中力。

接著開始尋找到A點的位置和往左右兩側的斜率。

將主纜以A點為界劃分成左主纜和右主纜，對左右主纜按第1節方法分別計算其水平分力為H1、H2。定義函數

φ(xa,zL(m))=H1-H2

(56)

當xa為A點的真實位置時，左右兩邊的水平分力應相等，即

φ(xa,zL(m))=0

(57)

式(57)為確定不對稱主纜最低點位置和斜率的非線性方程式。

在其他條件不變時，主纜的跨徑增加，主纜索力的水平分力將變大[13]。同時由式(9)可知，當其他條件不變時，最低點的斜率增大，主纜索力的水平分力將變小。

可見當xa=0時，φ<0；當xa=L時，φ≥0。從左支點開始，分別將A點取在每個吊桿的位置，并將該點集中力P產生的斜率P/H全部作用在左邊，即取左主纜的起始斜率為P/H，右主纜的起始斜率為0，計算出此時的φ。當φ在吊點i和j之間發生變號時，A點應位于吊點i(不含)和j(含)之間。

令Lk為吊點i和j之間的水平距離，xk為A點和i點的水平距離。

取xk=Lk，計算出此時的φ。當φ≥0時，A點位于i和j之間的主纜上；當φ<0時，應有A點位于j吊點上。

(1)A點位于i和j之間的主纜上

令i、j吊點離左邊支點的水平距離為L(i)、L(j)。xka、xkb為二分法求解xa區間的兩個端點，初始值為xka=L(i)，xkb=L(j)。

當xa=xka=L(i)時

φ=H1-H2<0

(58)

當xa=xkb=L(j)時

φ=H1-H2≥0

(59)

按照二分法的思路，令

(60)

計算xa=k時的φ，當φ<0 時，取xka=k；當φ≥0 時，取xkb=k。

重復上述步驟，當|xka-xkb|<ξ時(ξ為求解精度)，即得到A點的真實位置，此時A點左右兩側的斜率均為0，求得H1=H2為主纜的水平分力。

(2)A點位于j吊點上

當A點左側斜率為zL(m)=za=0時

φ=H1-H2<0

(61)

φ=H1-H2≥0

(62)

按照二分法的思路，令

(63)

計算zL(m)=zk時的φ，當φ<0 時，取za=zk；當φ≥0 時，取zb=zk。

至此，最低點A的位置和左右兩側的斜率、主纜水平分力H均已求出，可按照前述方法確定主纜的線形及長度。

5 算例

某懸索橋[10]跨度L=888 m，吊索間距為12 m，主纜恒載集度q=54 kN/m，加勁梁等其余恒載集度W=200 kN/m，主纜面積A=0.6 m2，主纜彈性模量E=2.0×105MPa，分別按以下工況進行計算。

工況一 主塔頂等高，分別取跨中矢高f為60、70、80、90、100 m計算主纜的水平分力H、主纜在離左支點228 m處的y值和主纜的無應力長度，結果見表1～表3。

表1 水平分力H值比較 kN

表2 x=288 m時y值比較 m

表3 無應力長度的比較 m

由表1～表3可見，本文與文獻[5，10]的計算結果基本一致，說明本文提出的懸索橋主纜計算新方法正確可行。幾種計算方法中，傳統拋物線理論得到的結果絕對誤差最大，其相對誤差較小，當對計算精度要求不高時，仍可應用于懸索橋主纜的設計和計算。計算結果還表明，考慮q變化與否對主纜線形和主纜長度計算的影響不大，但對水平分力計算的影響較大。

工況二 主塔頂不等高，取f1為60 m，f2分別取為60、61、62、63、64、65 m計算主纜的水平分力H、主纜的無應力長度和主纜最低點的位置與斜率(不考慮q變化)，結果見表4。

表4 主塔不等高對主纜線形和受力的影響

由表4可見，主塔的不等高將對主纜受力和主纜線形產生較大影響，如算例中的主塔高差每相差1 m，水平分力最大相差3 444.1 kN，無應力索長最大相差20.63 cm。主塔不等高時，主纜最低點將向較矮的主塔一側偏移，當最低點在兩個吊點之間時，主纜最低點左右兩側的斜率都為0；當最低點在吊點位置時，主纜最低點左右兩側的斜率隨主塔高差的變化對斜率P/H進行分配。

6 結論

(1) 提出了一種求解懸索橋主纜線形的新方法即斜率爬升法，該方法從分析主纜索段的受力出發，在建立各索段統一線形方程的基礎上，找到主纜最低點的位置及其斜率，利用變形相容條件建立方程，以主纜索力水平分力的變化規律求解方程，力學概念清晰，求解簡單。經算例論證，本文的方法計算精度較高。

(2) 本文方法對平面主纜懸索橋的求解均能收斂。在計算主纜線形時多次使用二分法求解一元非線性方程，對每次求解本文都給出了求解區間，保證了計算過程的收斂性。

(3) 斜率爬升法的關鍵是找到主纜斜率最小點的位置和斜率。對稱主纜的斜率最小點位于跨中位置，跨中無集中力作用時該點斜率為0，跨中有集中力時該點斜率不為0。

(4) 分別按考慮與不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度的影響推導了斜率爬升法的求解過程，并提出了求解主纜坐標、有應力長度和無應力長度的方法；算例的結果表明，考慮與不考慮q的變化對主纜線形和主纜長度計算的影響不大，但對水平分力影響較大。

(5) 主塔的不等高將對主纜受力和主纜線形產生較大影響，不等高主塔的主纜斜率最小點向較矮的主塔一側偏移，當最低點在兩個吊點之間時，最低點往主纜左右兩邊的斜率都為0；當最低點在吊點位置時，最低點往主纜左右兩邊的斜率隨主塔的高差變化對斜率P/H進行分配。