Gumbel分布統計參數估計方法及其應用

刁洪全　林家輝　姚惠明

摘 要：依據Gumbel分布理論，給出了Gumbel頻率分析的統計參數估計方法（含連續系列和不連續系列）。以往的Gumbel頻率分析主要用于涉水工程的設計水位（潮位）及設計暴雨洪水分析；隨著國民經濟的快速發展，在我國大型基建工程對于氣溫、風速等極端氣象要素的規劃與設計中，普遍采用Gumbel分布進行相關要素的設計分析計算。實例研究表明，當極值系列中出現歷史特大值時，應考慮特大值的重現期，并需結合當地的區域水文氣象特性等進行合理性分析。

關鍵詞：Gumbel分布 統計參數估計 頻率分析 設計洪水位

中圖分類號：O212 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2019）03（b）-0131-02

頻率分析的方法有很多[1-7]，其中選擇符合觀測極值分布的頻率曲線線型尤為關鍵。對于水文氣象極值分布頻率分析，水利水電工程[3]的設計暴雨和設計洪水水文頻率曲線的線型常用PIII型，也可用Gumbel型（亦稱極值Ⅰ型），沿海沿河地區堤防[4]、港口、航道[5]等涉水工程的設計水位和設計潮位水文頻率曲線的線型常用Gumbel型，也可用PIII型，在涉水工程的規劃、設計、施工及其運行過程中具有重要的研究地位。隨著國民經濟的快速發展，大量大型基建項目需分析研究氣溫、風速和降雨等極端氣象要素對構筑物設計的影響，其頻率分析的線型多采用Gumbel型[6-7]。

盡管國內外極值分布的分析方法很多，但實際上，目前水文氣象科學還無法完全從成因和理論上論證極值分布的函數分布屬性，通常是根據大量的觀測資料系列，先假定其符合某種頻率分布，后進行統計理論分析或資料系列擬合分析。因此各行業在進行頻率分析時，一般都按相應的規范或標準執行[3-7]。本文根據Gumbel分布的極值分布理論和統計參數估計方法，重點研究獨立同分布洪水位極值系列中出現歷史特大值[8]時的Gumbel頻率分析方法，并給出了模擬計算實例，為相關涉水工程的規劃與設計提供參考方法和技術支持。

1 Gumbel分布

設有獨立同分布隨機變量x[xi（i=1，2，…，n）]的Gumbel分布的概率密度函數f（x）和分布函數F（x）分別為：

和

2 經驗頻率估計

2.1 連續實測最大值系列經驗頻率

設有n年連續實測最大值系列，并按由大到小順序排列，記作，則其排位在第i位的實測值經驗頻率公式為

2.2 不連續實測最大值系列經驗頻率

在調查考證期N年中有a個特大值，其中l個發生在n年連續實測最大值系列內，則

3.2 不連續實測最大值系列各統計參數

對于不連續系列，假定（n-l）年系列的均值和均方差與去掉特大值后的（N-a）年系列的均值和均方差分別相等，即，，則對xN系列有

4 應用分析

選用江蘇北部某河BP水位觀測站1954—2014年間的歷年實測年最高洪水位資料系列進行Gumbel分布頻率分析。BP水位站的年最高洪水位最早出現在5月初，最遲在10月中旬，85%集中在7～9月。

BP水位站2000年8月底受12號臺風的影響，發生了有觀測資料以來歷史年最高洪水位值記錄，對該河的設計洪水具有重要影響。經考證和分析，BP站2000年發生的年最高洪水位值重現期約為80年，其不同頻率（0.1%、1%、2%、5%、10%、20%、50%）的Gumbel設計洪水位如表1。經對比分析，上述成果符合當地的水文氣象特性。

計算結果表明，100年一遇以上的設計洪水位相對誤差在1%以上，5年一遇以下的設計洪水位相對誤差在0.5%以下，因此在Gumbel 頻率分析時，需高度重視極值系列中歷史特大值重現期的評估。

5 討論

Gumbel分布僅有2個參數（偏差系數為常數），在參數估計時，避免了偏差系數高階矩帶來的計算誤差，降低了統計參數的不確定性。

在Gumbel頻率分析過程中，當極值系列中出現歷史特大值時，應慎重分析特大值的重現期，同時結合工程所在地的水文和氣象成因及其區域特性等進行合理性分析。

參考文獻

[1] GUMBEL E J. Statistics of Extremes[M]. New York： Columbia University Press， 1958.

[2] https：//en.wikipedia.org/wiki/Gumbel_distribution.

[3] 中華人民共和國水利部.水利水電工程設計洪水計算規范（SL 44-2006）[S].北京：中國水利水電出版社，2006.

[4] 中華人民共和國水利部.堤防工程設計規范（GB 50283-2013）[S].北京：中國計劃出版社，2013.

[5] 中華人民共和國交通運輸部. 港口與航道水文規范（JTS 145-2015）[S].北京：人民交通出版社股份有限公司，2015.

[6] 國家核安全局.核電廠廠址選擇的極端氣象事件（HAD 101/10）[S].北京：中國法制出版社，2000.

[7] 中華人民共和國住房和城鄉建設部.建筑結構荷載規范（GB 50009-2012[S].北京：中國建筑工業出版社，2012.

[8] 金光炎.水文頻率計算成果的合理性分析[J].水文，2009，29（2）：10-14.