基于稀疏模型的圖像去噪算法研究

張莉　朱茜

摘 要：引入稀疏編碼思想實現對數據信息的最優非線性逼近，在圖像去噪方面已取得較好的實驗效果。本文對圖像去噪模型進行分析，介紹了稀疏編碼思想實現圖像去噪的原理，并對經典的稀疏去噪模型進行對比與分析。最后，基于稀疏模型對去噪算法進行分析，提出了稀疏模型在其他研究領域的展望。

關鍵詞：稀疏編碼 字典學習 自相似性 非局部 圖像去噪

中圖分類號：TP751.1 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2019）03（b）-0133-03

Abstract： The sparse coding can achieve the optimal nonlinear approximation of data information， and has achieved good experimental results in image denoising. This paper through analyze the image denoising， introduce the principle of image denoising by sparse coding， and understand and analyze the classical image denoising methods based on the sparse model. Finally， based on the sparse model， the denoising algorithm is analyzed， and the prospect of sparse model in other research fields is proposed.

Key Words： Sparse coding； Dictionary learning； Self-similarity； Nonlocal； Image denoising

圖像是視覺的基礎，是自然景物的客觀反映，是我們社會活動中最常用的信息載體。據統計，一個人獲取的信息大約有75%來自視覺[1]。圖像可以直觀、生動地顯示出客觀事物的具體信息，隨著各種數碼產品和數字儀器的普及，圖像以其快捷的優勢，已成為我們獲取外界原始信息的主要途徑。然而在圖像的獲取、傳輸和存貯過程中時常會受到外界干擾或者自身因素影響而使圖像降質，掩蓋了圖像的真實信息，給我們的后續工作帶來了一定困擾。

圖像去噪借助于現代數字信號處理技術盡可能的保持圖像原始信息完整性（即主要特征），又能夠去除信號中的干擾信息[2]。圖像去噪算法多涉及數學方法，比如概率論、數理統計、偏微分方程等。圖像去噪領域，稀疏表示模型具有較好的理論完備性和圖像去噪效果，受到了國內外很多研究學者的關注[3-6]。

1 稀疏編碼

稀疏編碼（Sparse Coding）最早出現在20世紀Stephane Mallat和張志峰的研究中[7]，文章也首次提出“字典”的概念。緊接著，Scott Shaobing Chen等人基于圖像塊，提出用范數對圖像的稀疏性進行客觀評估。對自然圖像中的信息提取、特征保護、圖像恢復等問題的有效解決具有重要的理論現實意義與實踐應用價值。

在現實生活中，圖像x經過一系列外界干擾，退化成圖像y，在具體研究過程中，我們的目標是對退化圖像y進行研究分析，找到合適的方法使其復原接近于原始圖像x，同時又要保證解的唯一性，稀疏編碼思想給我們的實踐研究提供了一個新思路。假定字典D，圖像目標列b，通常采用規則化方法進行優化：

這里，矩陣D是滿秩矩陣，矩陣DDT是正定矩陣，因此該優化過程是可逆操作。

基于稀疏編碼的圖像去噪方法，首要任務是對數據信號進行采樣，同時對其進行稀疏編碼，算法模型的建立可概括為兩類：基于合成（Synthesis-based）建立稀疏模型[8]、基于分析（Analysis-based）建立稀疏模型[9]。前者是由于數據信號本身具有稀疏性，所以假定圖像的每一個圖像塊都可以用一個稀疏向量表示出來，并且該向量中絕大多數元素都是零，且數據信號越稀疏其稀疏向量中的原子接近零或者等于零的個數就越多。對圖像構建學習字典，利用式（6）分別獲取每一圖像列的最優解。而基于分析建立稀疏模型，則是對圖像進行分類、建組，利用類、組信息的非局部自相似性進行稀疏求解。具體實驗過程中，根據不同需求情況，分析算子可以有多種形式，比如卷積、投影、求導、Curvelet、小波變換等。

2 經典算法分析

2.1 基于合成的稀疏模型

（1）K-SVD算法[10]的目標函數為：

作為經典的學習字典算法，K-SVD根據最小誤差原則，有效解決了高維矩陣求解問題，通過對誤差項進行SVD分解，選擇使誤差最小的分解項作為更新的字典原子核對應的原子系數，經過不斷迭代從而得到最優解。式中，U是圖像的所有圖像塊集合，D是對圖像塊進行學習獲得的過完備字典，Λ是稀疏編碼系數。K-SVD算法中字典D進行迭代學習更新，并利用字典D和系數Λ對圖像塊進行降噪處理。

（2）CSR算法[11]目標函數為：

將圖像分成固定大小的圖像塊，以該圖像塊的位置坐標為中心、以該圖像塊對應的灰度值為目標，在中心塊中去尋找相似圖像塊進行聚類學習。式中，Di是對圖像塊ui進行聚類后學習獲得的PCA特征字典，μi是對稀疏系數αi的近似估計。算法利用PCA特征字典對圖像塊進行稀疏編碼，非相關圖像塊對應的稀疏系數項統一設為0，使得目標函數在l1范數的稀疏編碼過程更加快速，從而提高了算法的迭代收斂速度。

（3）PGPL算法[12]的字典構造模型為：

式中，正則化特征字典D由字典DE、DI合并而成，其中，DE用于保護圖像的特征信息，由自然干凈圖像學習字典的前r個特征值構建而成，圖像DI由噪聲圖像學習獲得，以補充圖像的個體化特征信息。

2.2 基于分析的稀疏模型

（1）BM3D算法[13]的目標函數為：

式中，、是圖像在水平方向、垂直方向上的梯度，f是觀測圖像，α1、α2是非負正則化參數。該算法是基于k-support范數的圖像去噪模型，將k-support范數引入圖像梯度域作為正則化項，使得該圖像去噪模型中的稀疏解的非零元具備一定關聯性，進而取得較好的圖像去噪效果。

（3）組稀疏模型算法[15]為：

式中，f是觀測圖像，α是非負正則化常數，用于約束圖像在水平方向和垂直方向上的兩個梯度、。該模型利用圖像邊緣信息具有連續性且梯度較大這一特性，構造組稀疏正則化算子，在圖像梯度域選取鄰近k個點組成一組，既考慮了圖像內部稀疏特性又兼顧了圖像邊緣連續性，這樣構造出來的就包含了圖像的部分先驗知識，該模型在圖像去噪方面有較好的表現效果。

3 質量評價方法

圖像去噪算法的量化指標和性能評價方法很多，但是相比于圖像質量評價的主觀方法，客觀評價方法基于相關數學模型，在實驗研究中更有利于對算法進行評價。我們常見的評價方法有均方差（Mean Squared Error，MSE）、相對誤差（Relative Error，RE）、信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）、結構相似性（Structural Similarity，SSIM）[16]、峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）[17]和實時性等。假設原始圖像X，復原圖像Y，圖像大小m×n，則：

基于結構相似性的度量準則可以從兩幅圖像的結構特征判定算法的優劣，其結果更符合人類的視覺特征，更接近人類的視覺觀察。式中，uX、uY分別是圖像X、Y的平均值；是圖像X、Y的方差；σXY是圖像X和Y的協方差；k1、k2是分母的非零常數項；L是圖像最大灰度值。

4 結語

基于稀疏編碼思想，圖像去噪問題轉化為稀疏殘差優化問題。近年來的經典算法有：BM3D、LSSC[18]、EPLL[19]、NCSR[20]、WNNM[21]、PGPD[22]，實驗結果如表1所示。

基于合成的模型是從學習的角度建立字典，適用于任何類型的圖像，但只局限于低維度信號，并且計算復雜度較高。基于分析的模型是從非局部自相似性的角度，適合高維圖像，但是大多算法只考慮噪聲圖像的非局部自相關先驗知識，而忽略了自然圖像的非局部自相關信息。畢竟算法本身是在搜索窗口中進行相似塊的匹配，其實質上在有噪聲干擾情況下并不能較好地進行相似塊的匹配。

基于稀疏性建立模型對圖像進行去噪的研究已經達到了相當高的水平，這些方法可拓展應用在圖像去模糊、超分辨率方面會有較好的理論價值和意義。

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