感悟數學思想方法，尋找“集合”探究路徑

江蘇省東海縣石榴高級中學 時召進

“集合”作為蘇教版數學必修一的第一章內容，從地位上起到了連接初高中、承上啟下的重要作用，為今后的數學學習奠定扎實的基礎。

一、數形結合思想

韋恩圖和數軸的應用就是“集合”里面數形結合思想體現得最充分的方面。教材第6頁，子集的定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作

教科書在這里引入了韋恩圖，利用韋恩圖來詮釋子集的定義。若不利用韋恩圖，那么對于子集的定義將是純文字的敘述，對于學生來說，一是不容易理解，二是不直觀。但是加入了韋恩圖之后，再來解釋和理解這個定義就非常清晰了，韋恩圖將子集的定義表達得非常直觀。“A中的元素都是B中的元素”這句話，文字定義確實是非常準確，但是理解起來不容易，而韋恩圖剛好彌補了這一缺陷，從韋恩圖中可以非常直觀地看出“A中的元素都是B中的元素”，這也就是數形結合非常重要的作用，將不直觀的代數問題用直觀易懂的幾何圖形表達出來，大大地降低了問題的難度，也給我們解決問題提供了一種新的思考方法。

在集合這一章除了韋恩圖，數軸的利用也充分體現了數形結合的思想，具體例子如下：

由上面例子不難看出數形結合的重要性，其使得問題容易解決，拓寬了學生的思維廣度。

二、類比的思想

在數學學科中，如果能夠擁有類比的數學思想，將某些類似的概念或者事物進行對比，找到共同點和不同點，不但更容易記憶，而且更容易理解。類比思想在“集合”中也有非常明顯的體現，例如教科書第6頁的思考：

實數集合類比表

類比思想在整個高中的教學學習中都非常重要，在后期的學習中，例如指數函數和對數函數的類比學習，等差數列和等比數列的類比學習，等差數列的前n項和公式可以類比梯形的面積公式記憶，立體幾何中部分立體圖形中的性質也可以由平面圖形的性質類比得到等。

三、函數與方程的思想

函數與方程的思想是將問題轉化為能夠利用函數的性質求值的問題，或者能夠在變量關系中找到變量滿足的一些關系，列出方程或方程組，利用方程或者方程組的性質去解決問題。例如：

例題 已知不等式2x2+px+q＜0的解集是-2＜x＜1，求不等式px2+qx+2＞0的解集。

在這里，p，q是兩個變量，根據解不等式的方法原理以及韋達

四、極限的思想

極限的思想是一種思維上質的飛躍，如果能夠學到極限思想，那么學生在考慮問題的時候就會更加游刃有余。例如：

例題 A={x∈ N | 0＜x＜3}，B={x∈ R | 0＜x＜3}，問：A，B 中的元素有多少個？最大的元素分別是多少？

對于集合A，學生容易得到有2個元素，最大元素為2，但是集合B中元素有無數個，對于最大元素的探究，學生就可能經歷2.9，2.99，2.999…一直到發現并沒有最大元素的一個思考過程，此時教師可以提示學生，集合B中的元素只會無限地接近3，但是永遠取不到3。這便是一種極限思想的體現，讓學生能夠以一種新的視角來看問題。

近年提出的學科核心素養中，就要求中學生具有數學建模的數學素養，可見數學建模的思想非常重要。