基于數學文化視角下的《勾股定理》

山東省東營市利津縣第二實驗學校 李積玲

近年來數學文化逐漸走進中小學課堂，深入實際數學教學，努力使學生在學習過程中真正受到文化的感染，產生共鳴，從而使學生體會數學的文化品位，體察社會文化和數學文化之間的互動越來越受到一線教師的重視。那么如何在初中數學課堂中進行數學文化的教學呢？下面以《勾股定理》教學案例和大家交流。

一、國外數學史上智慧的展現

課題：人教版數學八年級下冊17.1勾股定理（第一課時）。

教學目標：（1）知識技能：理解和掌握勾股定理。（2）數學思考：經歷探究勾股定理的猜想和證明過程，體會由特殊到一般的數學思想和多種方法解決問題的方法。（3）解決問題：應用勾股定理解決簡單問題。（4）情感態度：學習古今中外數學家對數學的鉆研精神和傳承數學家的聰明才智。

教學重點：經歷探究勾股定理的證明過程。

教學難點：多種方法證明勾股定理。

（一）情境再現

同學們，在我們學過的幾何圖形中，你覺得哪個圖形最能代表數學？(三角形，如圖1）其中直角三角形更是具有很多獨特的性質，今天我們一起走進直角三角形。

你們知道嗎，1970年我國發射第一顆人造衛星“東方紅一號”飛入太空時，偉大的數學家華羅庚提出在衛星上攜帶幾個直角三角形和幾組特殊的數來向外星系展示地球的文明。他說：凡是有文明的地方，必然知道這些圖形和數據的特定含義。你能猜出這其中的含義嗎？難道直角三角形的三邊長在數量上存在某些關系嗎？

（二）發現與證明

那么直角三角形的三邊長在數量上會有怎樣的適量關系呢？

探究活動（發現篇）：傳說2500多年以前，古希臘有一位數學家叫畢達哥拉斯，有一天在朋友家做客時看到朋友家的地板圖案，沉思良久，驚喜地發現了直角三角形三邊長的數量關系。那么我們一起看看到底是什么樣的地板圖案呢？你能說說這是什么樣的地板圖案嗎？（由無數全等的等腰直角三角形組成的圖案，如圖2）你能從中發現直角三角形三邊長的數量關系嗎？（看不出來）畢達哥拉斯的眼中看到的是這樣的圖形。你現在有什么發現呢？（兩個小正方形的面積和等于大正方形的面積，如圖3）請說出你的理由？（一個小正方形是由兩個等腰直角三角形組成的，一個大正方形是由四個等腰直角三角形組成的，所有直角三角形都全等，也就是面積是相等的，所以兩個小正方形的面積和等于大正方形的面積）非常好，大家通過數一數、算一算的方法發現一種數量關系。那么對于這個等腰直角三角形三邊長的數量關系又是怎樣的呢？（a2+a2=c2或兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如圖4）

圖1

圖2

圖3

圖4

畢達哥拉斯雖然發現了等腰直角三角形的三邊長之間存在數量關系，但是他更想進一步探究任意的直角三角形三邊長的數量關系是否類似呢？于是他仍然借助網格再舉兩例，繼續探究直角三角形的三邊數量關系，下面是他的探究報告，請你幫他完成：

探究報告：

1.觀察圖案完成下列問題：圖5中每個方格的邊長都為1，圖中A,B,C,A’,B’,C’為六個正方形。

圖5

②正方形C（如圖6）的面積怎樣計算呢？請說說，并畫出、寫出計算過程。（我是用補全的方法，如圖7，把正方形C補成了一個更大的正方形，用最大的正方形的面積減去四個全等的小直角三角形的面積，得到了正方形C的面積）（我是用分割的方法，把正方形C分割成了四個小的全等的直角三角形和一個小正方形，如圖8，用小正方形的面積加上四個全等的小直角三角形的面積，得到了正方形C的面積）（我算得正方形A的面積為4，B的面積為9，C的面積為13）

圖6

圖7

圖8

③通過計算，你發現三個正方形的面積之間有怎樣的關系？（正方形A、B的面積之和等于正方形C的面積）

④由此你能猜想直角三角形的三邊數量關系嗎？（a2+b2=c2，如圖9）

圖9

圖10

通過計算，你發現三個正方形的面積之間有怎樣的關系？（通過圖11，圖12我算得正方形A’的面積為9，B’的面積為25，C’的面積為34））（正方形A’、B’的面積之和等于正方形C’的面積）

由此你能猜想直角三角形三邊長的數量關系嗎？(a2+b2=c2)

圖 11

圖 12

圖13

2.綜合以上列舉的3個直角三角形的例子，你能猜想直角三角形三邊長的數量關系嗎？（如圖13，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）

3.得到驗證的這個猜想是否可以像定理一樣直接應用來解決問題呢？（可以的）（不可以。以前學過猜想就是猜想，猜想是一個命題，命題要經過嚴格的推理證明，證明命題是正確的，才可以當作定理來應用的）那么如何證明我們的猜想“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”呢？

探究活動（證明篇）：證明命題：如圖14，如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。那么怎樣才能證明這個命題呢？

圖14

回歸歷史，畢達哥拉斯用他的地板圖案發現并猜想出了直角三角形的三邊關系，可惜沒有借助地板圖案證明這個猜想。在他之后的200多年，古希臘的另一位數學家歐幾里得，給出了地板圖案的完美證明，你能思考出歐幾里得是怎樣證明的嗎？（如圖15，是否可以將大正方形分成兩部分？其中一部分的面積等于左邊小正方形的面積；另一部分的面積等于右邊小正方形的面積）真是一個大膽的猜想，你的想法和歐幾里得的想法一樣偉大。

圖15

圖16

那么如何證明一個正方形的面積會等于一個長方形的面積呢？如果直接幾何證明是證不出正方形面積等于長方形面積的，能不能找另外的一個圖形作為橋梁呢？（我覺得還是應該計算一下的，通過計算得到面積相等比較有說服力）(如果能用上我們學過的三角形知識就好了）如圖16，我們構造兩個三角形，這兩個三角形會有怎樣的關系呢？（全等）（理由是邊角邊）（奧，我發現這兩個三角形的面積是相等的）那么每個三角形和小正方形、長方形在面積上又會有怎樣的關系呢？（三角形和小正方形同底等高，面積是一半的關系）（三角形和小長方形同底等高，面積也是一半的關系）（我發現小正方形的面積和小長方形的面積是相等的）如圖17。

圖17

那么對于圖18中右側的正方形和長方形的面積是否也能證明相等呢？（同樣的方法可以證明的）

圖18

那么現在你覺得“命題：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2”是正確的嗎？（正確的）既然這個命題是正確的，那么我們就可以叫它定理了。得到“定理:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2”。

（三）數學魅力的綻放

現在你能應用這個定理來解決華羅庚教授的數學問題嗎?你認為幾組直角三角形和幾組數據之間有怎樣的特定含義呢？能否舉例和大家分享你的驗證？（這幾組數據反映的是這幾個直角三角形的三邊長度）（其中的特定含義就是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）（例如：3的平方得9,4的平方得16,5的平方得25，而且9加16正好等于25）

真不錯，聰明的你揭示出了直角三角形的三邊數量關系，你能應用這個關系解決下面的問題嗎？

如圖19所示，求出三角形的另一邊長？

解：∵∠C=90°，

∴AC2+BC2=AB2，

即32+BC2=52，

BC2=25-9，

BC2=16，

∴BC=4。

圖19

所有的文化現象一樣，數學文化直接支配著人們的行動，優秀的數學文化會是美麗動人的數學王后，得心應手的仆人，聰明伶俐的寵物伴隨著先進的數學文化，數學教學會變得生氣勃勃，靈動曼妙，光彩照人。

二、中國數學史上的美妙篇章

剛才我們一起回顧了古希臘的數學文化，從畢達哥拉斯到歐幾里得，都用自己的方法發現并證明了直角三角形的三邊關系，那么翻開我國的數學文化歷史，中國的古人是如何發現并證明的呢？

在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫勾，長的直角邊叫股，斜邊叫弦。根據我國古代數學書《周髀算經》記載，在距今3100多年前，人們就已經知道，如果勾是三、股是四，那么弦是五。后來人們進一步發現并證明了關于直角三角形三邊之間的關系——兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，并命名為勾股定理。

其中最為出名的是1700多年以前我國漢代的趙爽證明方法，你想試試嗎？請大家兩人為一小組，利用學具包中4個全等的直角三角形拼成一個正方形，并嘗試證明勾股定理。如圖20。

圖20

這就是著名的趙爽外弦圖、內弦圖，他通過拼擺巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，充分表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，是我國古代數學的驕傲，因此，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數學家大會的會徽。

本節課主要學習了直角三角形的三邊數量關系從畢達哥拉斯的發現中體會到從特殊到一般的研究數學問題的方法，無論國外、國內，上至帝王、總統，下至平民、學生，都用自己的方法證明著勾股定理，到目前已有500多種證法，他們為了研究數學，有時數十年為一日甚至一生地鉆研一個問題，執著地追求真理，推動著數學的向前發展，這種精神值得我們學習，你試試，你也行的！

進入了21世紀，作為地球村的村民，我們一定要融入世界數學文化，將民族性和世界性有機地結合起來，數學文化離不開數學史，又不限于數學史，當數學文化的魅力真正滲入教材，到達課堂，融入教學時，數學就會更加平易近人，數學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數學，喜歡數學，熱愛數學。