例談數列知識在算法中的運用

江蘇省蘇州市吳江高級中學 沈智芬

蘇教版高中數學新教材在《必修3》中新增加了《算法初步》這一節內容。 算法是數學內容以及數學思想方法的重要組成部分，也是計算機應用的重要基礎。隨著現代信息技術的飛速發展，算法在科學技術、社會發展中發揮著越來越大的作用，算法的基本知識、方法、思想日益融入社會生活的諸多方面，已經成為現代人應具備的一種基本素質。作為課程標準的新增內容，算法對于大部分學生來說還是較為陌生的，它也不同于以往所學的一些數學知識，更多的是同計算機理論和技術聯系在一起。如何讓每位同學更好的學習理解一內容，是每一個高中數學教師面臨的新課題，而算法的循環語句的教學更是具有一定難度，學生也不容易掌握好。聯系到我們曾花大氣力重點研究的數列知識及數列思想與算法思想共通性，可借助扎實的數列功底使得我們的算法教學也能輕松完成，本文通過選編部分算法知識與數列結合的例題，希望能對正在進行高中新課程教學的同行們起到有益的啟示。

解析 在初學這個算法時，很多同學給出了下面的算法：(如圖1)

圖1

圖2

分析 一般我們教師在點評這個算法時，會將其稱作一個不是很合格的算法，或者將這個算法直接“槍斃”掉。因為我們所學的算法更多的時候是要為在計算機上應用服務的，這就涉及計算機上的一個存儲單元內存的占用問題。該種算法將占用大量的資源，在n較大時，將使得計算不可進行，違背了可行性原則。一般我們給出的是另一個算法（如圖2），誠然，單純從算法的角度來考慮，無可厚非的我們應選擇后者，因為它只使用了3個單元存儲變量，顯得更簡潔、更高效。但是我們更要看到學生選擇的算法背后所蘊含的信息，那就是在學習算法這個新內容的時候，學習數列時打下的扎實功底成為學生輔以理解算法的工具之一。在此題中，為了讓學生能更好地理解后一種算法，我們還是從數列的角度來研究它，寫出斐波那契數列前6項。這樣我們能較為清楚地看到循環結構算法設計過程中最為關鍵的循環體部分：。而且遵循數列這樣的研究過程，學生也不會寫錯循環體中這三個賦值語句的次序。

其實，只需我們稍加留心，便會發現數列的身影在算法語句特別是循環語句的學習過程中幾乎隨處可見。如我們數列中重點研究的等差數列的通項及求前n項和，等比數列的通項及求前n項和，遞推數列等都可以在循環語句中得到一一對應。以等差數列中的For語句為例，我們很容易就可以得到如下算法（如圖3、圖4）。從這幾個框圖我們可以看出，循環語句的循環體中的賦值語句其實質就是：對于循環變量a,S而言，寫在賦值符號前的a,S相當于遞推數列中的后項，寫在賦值符號后的a,S相當于遞推數列中的前項，循環體中的賦值語句其實質就是給出了一個數列的遞推公式。而對于這些與等差、等比相對應的算法，假如我們給予足夠的重視，那么在解決一些算法與數列相結合的題型時，將會得心應手，游刃有余。

圖3

圖4

例2 在執行圖5的算法后，其循環體共執行了____次，最后打印的結果是___。

分析 注意到此題的循環體，可將其看成一個等差數列前n項和的問題，如圖6，則再結合Do循環為直到型，其循環終止條件Sn≥1050意味著在循環體中最后一次執行時，①式中等號左側的Sn第一次大于等于1050，解得n≥20，即最后一次執行時①式等號左側產生了S20，而第一次執行循環時等號左側產生的是S1，所以循環體共執行了20次。相應地，在循環體中最后一次執行時，①式中等號右側的為a20，從而②式中等號左側的為a21=105，即最后打印的結果是105。采用遞推數列的思想方法，使本題迅速解決。

圖5

圖6

例3 圖7是一個算法的操作流程，則由語句S7打印出的數值為______，____________ 。

圖7

圖8

分析 考察此題的循環體部分，有三個循環變量x,y,S，如圖8，記循環變量x經由算法執行得到的一列數為數列{an}，循環變量y經由算法執行得到的一列數為數列{bn}，則Sn就是求數列{an+bn}的前n項和，可以考慮使用分組求和法。{an}為首項a1=3，公差為2的等差數列，前n項和為{bn}為首項b1=4，公比為2的等比數列，其前n項和為再觀察其循環終止條件Sn＞4000，這意味著在循環體中最后一次執行時，S5中等號左側的Sn第一次大于4000，即Sn=n2+2n+2n+2-4＞4000，計算可得當n=10時，有Sn=4212＞4000。所以打印出3的數據為10,4212。

即打印出的數據變為7,6670。

評析 例3及其變題都是較為復雜的算法與數列相聯系的題目，均涉及等差數列、等比數列的通項及求其前n項和。同時還考察了復合數列求和時分組求和及錯位相減法等基礎知識和基本技解運用，尤其是例題本身就考察學生在算法情景下向數列知識聯系轉化的能力，有利于培養學生的邏輯思維能力、理性思維能力和實踐能力。而學生只需具備能夠按照數列中遞推數列的思想將算法問題轉化為數列問題的能力，還是能夠順利解答的。

算法思想貫穿于整個中學數學內容之中，并且在算法的具體實現上又可以和信息技術相聯系，因此，算法知識與數列知識的融合，有利于培養學生理性精神和實踐能力，能更好地執行新課程的教學理念。