立足本源，融會貫通

董文彬

北師大版小學數學教材中常常有一些數學思考性很強的問題，它們的基本特征是拓展性和開放性，與“四基”密切相關。教師知道這些題目對激發學生的探究興趣，培養學生的數學思考能力有很大作用，但又糾結于學生的思維水平差異較大，指導上有困難。因此有的教師干脆將這些問題作為彈性作業布置，課堂上也不進行引導，任學生自由發展;有的教師在課堂上機械地反復講、練，直到學生形成解題“套路”。這些皆與兒童的數學理想學習相距甚遠。

這些習題怎么處理？要不要拓展為課堂教學？怎樣拓展？筆者在思考的基礎上，對北師大版數學教材三年級下冊一類思維題進行了教學實踐與嘗試。

一、審題：明晰問題條件和要求

出示“問題1”：王老師為小朋友們準備了一張長32厘米、寬15厘米的長方形彩紙，最多可以剪成多少張邊長是2厘米的正方形紙？

師：這道題目已知哪些條件或信息，要解決什么問題？

生：知道長方形紙的長是32厘米，寬是15厘米，還知道要剪的正方形邊長是2厘米。要解決的問題是長方形紙中最多能剪多少個正方形。

師： “最多”是什么意思？

生：因為從長方形紙上可以剪一個、兩個，還可以剪很多個，“最多”就是最大限度的意思。

生：就是盡可能把這張長方形紙都用上。

[思考：三年級學生雖然有一定的解題經驗，但考慮到其數學理解的差異性，教師有必要在教材靜態呈現題目的基礎上配附實物圖;引導其如何審題，明確已知信息、條件及所要解決的問題，分析關鍵詞，幫助學生積累審題的經驗。]

二、交流：悟辨解決問題的策略

（師出示提示要求）

自主探究提示：

1.獨立思考嘗試解決。

2.如有需要，可以借助桌面上的長方形紙畫一畫、剪一剪，幫助自己思考。

3.盡可能翔實地寫出你的思考過程。

師：接下來按提示要求，請你思考解決。（生嘗試解決，師巡視指導。之后展示學生的學習成果）

生：我是這樣想的：先計算出長方形紙的面積32×15=480（平方厘米），再計算出小正方形的面積2×2=4（平方厘米），長方形紙上能剪幾個這樣的正方形就看長方形的面積里有幾個正方形的面積，有幾個就能剪幾個，列式為480÷4=120（個），所以最多能剪120個。我的想法大家聽懂了嗎？

師：還有誰和他一樣也是這么想的？（教室里有21名學生舉手）

生：我的思考和他不一樣，答案也不一樣。我是這樣想的：先看長方形紙的一行能剪幾個正方形，也就是看32里有幾個2，列式是32÷2=16（個）。再看一列能剪幾個，也就是15里有幾個2，列式是15÷2=7（個）……1。然后用16×7=112（個），所以我的結論是最多能剪112個。

師：誰聽懂了他的想法？

生：他的思路和我的一樣。我就是這樣一行一行剪的，先看一行能剪幾個，對應著也就是長方形的長里有幾個正方形的邊長，再看能剪幾行，就是寬的方向能剪出幾個，對應著就是長方形的寬里有幾個正方形的邊長。然后用“一行的個數”乘“行數”就是最多能剪出的正方形的總個數了。

生：可是這兩種思路都對嗎？如果都對，那為什么最后的結論又不一樣呢？

師：這個問題提得好！這是怎么回事？

生：我覺得應該有一種方法是不對的。

師：對比這兩種解決問題的方法，看看問題出在哪兒？（教室里安靜下來）

生：我認為第一種方法是錯的，第二種才是對的。我是按第二種思路剪的，發現一行能剪16個，能剪7行，也就是一共最多能剪16×7=112個。但剪完后發現還剩余一條紙，也就是說這張紙沒有被完全利用，有浪費。而第一種方法用長方形的面積除以正方形的面積，算完后可以看出整張長方形紙全部被使用了，沒有浪費。但實際在剪的時候是有浪費的，所以第一種方法是錯的。

生：我同意你的想法。我們實際剪的時候的確是按照第二種方法剪的，結果也確實是剩余了一條紙。

生：我明白了！按照大面積除以小面積這種方法算出的答案120個，是一種很理想的剪法，沒有浪費紙，而在實際剪的時候長方形紙沒有被完全使用，是有浪費的。所以第一種方法是錯的。

[思考：提供長方形紙學具，關注學生的學習需求和學習差異，通過畫一畫、剪一剪等實際操作，能幫助學生探究思考。學生原生態的兩種思路與方法，需要在交流和分享中辨析感悟。學生認為“長方形的面積里包含有幾個正方形的面積，就能從長方形里剪幾個正方形”，這是理想化的想法，而實際操作并非如此，如果真要去剪（要使剪出的正方形數量最多），應該是“一行一行”（或“一列一列” ）地剪，先看一行（或一列）能剪幾個，再考慮能剪幾行（或幾列）。教學中要啟發學生，解決問題時既要有數學思考，也要聯系實際現實。]

生：可是為什么第一種方法比第二種多剪出了8個呢？

師：是啊，多剪出了8個正方形，多在了哪兒呢？

生：實際剩余的那條紙也是長方形的，長是32厘米，寬是1厘米，面積是32×1=32平方厘米，而要剪出的正方形面積是4平方厘米，32÷4=8個，按照第一種方法，剩余的那條長方形紙里正好能剪出8個正方形，就是多剪出的那8個。

生：我和你的想法一樣。第一種方法是把剩余的那條長方形紙也給剪了，是重新對拼后剪的。對拼后，這條長方形紙就變成了長16厘米寬2厘米的，剪邊長是2厘米的正方形正好能剪出8個。而實際中是不能這樣對拼之后再剪的。

生：我是這樣想的。首先直接在原來的長方形紙上畫邊長是1厘米的小方格，一行正好畫出32個，正好畫出15行，一共畫出了32×15=480個方格。而邊長是2厘米的正方形面積是2×2=4平方厘米，也就是說一個這樣的正方形包含4個邊長是1厘米的小方格。然后我再把4個小方格重新畫一組，一組就是一個要剪的正方形，這樣畫下去，一行正好能畫出16個，畫出7行后還剩下一行32個邊長是1厘米的小方格，但這些小方格不能再重組了，就剩下了。所以最后只能剪出16×7=112個正方形。

生：哦——我明白了！剩下的32個邊長是1厘米的小方格面積正好是32個1平方厘米，也就是32平方厘米，和前面剪剩的那條長32厘米、寬1厘米的長方形紙大小正好對上。這32平方厘米的紙，如果按照前面第一種方法正好還能剪出8個正方形，但這只是假想的，實際中根本剪不出來。

（教室里響起掌聲）

師：非常好！我們不但知道第一種解決方法不正確，而且還通過各種方式找到了錯誤背后的根源，這樣的交流很有價值。

[思考：學生提出的兩種策略剪出的正方形“為什么差8個，差在哪”，完全在我的預料之外。沿著學生的思維拾級而上，教師不但讓學生在化錯中找到錯誤的根源，而且讓他們再次體會到了“用大面積除以小面積”這種方法在實際操作中并不一定可行。]

三、提升：貫通聯系完善認知

出示“問題2”： 一張長32厘米、寬16厘米的長方形彩紙，最多可以剪成邊長是2厘米的正方形紙多少張？

師：這道題目能用“大面積除以小面積”的方法解決嗎？

生：我用第二種方法算，一行能剪出32÷2=16個，能剪16÷2=8行，所以正好能剪16×8=128個。

生：我用第一種方法算，長方形面積32×16=512平方厘米，小正方形面積是2×2=4平方厘米，512÷4=128個，算出來也是128個，說明第一種方法也是可行的。

師（疑惑）：這里為什么用“大面積除以小面積”的方法也可以解決？

生：因為如果用長方形的長和寬分別除以正方形的邊長，我們發現正好都除盡了，沒有余數。

師：誰聽懂了他的想法，“都除盡了，沒有余數”是什么意思？

生：32÷2=16，表示一行正好能剪16個正方形，說明長方形紙在長的方向上沒有剩余，16÷2=8，表示能正好剪8行，說明長方形紙在寬的方向剪完8行后也沒有剩余。也就是說這張紙在剪正方形時沒有任何浪費，全部都被用上了。

生：對！前面討論的用“大面積除以小面積”的方法只有在沒有任何剩余紙的情況下才能適用。

師：非常好！那大家想一想，什么情況下“大面積除以小面積”的思路才適用于解決這類問題？

生：當長方形的長和寬都是正方形的邊長的整倍數時，前面兩種方法都可以解決。

生：用長方形的長和寬分別去除以正方形的邊長，正好都能被整除時，“大面積除以小面積”這種方法才適用。

生：我還有一個發現。當要剪的正方形是面積單位的時候也屬于這種情況。你看啊，當正方形的邊長是1厘米時，不管是用長方形的長還是寬去除以邊長，肯定能除盡啊，因為任何一個整數都能被1整除。

（教室里再次響起掌聲）

師：太棒了！你們對問題的認識和思維水平又提升了。

[思考：變換題目中的條件信息，讓學生認識到“用大面積除以小面積”的方法也能解決問題。學生通過認知沖突，互動交流，思考背后的原因和道理，貫通兩種方法之間的聯系，再度對兩種方法進行深入對比、思辨，厘清認識。只有當用長方形的長和寬分別去除以正方形的邊長，正好都能被整除時，“大面積除以小面積”這種方法才適用。最終形成解決此類問題的策略。]

四、拓展：聯系生活應用知識

課件出示：淘氣家準備在廚房的地面上鋪地磚，有以下幾種尺寸的地磚，選擇哪種可以不用損壞地磚而正好鋪滿？需要這種地磚多少塊？

生解答展示（略）。

[思考：數學學習貴在建立關聯，建立關聯有兩種途徑，一是數學知識內部的關聯，二是數學本身與現實生活的關聯。拓展部分設計“鋪地磚”旨在加深學生對數學與現實生活的關聯意識，感受數學的有根、有用、有法、有趣。]

（北京市中關村第一小學? 100190）