四邊簡支正交各向異性混凝土空心板的一種計算方法

楊小兵

（太原理工大學建筑設計研究院，山西 太原 030024）

在多層和高層鋼筋混凝土建筑中，現澆鋼筋混凝土空心樓蓋體系應用很廣，發展很迅速。高強度薄壁管在現澆砼空心無梁樓蓋中的應用，促進了建筑業技術創新，該項技術在降低工程造價、縮短工期、改善隔音效果、提高凈空高度、降低建筑自重等方面效益顯著，隨著技術不斷成熟、生產工藝不斷完善，必將在建筑業上得到廣泛推廣應用。

目前，計算正交各向異性板混凝土圓孔空心板的方法很多，但顯復雜。因此，本文通過將經典的Navier 雙重Fourier三角級數法解法和Rayleigh-Ritz 解法有機地結合起來，求解了均布荷載下四邊簡支正交各向異性混凝土空心板的內力和撓度。有限元分析表明，該方法概念清晰，計算精度高，完全適合于工程設計。

1 四邊簡支正交各向同性實心薄板的Navier 解法

小撓度薄板的彈性曲面微分方程

圖1 圓孔空心板

圖2 四邊簡支空心板

對于四邊簡支的矩形薄板，其邊界條件為：

在豎向荷載q 作用下，Navier 將w 展開為雙重Fourier三角級數：其中：m和n為正整數，Amn為待定系數，顯然這種形式的w的表達式滿足式（2） 的所有邊界條件。聯立式（1） 和式（3） 得

在豎向荷載q作用下，可將q和Cmn展開為雙重Fourier三角級數：

再將式（5） 和式（6） 代入式（4） 可得

其中：m，n 為奇數。

將Amn代入式（3），即可得到w的表達式，再將w的表達式代入式（7），即可求得內力。

當四邊簡支板在豎向均布荷載q0作用下，任意點（x，y） 處的撓度和內力的表達式為

應用上述公式，可以計算出四邊簡支正交各向同性實心板中任意點的撓度和內力。但是用來求解彎矩和剪力時，收斂較慢，需要取二三十項。

2 正交各向異性圓孔空心板

圓孔板的正交各向異性表現在兩個方向的宏觀泊松比的不同，即：可以將圓孔空心板作為正交各向異性實心板計算，只是宏觀彈性模量要做如下調整：

根據彈性力學可知圓孔空心板在垂直于圓孔方向，即橫向處于平面受力狀態，宏觀泊松比不會發生變化，和原來未開孔的實心板是相同的，即μv=μ0

通過基于變分原理的Rayleigh-Ritz 法的推導，可以得出正交各向異性混凝土空心板的內力和撓度與各向同性實心板比值為：

其中：w、Mx、My 為各向異性圓孔空心板的跨中撓度和內力。

3 算例

一混凝土圓孔空心板，混凝土彈性模量E0=3.25×104MPa，泊松比μ0=μv=0.2，跨度為a=b=12m，板厚H 為300mm，承受豎向均布荷載q=10.0kN/m2，孔洞直徑D=200mm，孔洞間距

根據式（14） 和式（15） 得出，Ev=2.81×104MPa，Eh=2.51×104MPa，μh=0.179。

根據式（11） 和式（12） 和式（13） 得出，w0=11.06mm，Mx0=63673.85N-m/m，My0=63673.85N-m/m。

Mx=1.0387Mx0=1.0387×63673.85=66138N-m/m比有限元計算值65991 大0.2%；

My=0.9444My0=0.9444×63673.85=60133N-m/m比有限元計算值59673 大0.8%；

w=1.2281wx0=1.2281×11.06=13.58mm比有限元計算值13.57mm 大0.07%

由此可見跨中的內力、撓度誤差均很小，采用二重Fourier 三角級數和Rayleigh-Ritz 法求解正交各向異性四邊簡支板的方法具有相當高的精度，滿足工程設計的要求。

4 結語

本文采用二重Fourier 三角級數和Rayleigh-Ritz 法推導的計算公式，可以方便地計算出正交各向異性混凝土圓孔空心板的內力和撓度，進而可以根據混凝土理論進行板的抗裂、承載能力和撓度的計算。該方法概念清晰、計算方便，精度高，可以滿足工程設計的要求，值得我們大力推廣。

二重Fourier 三角級數形式的解具有很高的理論價值，方法簡單方便。雖然撓度、力矩和剪力的級數都是收斂的，但是收斂比較緩慢，應用重三角級數求解撓度需取十多項，求內力需取二三十項。借助office 2003 中Excel 進行計算，可以大大的減少計算量。