證明二元函數極限不存在的方法與技巧

楊萬娟 楊子艷 木紹良

摘 要：本文主要解決在證明二元函數極限不存在的問題時選擇特殊路徑的方法和技巧。

關鍵詞：二元函數極限;無窮小量;無窮小量的階;特殊路徑

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.19.196

1 二元函數極限概念分析

二元函數的極限存在，是指點沿任意路徑無限接近某一點時，函數總是無限接近某一固定的數。此時稱為二元函數在時的極限，記作。

定理（1）設函數在內有定義，則;（2）設函數在有定義，且，則。

由定理可知，在求二元函數極限時，通過選擇特殊的路徑可轉化為一元函數極限問題，所以，當沿著不同的路徑趨于時（即當時，沿著不同的趨近于）函數趨于不同的值，那么就可以斷定此函數的極限不存在。但是找到特殊路徑對學生來說不是一件容易的事，因此很有必要探究該問題。本文對常見的兩種類型作了討論，其思路為：考慮分母中的最高次冪與分子中的最低次冪保持一致，通過化解可知極限是否與有關，若與有關，則可知極限不存在。

2 證明二元函數極限不存在時找特殊路徑的方法

2.1 類型一：證明極限不存在時找特殊路徑的方法

2.2 類型二：證明極限不存在時找特殊路徑的方法

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