捕捉高考立體幾何的命題熱點

湯小梅

熱點1：空間幾何體的三視圖

空間幾何體的三視圖是每年高考的“常青樹”， 一般會命制一道小題，多在選擇題中出現，試題難度為中等.高頻考查的類型：①空間幾何體三視圖的識別;②由三視圖數據求解幾何體的幾何度量（指定棱長、指定側面的面積等）;③由三視圖數據求簡單幾何體的體積與表面積.

預測題1 如圖1，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的最長棱的長度為

A. ? ? ? ? ? ? ? ? B.

C. ? ? ? ? ? ? ? ? D.

提示 構造長方體，根據三視圖還原出空間幾何體，再求出各棱長，即可得出該幾何體的最長棱的長度.

參考答案 B

預測題2 如圖2，網格紙上小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為

A.9? ? ? B.8? ? ? C.6 ?? ? D.5

提示 根據三視圖還原出空間幾何體，利用柱體的體積公式，即可得出該幾何體的體積.

參考答案 B

熱點2：與球有關的幾何體的切接問題

與球有關的幾何體的切接問題是高考中的高頻考點， 一般會命制一道小題，多在選擇題或填空題中出現，試題難度為中等或中等偏難.高頻考查的類型：①與棱柱或棱錐有關的幾何體的切接問題;②與圓柱或圓錐有關的幾何體的切接問題.

預測題3 阿基米德是古希臘非常偉大的數學家之一，他的一項重大貢獻是建立了多種旋轉體體積的精密求法.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，將Rt△ABC繞AB邊旋轉一周所形成的幾何體與其外接球的體積之比為______.

提示 先求出旋轉體的體積，利用球心、圓錐底面的圓心以及圓錐底面圓上任一點所構成的直角三角形，求出圓錐的外接球的半徑，再利用錐體與球體的體積公式，即可求出它們的體積之比.

參考答案

熱點3：空間線面平行與垂直的證明

證明空間線面平行或垂直模型是每年高考的必考內容，通常位于立體幾何解答題的第一小題的位置，試題難度為中等，常用方法是定理法或數據法.高頻考查的類型：①利用定理法證明空間中的平行、垂直;②借用數據證明空間中的垂直;③用向量法證明空間中的平行、垂直.

預測題4 如圖3，在四棱錐M-ABCD中，AD=AB=MA=λBC（λ>1），BC∥AD，點E在棱MA上，且MA=λME.

（Ⅰ）證明：BE∥平面MCD.

（Ⅱ）若AB⊥BC，DM= AB.

（i）證明：AD⊥平面ABE.

（ii）若BM=DM=4 ，且λ= ，求三棱錐M-BDE的體積.

提示 （Ⅰ）欲證BE∥平面MCD，只需在平面MCD內尋找一條直線與直線BE平行即可.（Ⅱ）（i）欲證AD⊥平面ABE，只需在平面ABE內尋找兩條相交直線與直線AD垂直即可.（ii）利用（i）的結論AD⊥平面ABM，以及等體積法，把所求的三棱錐M-BDE的體積，轉化為求三棱錐D-MBE的體積.

參考答案 （Ⅰ）（證明過程省略）

（Ⅱ）（i）（證明過程省略） （ii）8.

熱點4：求空間角

空間角是高考必考的考點，有關空間線面角與二面角的問題常位于立體幾何解答題的第二小題的位置，試題難度為中等;有關空間異面直線所成角或線面角的問題常以選擇題或填空題的形式呈現，此時多以直三棱柱、長方體或正方體為背景，難度為中等或中等偏難.高頻考查的類型：①平移法或向量法求空間異面直線所成的角;②定義法或向量法求空間線面所成的角;③向量法求空間二面角.

預測題5 如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，G，H分別為棱C1D1，A1D1，D1D的中點，點F為線段BC1上的動點.若EF∥平面D1B1B，則異面直線EF和GH所成角的大小為

A.90° ? ? ? ??B.60° ? ? ? ??C.45° ? ? ? ? ? D.30°

提示 方法1是利用平移法，把所求的異面直線EF和GH所成的角轉化為同一個平面內兩條相交直線所成的角，再通過解三角形，即可求出該角的大小.方法2是通過證明線面垂直，證得異面直線EF和GH垂直，從而得出異面直線EF和GH所成角的大小.

參考答案 A

預測題6 如圖5，在多面體ABCDEM中，四邊形ABCD是菱形，MA，DE都與平面ABCD垂直，AD=MA=2DE=2，點F為棱MA的中點，點G為線段MC上的動點（不包括線段MC的兩端點）.

（Ⅰ）證明：EG∥平面BDF.

（Ⅱ）若直線MC與平面ABC所成的角為45°，求二面角G-CE-D的余弦值.

提示 （Ⅰ）欲證EG∥平面BDF，只需證明平面MCE∥平面BDF，利用面面平行的判定定理，即可得證.

（Ⅱ）利用直線MC與平面ABC所成的角為45°，得出△ABC為等邊三角形，從而以A為原點，建立空間直角坐標系.分別求出平面MCE與平面CDE的法向量，再求出兩法向量的夾角的余弦，根據圖形的特征，即可得出二面角G-CE-D的余弦值.

參考答案 （Ⅰ）（證明過程省略）

（Ⅱ）- .

熱點5：求空間距離

空間距離模型是高考的考點，其中點面距離問題或三棱錐的高的問題是高頻考點，通常位于立體幾何解答題的第二小題的位置，試題難度為中等.高頻考查的類型：①等體積變換法求點到面的距離;②向量法求點到面的距離.

預測題7 如圖6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為正三角形，AB=BB1，點D在棱BC上，且BC=4BD，點E，F分別為棱AB，BB1的中點.

（Ⅰ）證明：平面DEF⊥平面BCC1B1.

（Ⅱ）若AB=4，求三棱錐C1-DEF的高.

提示 （Ⅰ）欲證平面DEF⊥平面BCC1B1，只需證DE⊥平面BCC1B1，只需在平面BCC1B1內尋找兩條相交直線與直線DE垂直即可.

（Ⅱ）利用等體積法，把求三棱錐C1-DEF的高的問題轉化為方程問題，通過解方程，即可得出三棱錐C1-DEF的高.

參考答案 （Ⅰ）（證明過程省略）

（Ⅱ）2 .