基于改進Logistic映射的圖像加密算法①

胡春杰,阮 聰,牛智星

1(江蘇南水科技有限公司,南京 210012)

2(水利部南京水利水文自動化研究所,南京 210012)

引言

隨著數字技術、通信技術的飛速發展與普及,圖像信息成為多媒體和網絡中最重要的信息之一.然而,由于互聯網的不確定性與開放性,在圖像數據傳輸過程中,其信息數據安全性問題越來越受到重視.所以,如何保證數字圖像的安全性顯得特別重要,圖像加密是最直接有效的途徑之一.傳統的加密方法加密效率低、時間較長,不再適用于圖像加密[1,2].由于混沌系統具有偽隨機性、初值敏感性等特性,因此將混沌系統應用到圖像加密中非常契合.隨著研究的不斷深入,混沌圖像加密算法和技術有了相當大發展[3-6].

文獻[7]提出基于logistic 映射圖像加密算法.簡單易實現,效果良好,但是單一的映射加密安全性較差.文獻[8]提出一種基于圖像分區的置亂算法.該算法首先對原始圖像進行分塊置亂,再對相鄰像素值進行異或運算置亂圖像.謝國波[9]提出了結合logistic 映射和Arnold 映射對圖像進行加密,提高了置亂和擴散兩者之間的關聯性,增加了圖像的安全性.文獻[10]提出了加強型超混沌加密算法,相比低維系統密鑰空間大,非線性行為復雜化,雖提高了圖像的安全性,但是效率不高[11-13].

本文在cubic 映射和logistic 映射基礎上,提出了一種改進logistic 映射的圖像加密算法.首先改進logistic 映射對圖像進行置亂,然后將置亂圖像進行相鄰像素間按位異或運算、交叉換位操作,實現了對數字圖像的加密.實驗結果表明,本文算法不僅達到了較好的加密效果,而且安全性好,抵抗統計攻擊和差分攻擊強等特點.

1 Logistic 映射及改進

1.1 Logistic 映射

Logistic 映射是一個典型的非線性迭代方程.其方程如下：

其中,當3.5699＜μ≤4 時,Logistic 映射系統處于混沌狀態,對給定初始值x0,在式(1)作用下生成的序列是非周 期性、非收斂以及對初始條件敏感的,如圖1所示.

圖1 Logistic 映射序列分布

1.2 改進的Logistic 映射

目前一維離散混沌映射有logistic 映射和cubic 映射以及它們的衍生映射,其共同點都是系統參數少,混沌區間窄,混沌的復雜性較低,函數形式簡單.為了克服以上不足,本文將logistic 映射和cubic 映射進行結合改進,其方程表達式如下所示：

式中,μ∈[0,4],a∈[0,4],b∈[0,3],c∈[0,4] 當參數μ=1.8,a=0.5,b=1,c=1 時,系統具有兩個正的Laypunov 指數,說明該系統是一個超混沌系統.

為了檢驗改進logistic 映射系統偽隨機性的好壞,分別對logistic 映射改進前后進行了NIST 測試,測試結果如表1所示,從表1可以看出,logistic 序列有5 項密鑰通過,改進logistic 映射全部通過,表明改進后映射的偽隨機性高于經典的logistic 映射.

表1 NIST 測試結果

2 改進的加密算法設計

2.1 位置置亂

本文應用改進的logistic 映射置亂明文圖像,其主要步驟如下：

(1)將原始明文圖像轉換成二維矩陣,分別將其行數和列數放在數組C1 和C2 中;

(2)計算原始明文圖像所有像素值之和為sum,通過式(3),得到輔助密鑰k;

(3)設改進logistic 映射的初始值為x0和y0經過和得到混沌系統新的初始值x′0和y′0;

(4)設置初始條件x0= 0.3,y0=0.4 經過式(2)迭代生成兩個實數序列{xk,yk|k=1,2,···,m×n}

(5)對序列xk和yk分別依次進行升序操作,并相應地記錄各元素在原始序列的下標,得到兩個序列的索引Index1 和Index2,將索引Index1 和Index2 與原始圖像的行C1 和列C2 交換,從而達到置亂的效果,得到置亂圖像C.

2.2 圖像像素值的改變

首先對置亂圖像C中每個像素和它前面相鄰的像素進行按位異或運算,再對其異或運算的結果進行像素值的交叉換位,得出最終加密圖像.其主要步驟如下：

(1)設置亂圖像C的第一個像素的灰度值為C(1)與255 進行異或,得到C′(1),再對C′(1)進行交叉換位,得到Q(1).具體的換位操作如下圖2所示(圖2 中的bit1,bit2,…,bit8 分別表示像素點二進制灰度值的第 1,2,…,8 位);

圖2 交叉換位示意圖

(2)置亂圖像C的第二個像素的灰度值C(2)與Q(1)進行異或操作,得到C′(2),再對C′(1)進行交叉換位,得到Q(2);

(3)依次將圖像的每個灰度值C(i)與Q(i-1)進行異或,得到C′(i);依據交叉換位規則得到Q(i).最后將一維Q(i)換成圖像D,即得到最終加密圖像D.

2.3 解密算法

解密過程為加密過程的相反過程,只要在正確的密鑰條件下,按照加密過程的相反操作處理就可以恢復得到原始圖像.

3 仿真結果

本文采用經典的Lena 作為原始圖像,大小為256×256,在 Matlab7.0 平臺上仿真實驗,運行得到加密圖像.圖3(b)為置亂圖像,圖3(c)為密文圖像,圖3(d)為正確解密圖像.

圖3 圖像加密與解密

4 算法分析

4.1 直方圖分析

圖4(a)為明文圖像的灰度直方圖,圖4(b)為密文圖像的灰度直方圖.從圖4可以看出,明文圖像的像素點分布不均勻,密文圖像的像素點分布相對均勻,很好地隱藏了明文圖像的統計特性,達到了預期的要求.

圖4 加密前后的灰度值

4.2 密鑰空間分析

本文加密算法中改進的logistic 映射有4 個系統參數和2 個初始值共6 個密鑰值.假如計算機精度可以達到1 0-16,那么密鑰空間為1 096,以及在置亂-擴散過程中有一個外層循環,可見密鑰空間非常大.想要通過窮舉攻擊解密圖像,成功的幾率是及其渺小的,也就是說可以滿足抵御暴力破譯的要求.

4.3 信息熵

信息熵是衡量信號源不確定性的重要參數,圖像越是混亂,信息熵就越接近理想值,其定義式為：

其中,P(mi)是灰度值mi出現的概率,N為像素比特位數.由式(11)計算可得原始圖像的信息熵為7.5683,密文圖像的信息熵為7.9900,非常接近于灰度級為256 的圖像最大值8,可以得出密文圖像所有像素值分布十分均勻的,加密系統能夠有效地抵御惡意熵攻擊.

4.4 相鄰像素點的相關性

為了檢驗與分析加密前后圖像的相關性,分別從明文和密文中隨機性地選取2000 對相鄰的像素,使用式(12)計算相關性：

其中,E(x)、E(y)分別是x,y的期望;n是像素點的個數;cov(x,y)是x,y的協方差;r相關系數,

圖5至圖7分別是明文圖像和密文圖像在垂直、水平、對角線方向相鄰點分布情況.從各圖中可以看出,明文圖像中的點基本上都集中在對角線周圍,即圖像相鄰點相關性很強.而密文圖像中的像素點均勻集中在坐標上,即密圖相鄰點相關性低.

圖5 垂直方向的相關性

圖6 水平方向的相關性

圖7 對角方向的相關性

由表2可得到,明文圖像的相鄰像素點相關性系數趨近于1,而密文圖像的相關性較小,其相關系數靠近于0,可以得出密文圖像的相鄰間像素點基本不再相關.相比較其他算法[4,9,14],可見該算法的相關系數r更小一點,說明本文加密算法具有良好的擴散性.

表2 相鄰像素點的相關

4.5 差分攻擊分析

為了測試明文圖像一個像素的變化對該算法整體加密結果的影響,采用兩種常見的措施[15]：像素變化率(NPCR)和統一平均變化程度(UACI).若一個像素值的變化導致密文圖像發生顯著地改變,就可以說明算法能抵御差分攻擊.

現從圖像中隨機選取5 個像素點,分別將像素值加1,再對改變像素值后圖像進行加密,應用式(13)和式(式14)進行計算.對得到的值取平均值NPCR=99.61%和UACI=31.62%.這就說明當改變原始圖像lena(256×256)一個像素時,會使密文圖像接近100%的NPCR變化,UACI也在31%以上.說明本文加密算法抵抗差分攻擊能力比較強.

5 結束語

本文提出了基于改進logistic 映射的圖像加密算法.先利用改進的logistic 映射對圖像進行位置置亂,再進行相鄰像素間按位異或、交叉換位操作得到最終加密圖像.仿真實驗分析表明,該算法可以達到良好的加密效果、簡單易實現、安全性較好,在數字圖像通信傳輸中,具有良好的實用價值.