軸承實測波紋度的動力學建模與振動特性分析方法

時博陽,邵毅敏,丁曉喜

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044 )

軸承波紋度指軸承隨機或周期性偏離理想球形的表面不平度，由磨削過程中的振動引起[1]。軸承波紋度是造成軸承及轉子系統產生振動、噪聲和疲勞破壞的主要因素之一[2]，為保證旋轉機械安全、平穩地高速運轉，有必要分析波紋度對軸承振動特性的影響。

國內外對軸承波紋度對軸承振動特性的影響做了大量研究，文獻[3]分析了球軸承內、外圈及滾子的波紋度對軸承振動的影響；文獻[4]提出了一種基于內、外圈波紋度的轉子-軸承系統的振動特性的數學模型；文獻[5]提出并驗證了包含軸承外圈波紋度的線性振動模型；文獻[6]從理論上分析了外圈波紋度對軸承振動譜的影響，分析了軸承各零件的頻率以及諧頻和波紋度波數之間的關系；文獻[7]建立了包含內、外圈和球波紋度的球軸承系統動力學模型，分析了各零件波紋度對軸承系統振動的影響[7]；文獻[8]考慮了軸承內外圈波紋度、徑向游隙和非Hertz接觸力等因素，分析了軸承-轉子系統的非線性動力學響應，分析了不同故障類型的特征頻率；文獻[9]利用Lagrange方程建立了包含表面特征的軸承振動模型，仿真分析了波紋度階數與軸承振動頻率的關系。

上述研究大多采用正弦函數來模擬實際波紋度，很少采用實測波紋度來預測軸承振動特征。鑒于此，以NU307E型圓柱滾子軸承為例，建立軸承波紋度的動力學模型，通過對軸承內、外圈和滾子的實測波紋度數據進行插值重采樣，獲得波紋度離散序列，并將其耦合到振動模型，建立軸承實測波紋度動力學模型，并進行仿真，從而得到軸承的振動特性。

1 軸承實測波紋度的動力學建模與振動分析方法

實測波紋度的軸承動力學建模與振動分析流程如圖1所示，主要包括軸承波紋度動力學建模、實測波紋度的提取及實測波紋度與動力學模型的耦合特征求解。

圖1 基于實測波紋度的軸承動力學建模與振動特性分析流程Fig.1 Dynamics modeling and vibration characteristics analysis process based on measured waviness of bearing

通過波紋度檢測及等角度間隔抽樣獲得內、外圈和滾子的原始波紋度序列，確定滿足所需采樣頻率的采樣時間序列，以對應該采樣時間序列的角度序列對原始波紋度序列進行插值重采樣處理，獲得升采樣波紋度序列。采用集中參數法，以內、外圈和滾子的波紋度為位移激勵，建立包含內、外圈和滾子波紋度的軸承動力學模型,并利用Lagrange方程得到波紋度軸承的二自由度振動方程，耦合插值重采樣得到的軸承升采樣波紋度序列，采用4階Runge-Kutta求解振動方程得到軸承的振動特征。

1.1 軸承波紋度動力學模型

軸承波紋度振動分析模型如圖2所示，測試軸承安裝在測振儀的芯軸上，芯軸與內圈采用過盈配合，內圈與芯軸可視為剛性固結，以相同轉速旋轉，軸承外圈由軸承座支承。以初始時刻內、外圈中心O為坐標原點建立定坐標系Oxy,Oe為外圈中心，坐標為 (xe,ye)， 建立隨外圈轉動的動坐標系Oex1y1。Oi為內圈中心，坐標為(xi,yi)，建立隨內圈轉動的動坐標系Oix2y2。Ok(k=1,2,3,…,Z;Z為滾子數量)為第k個滾子中心，坐標為(xk,yk)，建立隨第k個滾子運動的動坐標系Okxkyk。Gk為第k個滾子與內圈接觸點，Hk為第k個滾子與外圈接觸點。設第k個滾子的位置角,即OOk與y軸的夾角為θk；OiGk與y2軸的夾角為αk，OeHk與y1軸的夾角為βk，OkHk與y3軸的夾角為Ψk，OkGk與y3軸的夾角為φk。各位置角為

圖2 軸承波紋度振動分析模型Fig.2 Vibration analysis model for waviness of bearing

(1)

(2)

(3)

Ψk=2πnrt，

(4)

φk=2πnrt+π，

(5)

式中：ni為內圈轉速；nc為保持架轉速；nr為滾子自轉速度；t為時間。

在軸承運轉過程中，由于波紋度影響，軸承內圈中心坐標可通過外圈的中心坐標表示[7]，即

，(6)

式中：we(βk)為Hk點在外圈上波紋度；wi(αk)為Gk點在內圈上的波紋度；wr(Ψk)為Hk點在第k個滾子上的波紋度；wr(φk)為Gk在第k個滾子上的波紋度。

me為外圈質量，mi為內圈質量，忽略滾子質量，內圈轉動動能為常數，由Lagrange方程可得

(7)

式中：F為外圈受到的激勵力；Fx，Fy為F在x，y軸上的分量。

F與內圈受力Fi互為作用力與反作用力,Fix，Fiy為Fi在x，y軸上的分量，其值可由牛頓第二定律計算，即

(8)

由(1)～(8)式可得軸承外圈的振動響應方程為[7]

(9)

1.2 軸承實測波紋度提取

圓柱滾子軸承波紋度測量參照GB/T 32324—2015《滾動軸承 圓度和波紋度誤差測量及評定方法》，儀器測量方式為工作臺旋轉式，濾波器類型為高斯濾波器，濾波范圍為每轉1～50波數，其測量結果輸出為圖形記錄式。通過該波紋度檢測方法完成對軸承內圈、外圈、滾子3個零件實際波紋度分布的測量，獲取其對應的記錄圖形，如圖3所示。以角度序列θ′對波紋度圖形等間隔抽樣，在輪廓上均勻抽樣90點，每點之間間隔角度為4°，得到原始波紋度序列為

圖3 軸承各零件實測波紋度圖形Fig.3 Measured waviness diagram of each part of bearing

(10)

式中：Ai為內圈原始波紋度序列；Ae為外圈原始波紋度序列；Ar為滾子原始波紋度序列。

根據采樣頻率獲得時間序列t，即

(11)

將(11)式代入 (2)～(5)式可得插值重采樣角度序列αk，βk，Ψk和φk。采用分段三次Hermite插值多項式法,以角度序列αk，βk，Ψk和φk對原始波紋度序列Ai，Ae，Ar插值重采樣獲取軸承升采樣波紋度序列wi，we和wr，即

(12)

wi，we和wr的角域曲線如圖4所示，可為后續的耦合模型提供輸入條件。

圖4 軸承各零件升采樣波紋度角域曲線Fig.4 Angle domain curve of ascending sampling waviness of each part of bearing

1.3 實測波紋度與動力學模型的耦合求解

預處理實測波紋度函數序列wi，we和wr,代入軸承振動響應方程(9)式，則可實現實測數據同模型方程的聯立耦合，采用4階Runge-Kutta解耦合方程即可得到軸承的振動響應。

2 軸承波紋度動力學仿真試驗

以NU307E型圓柱滾子軸承為例分析，仿真參數見表1。

表1 主要仿真參數Tab.1 Main simulation parameters

軸轉速n分別取900，1 800，2 700 r/min。設軸承外圈固定，內圈和軸固結，外圈轉速ne=0，內圈轉速ni=n。忽略滾子與滾道之間的滑動，保持架轉速nc和滾子自轉速度nr可表示為[10]

(13)

(14)

根據建立的波紋度軸承動力學模型，耦合軸承內、外圈和滾子的實測升采樣，在不同軸轉速下，采用4階Runge-Kutta法求解即可得到軸承外圈的振動加速度時域信號，做出振動加速度的時域圖，計算時域信號的均方根(RMS)值，并對時域信號做快速Fourier變換，得到軸承振動加速度頻譜。

不同軸轉速下x軸方向上振動加速度時域圖和頻域圖分別如圖5和圖6所示。計算不同軸轉速下軸承x軸方向上的振動加速度RMS值，并做出軸轉速和RMS值的關系圖，如圖7所示。從圖中可以看出：x軸方向上軸承振動加速度的RMS值隨軸轉速的增大而增大。

圖5 不同軸轉速下x方向軸承振動加速度時域圖Fig.5 Time domain spectrum of bearing vibration acceleration in x direction under different shaft speeds

圖6 不同軸轉速下x方向軸承振動加速度頻域圖Fig.6 Frequency domain spectrum of bearing vibration acceleration in x direction under different shaft speeds

圖7 x軸方向上軸承振動加速度的RMS值隨軸轉速的變化趨勢Fig.7 Variation of RMS value of bearing vibration acceleration in x direction with shaft speed

在不同軸轉速下y軸方向上軸承振動加速度時域圖和頻域圖分別如圖8和圖9所示。計算不同軸轉速下y軸方向上軸承振動加速度RMS值，并做出轉速和RMS值的關系圖，如圖10所示。從圖中可以看出：y方向上軸承振動加速度的RMS值隨軸轉速增大而增大。

圖8 不同軸轉速下y方向軸承振動加速度的時域圖Fig.8 Time domain spectrum of bearing vibration acceleration in y direction under different shaft speeds

圖9 不同軸轉速下y方向軸承振動加速度的頻域圖Fig.9 Frequency domain spectrum of bearing vibration acceleration in y direction under different shaft speeds

圖10 y軸方向上軸承振動加速度的RMS值隨軸轉速的變化趨勢Fig.10 Variation trend of RMS value of bearing vibration acceleration in y direction with shaft speed

3 試驗驗證

為驗證模型的正確性與有效性，搭建了試驗臺進行試驗驗證，其中軸承振動加速度測試試驗臺及測點布置示意圖如圖11所示。試驗臺加載方式為氣動加載，通過加載塊1和加載塊2對軸承施加相同的力F1，合力在x軸方向上相互抵消，可等效為在軸承y軸負方向上施加徑向力F，即

圖11 測點布置圖Fig.11 Layout diagram of measuring point

(15)

兩測點分別布置在軸承的x，y方向，以測試軸承運轉過程中x，y方向的振動，使用LMS測試儀采集軸承的振動信息，并使用筆記本電腦記錄和分析數據。其中采用的軸承以及試驗參數設置均與仿真計算條件相同，參照GB/T 32333—2015《滾動軸承 振動(加速度)測量方法及技術條件》要求:外圈固定，內圈轉動，軸轉速為1 800 r/min。

試驗結果經處理后，x，y軸方向上的振動加速度包絡解調譜如圖12所示。仿真結果與試驗結果對比見表2。由表2可知：仿真結果與試驗結果誤差小于5%，在誤差允許的范圍之內，驗證了提出的基于實測波紋度的動力學耦合模型的正確性。

圖12 轉速1 800 r/min時軸承振動加速度包絡解調譜Fig.12 Envelope demodulation spectrum of bearing vibration acceleration under speed of 1 800 r/min

表2 仿真結果與試驗結果對比Tab.2 Comparison between simulation results and test results Hz

4 結束語

建立了內、外圈和滾子實測波紋度的軸承動力學模型，并通過試驗驗證了該模型的正確性。軸承實測波紋度動力學模型較虛擬波紋度模型更加接近實際，可為軸承波紋度的振動特征預測提供一種新的方法。