一種新型變指數冪次趨近律的設計與分析

田 野，蔡遠利

（西安交通大學 電子與信息工程學院，西安 710049）

滑模控制是一種非線性控制方法，具有響應快速、構造簡單、對系統匹配擾動具有不變性等優點[1]，在電機、航空航天、機器人等不確定性系統中得到了廣泛應用[2-5]。

滑模的控制過程可分為系統在趨近律作用下向滑模面運動和在滑模面上向平衡點運動兩個階段。傳統滑模控制系統在滑模運動階段具有魯棒性，但在滑模趨近階段存在控制抖振現象，并會受到不確定性和外界擾動影響。因此，抑制抖振并減少滑模趨近時間仍是目前研究的熱點問題[6]。相對于準滑模、高階滑模控制等控制滑模面上運動特性的方法，基于趨近律的滑模變結構控制方法的優點在于改善了系統趨近過程的動態品質，受到國內外學者的重視。趨近律設計的優劣直接影響系統的穩態精度、穩定性和收斂時間等性能，是滑模設計的重要內容。

高為炳院士提出了等速趨近律、冪次趨近律和指數趨近律等方法，通過調整趨近律參數削弱了抖振，提高了趨近過程動態品質，成為后續趨近律研究發展的基礎。但單冪次趨近律、指數趨近律等早期研究的趨近律可調節參數較少，且大多使用固定的指數和增益參數，控制性能在實際使用中受到限制。近年來，國內外學者的研究重點放在提高趨近律階次和增加冪次項，起到了提高系統魯棒性和響應快速特性的效果[7-10]。Yu等[7]結合指數趨近律與單冪次趨近律，提出了一種快速冪次項趨近律方法，縮短了趨近時間并使趨近過程更加平滑，但在滑模面上仍存在抖振現象。李慧潔等[8]在改進的新型雙冪次趨近律的基礎上，研究了其固定時間的收斂特性，即收斂時間存在與滑模初始狀態無關的上界，得出了一般形式下雙冪次趨近律收斂時間的結論。在最新的文獻[9-10]中使用fal函數構造趨近律，廖瑛等[9]基于傳統快速冪次趨近律構造了新型雙冪次組合函數趨近律，在[0,δ]區間提高了收斂速度，且由于是連續函數，避免了抖振，不足之處在于函數兩項的收斂速度差異較大且趨近律不具備自適應能力。張瑤等[10]提出了在趨近律中加入變冪次項的方法，具備了一定自適應能力，但在原點處該趨近律形式與符號函數趨近律相同，導致依然存在抖振。

針對上述研究中存在的問題，本文設計了一種新型變指數冪次趨近律，其中冪次項將系統的趨近過程在一般冪次趨近律的基礎上進一步細分，進行分階段速率調節，提高了系統趨近過程的速率，并在有限時間內收斂到平衡點。當存在有界外部擾動時，狀態s及其一階導數在有限時間內收斂到平衡零點的有界鄰域內。仿真分析表明，變指數冪次趨近律收斂速度快于現有的4種趨近律，且具有更好的動態品質。

1 新型變指數冪次趨近律設計

1.1 相關工作基礎

文獻[7]提出的快速冪次趨近律如下：

其中，k1＞ 0 ，k2＞ 0 ，0 ＜γ＜1。

經分析可知，該趨近律本質連續，若不考慮干擾可實現二階滑模動態，有限時間內使得s=s=0。系統從初始狀態到達滑模面分為兩個階段：s＞1時，式中第一項起主要作用；當系統接近滑模面時，即s＜1時，第二項起主導作用。該趨近律中的冪次項和指數項結合了兩者的優點，在不同趨近階段分別控制收斂速率。

基于上述快速冪次趨近律和雙冪次趨近律[8]，文獻[9]提出了如下雙冪次組合函數趨近律：

其中，a=1 +γ，b=1 -γ，δ= 1 ，0 ＜γ＜1，

由于fal函數的分段特性，雙冪次組合函數趨近律在[0,δ]范圍內比傳統指數趨近律趨近速度更快，且趨近律在(0,∞)區間內連續，不存在抖振。但fal函數項的第二項相對于第一項收斂速度較慢，并未對趨近律的速度提升產生大的貢獻。取a=0.5，δ=1，圖1的仿真表明了不同項的趨近速度對比，其中 s1、s2、s3分別表示fal函數第一、二項和一般冪次項。

圖1 不同項趨近速度對比Fig.1 Comparison on different functions

文獻[10]提出的多冪次趨近律如下：

在s的不同取值下，系統可自適應的選擇趨近律中的指數參數，獲得較快的收斂速率。

分析表明，該多冪次趨近律在不考慮輸入受限的情況下，只有變指數項k3sgn （s）的作用是必須的。其在相當大的論域內將遠優于其余三項。如xα1時，可知變指數項在改善趨近律收斂特性上具有較大的優點。

1.2 新型變指數冪次趨近律

基于以上分析，對于連續時間系統，我們提出如下有限時間穩定的新型變指數冪次趨近律：

λ的取值為

其中，k1＞ 0 ，k2＞ 0 ，0 ＜α＜1。

1.3 新型變指數冪次趨近律

定理1對于滑模趨近律(4)，系統狀態s在其作用下有限時間內收斂于平衡零點。

證明根據式(4)可得：當且僅當s=0時，有

根據連續系統滑模存在及可達性條件[1]，若滿足，則該趨近律存在且可達平衡點s=0，

2 新型變指數冪次趨近律的特性分析

2.1 穩態抖振分析

以傳統指數趨近律為例

在滑模面上的極限為

因此系統會在平衡點附近以幅值ε抖振。

而對于本文設計的趨近律(4)，在s→ 0+及s→ 0-時，均有=0，表明系統在臨近穩態時無抖振現象出現。

2.2 趨近速率分析

定理 2對于趨近律(4)，設s的初始狀態為s0，則狀態s和在有限時間T內收斂到零，T的上限為為[T1+T2]。其中

證明：當s＞0時，= -k1s-k2sλ。

假設初始狀態條件滿足s（0 ） =s0＞1，趨近過程可分為2個階段進行分析。

1）系統從初始狀態s0到達s=1，此時趨近律可寫成

為求解式(10)，考慮方程

可得：

令y=s1-s0，那么

求解上述一階線性微分方程，可得：

由s( 0)=s0，求出常數

結合式(15)(16)，可得趨近時間如下：

求得由s0到達s=1的時間為

由前所述，系統由s0到達s=1所需時間小于t1。

2）系統從初始狀態s0到達s=1

根據對應的趨近時間，同理計算可得：

綜合上述兩階段收斂情況，在s＞0時，系統由初始狀態s0到達s=0的時間應小于上述兩階段所需時間之和t1+t2。

結合考慮s＜0的情況，收斂時間可寫為

綜上，趨近律(4)的收斂時間小于[T1+T2]。

2.3 穩態誤差界分析

變指數冪次趨近律可以使系統在有限時間內到達平衡零點。當系統受到不確定擾動時，設計的趨近律能使系統在有限時間內收斂至平衡點的一個鄰域內。

考慮如下不確定非線性系統：

其中，x∈Rn為系統狀態，u∈R為控制輸入，f、g為已知光滑向量場，d為擾動。取滑模面s(x) = 0，目標是控制系統狀態在有限時間內達到滑模面并產生滑模動態，即s==0。

對s求導：

將式(24)代入式(23)中得：

定理 3考慮存在不確定性及外加干擾的系統(25)，若滿足為常數，則其狀態在有限時間內收斂至以下區域：

證明：選取Lyapunov函數并求導，

式(29)可寫成以下兩種形式：

系統狀態s在有限時間內收斂到式(27)范圍內[11]。由V0收斂到V1所需時間T1d≤T1max。

由V0收斂到V2所需時間其中，

綜上所述，s在有限時間內收斂到：

將式(36)代入式(25)得：

定理3得證。

注1由式(36)和(37)可得，穩態誤差界受擾動上界影響，增大k1和k2可減小穩態誤差界。

3 仿真算例及分析

3.1 收斂特性仿真

仿真1 考慮非線性單輸入單輸出系統

其中，u為控制輸入，d(t)為有界總擾動，s為滑模變量。分別使用本文設計的新型變指數冪次趨近律、雙冪次趨近律、快速冪次趨近律、文獻[9]提出的雙冪次組合函數趨近律和文獻[10]中的多冪次趨近律設計控制律u進行仿真，控制參數k1=2，α=0.5。

1）快速變冪次趨近律

2）快速冪次趨近律

3）雙冪次趨近律

4）雙冪次組合函數趨近律

5）多冪次趨近律

對于確定系統(38)，無擾動的情況下，設置滑模初值為s0= 0 .5，s0=5。滑模s及其一階導數絕對值的收斂曲線如圖2～3所示（縱軸采用對數坐標）。

圖2 s0 =0.5時s 與收斂曲線對比Fig.2 Comparison on convergence conditions of s and

表1 滑模變量s各趨近律下收斂時間對比Tab.1 Comparison of reaching speed

圖3 s0 =5時s與收斂曲線對比Fig.3 Comparison on convergence conditions of s and

表2 滑模變量s各趨近律下收斂時間對比Tab.2 Comparison of reaching speed 21k=

分析兩圖及結果可以看出，本文所提趨近律使滑模s及其一階導數絕對值有限時間內收斂于平衡零點、無抖振現象。其速度明顯快于其余幾種趨近律，并且其最大幅值較其他趨近律小，具有更優的特性。

仿真 2 考慮飛行器姿態控制問題，使用幾種趨近律進行仿真對比。基于四元數描述，飛行器姿態動力學方程用如下非線性方程表示[12]：

設計滑模面為s=ωe+kqv，其中：姿態角速度ω為飛行器相對慣性系的角速度；J∈R3×3為飛行器的轉動慣量矩陣；單位四元數為飛行器姿態控制力矩；ωe和qv分別為導彈角速度誤差和姿態跟蹤誤差。控制目標是使ωe→ 0 ,qi→0,i=1,2,3，因此可用ω表示ωe。

控制器設計為u（t） = -L（?）-ks s，其中L（?）=初始仿真條件為ω（0 ）=

反饋增益系數為ks=505.6，k=1.6，設飛行器轉動慣量矩陣J=diag(147,158,137) kg· m2

在d（t）=0時，分別使用上述趨近律進行仿真對比，其中仿真圖4和圖6～9為角速度與滑模變量曲線，仿真圖5為使用新型變指數冪次趨近律時角速度和角加速度的相位圖。各趨近律的參數根據初始輸入條件計算確定，保證了比較的一致性。

圖4 變指數冪次趨近律下的角速度和滑模變化Fig.4 Condition of ω and s under the variable power reaching law

圖5 變指數冪次趨近律下的角速度和角加速度Fig.5 Phase image of ωand ωunder the variable power reaching law

圖6 快速冪次趨近律下的角速度和滑模變化Fig.6 Condition of ω and s under the fast power reaching law

圖7 雙冪次趨近律下的角速度和滑模變化Fig.7 Condition of ω and s under the double power reaching law

圖8 雙冪次組合趨近律下的角速度和滑模變化Fig.8 Condition of ω and s under the double power combination function reaching law

圖9 多冪次趨近律下的角速度和滑模變化Fig.9 Condition of ω and s under the multi power reaching law

表3 各趨近律仿真結果對比Tab.3 Simulation parameters of every reaching law

由仿真圖4～9和表3結果可以看出，本文提出的新型變指數冪次趨近律收斂速度最快，系統收斂于平衡點且無抖振現象，可知其性能更優。

3.2 穩態誤差界仿真

對于不確定系統(38)，系統集總擾動統一寫作d（t），設置滑模初值s=5，使用式(39)～(43)所列的趨近律仿真得到穩態誤差界并進行對比。

擾動上界δ=5，d= 3 cost+ 2sin(2t)。

仿真結果如圖10和圖11所示。可見在受擾動的情況下，系統狀態在有限時間內收斂至穩態誤差界內，并維持在式(26)所描述的范圍內。

圖10 受擾動時滑模變量s與收斂曲線Fig.10 Convergence conditions of s and ds with interference

圖11 滑模變量s收斂曲線對比Fig.11 Comparison of convergence conditions under different reaching laws

滑模s及其一階導數的收斂情況如圖9所示。在受擾情況下，狀態s在有限時間內收斂到穩態誤差界內，收斂時間約為1.85 s，≤1.013，≤4.003。

由表4可知，本文所提的新型變指數冪次趨近律穩態誤差范圍小于其余4種趨近律。

表4 滑模變量s各趨近律下穩態誤差界對比Tab.4 Comparison on convergence conditions

由上述仿真可以看出，與式(40)～(43)的幾種趨近律相比，本文提出的新型變指數冪次趨近律對有界外擾具有更優的穩態品質。同時，當存在有界擾動時，滑模變量在有限時間內不再收斂到 0，而是收斂到平衡點附近鄰域。在實際應用中，可使用非線性干擾觀測器對擾動進行估計，以達到更好的控制效果。

4 結 論

本文提出了一種新型變指數冪次趨近律，證明了其存在性、可達性及穩定性，并給出了趨近速率和穩態誤差界。相比流行的幾種趨近律，其具有收斂速度快和穩態誤差小的特點，并在一定程度上消除了控制抖振。對于確定性系統，狀態在有限時間內收斂至平衡點。當系統存在外界擾動時，狀態在有限時間內收斂至平衡點的有界區域內。仿真結果驗證了所提方法的正確性。