考慮流固耦合的排水溝道力學(xué)計(jì)算方法

柴鵬翔

（寧夏大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

0 引言

流固耦合問(wèn)題在工程應(yīng)用中隨處可見，因此對(duì)于流固耦合問(wèn)題的研究具有很大的價(jià)值，諸如石油運(yùn)輸過(guò)程中，石油與管壁的流固耦合問(wèn)題；核能作為一種清潔又高效的能源倍受重視，反應(yīng)堆運(yùn)行以及核燃料的貯存都涉及到流固耦合的問(wèn)題[1]；對(duì)水利工程來(lái)說(shuō)，可以簡(jiǎn)單概括為“擋水”與“輸水”工程，處處都存在著流固耦合問(wèn)題，例如壩坡穩(wěn)定問(wèn)題[2]、滲流問(wèn)題[3]、水文問(wèn)題[4]等等。近年來(lái)，溝道生態(tài)問(wèn)題[5]愈發(fā)受到重視，本文主要針對(duì)排水溝道水流動(dòng)力響應(yīng)以及溝道邊坡滲流穩(wěn)定流固耦合問(wèn)題的計(jì)算方法進(jìn)行說(shuō)明，對(duì)比各種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)，為以后的研究進(jìn)行前期準(zhǔn)備工作。

1 流固耦合問(wèn)題研究進(jìn)展

1933年韋斯特加德[6]（H.M.Westergaard）等人著手研究了大壩的壩體與庫(kù)水之間相互作用等一系列與耦合問(wèn)題相近的接觸問(wèn)題[7]。20 世紀(jì) 30 年代，霍斯金斯（Hoskins）和雅各布森[8～10]（Jacobsen）等人對(duì)儲(chǔ)液罐的力學(xué)性能進(jìn)行了研究探討。20世紀(jì)50年代，豪斯納[11]（Housner）提出了基于剛性罐壁假設(shè)的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型。土力學(xué)方面，太沙基最早提出有效應(yīng)力原理并提出了一維固結(jié)理論，比奧提出了真三維固結(jié)理論。以上兩種理論是土力學(xué)流固耦合理論的基礎(chǔ)。近年來(lái)，國(guó)外學(xué)者對(duì)流固耦合問(wèn)題的研究更加深入更加多元化。

從20世紀(jì)70年代起，國(guó)內(nèi)專家學(xué)者也對(duì)流固耦合問(wèn)題進(jìn)行了大量研究探索。東南大學(xué)的張海濤等對(duì)基于對(duì)自由液面的預(yù)測(cè)對(duì)非線性液體晃動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬[1]。河海大學(xué)趙蘭浩[12]對(duì)壩體-庫(kù)水動(dòng)力相互作用進(jìn)行了研究。華北水利水電大學(xué)付杰[13]對(duì)水體-結(jié)構(gòu)-地基耦合作用進(jìn)行了研究分析。

2 流固耦合問(wèn)題計(jì)算方法

流固耦合問(wèn)題的存在，使得流體介質(zhì)與固體介質(zhì)的相互作用問(wèn)題變得復(fù)雜，涉及到諸多學(xué)科[14]，致使計(jì)算過(guò)程具有一定的難度。流固耦合問(wèn)題研究目前大多是按照平衡和協(xié)調(diào)原則分別建立流體域、固體域以及交互作用面的控制方程[15]，求解得到耦合物理量。一般而言，控制方程有以下兩點(diǎn)特征[16]:

（1）流體介質(zhì)區(qū)域和固體介質(zhì)區(qū)域均不能單獨(dú)求解，否則肯定不滿足耦合作用要求；

（2）不能隨意改變或消去描述流體介質(zhì)、固體介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立變量，變量之間相互依存、相互作用，是耦合作用的必需條件。

2.1 排水溝道水流動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算方法

由于排水溝道內(nèi)水流為非恒定流，水力學(xué)響應(yīng)多采用圣維南方程組進(jìn)行描述[17]。

（1）連續(xù)方程:

式中:B 為水面寬度，m；Z 為水位高度，m；t為時(shí)間，s；Q 為流量，m3/s；C為謝才系數(shù)；S為斷面的距離坐標(biāo)，m；q為區(qū)間入流量，m3/s；g 為重力加速度，m/s2；A 為過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，m2；v 為水流沿軸線方向的流速，m/s；R為水力半徑，m；i為渠道底坡；M為明渠單寬、定深、斷面沿程放寬率。

求解圣維南方程組的數(shù)值方法有普萊士曼(Preismann)隱式差分格式以及顯示差分格式[18]，其中隱式差分格式具有精度高、無(wú)條件收斂等優(yōu)點(diǎn)，顯示差分格式計(jì)算用時(shí)較隱格式短很多，根據(jù)自己的需要進(jìn)行合理的選擇。

進(jìn)行水力分析之后，往往需要進(jìn)行水流對(duì)溝道邊坡力學(xué)作用的分析，通常采用以下方法。

2.1.1 附加質(zhì)量計(jì)算法

附加質(zhì)量計(jì)算方法首先是由韋斯特加德（H.M.Westergaard）提出的。附加質(zhì)量公式常用來(lái)模擬水的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)。根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)水壓力及附加質(zhì)量法，計(jì)算固體變形時(shí)，排水溝道邊界一側(cè)單位面積水的附加質(zhì)量可以采用下式計(jì)算[19]:

式中:Mw（z）為距離水面處的附加質(zhì)量，kg；z為計(jì)算點(diǎn)到水面的距離，m；h 為結(jié)構(gòu)內(nèi)水的深度，m；ρ為水的密度，kg/m3；η 為折減系數(shù)。

利用這種方法進(jìn)行附加質(zhì)量的計(jì)算，忽略了水體的可壓縮性，只是近似的處理方式，但由于計(jì)算簡(jiǎn)便，應(yīng)用相當(dāng)廣泛。

2.1.2 豪斯納（Housner）彈簧質(zhì)量模型

豪斯納（Housner）彈簧質(zhì)量模型近似計(jì)算流體對(duì)固體產(chǎn)生的脈動(dòng)壓力和對(duì)流壓力。可用固定于溝道邊界的質(zhì)量塊來(lái)等效替代流體產(chǎn)生的脈動(dòng)壓力，使流固耦合問(wèn)題的計(jì)算得到了簡(jiǎn)化[19]。

豪斯納模型的優(yōu)點(diǎn)是模型構(gòu)造相對(duì)簡(jiǎn)單，避開了求解復(fù)雜方程的難點(diǎn)。此模型中流體是以集中質(zhì)量的形式作用于邊界條件上，所以運(yùn)用此模型計(jì)算所得的邊界條件內(nèi)力和應(yīng)力分布只是近似分布。

2.1.3 邊界元法

邊界元法是從邊界條件出發(fā)，僅僅把流體的自由表面及交互作用邊界作為研究對(duì)象，將水體所滿足的二維拉普拉斯方程進(jìn)行離散，轉(zhuǎn)化為邊界積分方程，采用時(shí)間增量法求解積分方程[19]。

運(yùn)用邊界元法解決流固耦合問(wèn)題，可以得到液體晃動(dòng)的波高和速度勢(shì)的分布情況。此方法僅僅反映了流體對(duì)固體的影響，并未反映固體變形對(duì)流體的影響。

2.1.4 ALE有限元法

ALE（Arbitrary Lagrange-Euler）最初用于數(shù)值模擬流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，后來(lái)引入到流固耦合問(wèn)題研究中[20]。1974年，赫特（Hirt）等人提出了任意的Lagrange-Euler方法，簡(jiǎn)稱ALE法。將拉格朗日（Lagrange）坐標(biāo)和歐拉（Euler）坐標(biāo)結(jié)合起來(lái)，可以在交界面處采用純拉格朗日表達(dá)，同時(shí)可以保證在大變形時(shí)，網(wǎng)格不至于過(guò)大的扭曲。

ALE有限元法已被廣泛應(yīng)用于解決流固耦合問(wèn)題，ALE有限元算法對(duì)網(wǎng)格的運(yùn)動(dòng)計(jì)算方法有較高的要求，計(jì)算較為復(fù)雜。王躍先[21]、岳寶增[22]、蔣莉[23]等人對(duì)此方法都進(jìn)行了研究探討。

2.2 排水溝道邊坡穩(wěn)定問(wèn)題

邊坡穩(wěn)定問(wèn)題的研究已有悠久的歷史，但是對(duì)于排水溝道小型邊坡的穩(wěn)定分析研究相對(duì)來(lái)說(shuō)較少。采用數(shù)值分析方法對(duì)邊坡進(jìn)行穩(wěn)定分析已經(jīng)成為近來(lái)研究的熱點(diǎn)，耦合理論也廣泛應(yīng)用于邊坡穩(wěn)定分析，對(duì)耦合分析方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的描述。

2.2.1 條分法與有限元耦合（LE-FEM）分析法

條分法引入假定條件較多，不能反映邊坡實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)。有限元分析法克服條分法的不足，在分析過(guò)程中避免了太多的假定條件。將條分法與有限元法進(jìn)行耦合，采用有限元分析獲得邊坡整體的真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)，然后利用極限平衡理論求解安全系數(shù)。

邊坡穩(wěn)定性的條分法與有限元法耦合分析的基本原理及分析步驟是[24]:

（1）利用有限元分析法，獲得邊坡的整體應(yīng)力場(chǎng)；

（2）將邊坡滑移體進(jìn)行條分，獲得條塊計(jì)算參數(shù)；

（3）計(jì)算所分條塊底面中心處的各項(xiàng)應(yīng)力；

（4）計(jì)算整體穩(wěn)定安全系數(shù)。

2.2.2 滲流場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)耦合分析法

滲流場(chǎng)改變，應(yīng)力場(chǎng)隨之變化，致使邊坡土體產(chǎn)生壓縮變形，土體孔隙率改變，滲透系數(shù)發(fā)生變化，最終導(dǎo)致整個(gè)滲流場(chǎng)的變化。滲流場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)這種耦合關(guān)系對(duì)邊坡穩(wěn)定性具有非常大的影響。

學(xué)者對(duì)邊坡滲流穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，沈珠江[25]進(jìn)行了比奧固結(jié)方程的有限元法求解；毛昶熙[26]等以滲透力的形式考慮滲流對(duì)邊坡穩(wěn)定的影響，提出了考慮滲流作用的邊坡穩(wěn)定極限平衡計(jì)算方法；李培超[27]等對(duì)飽和多孔介質(zhì)滲流應(yīng)力和孔隙壓力耦合作用的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述；師文豪[28]等基于等效連續(xù)介質(zhì)模型和Louis經(jīng)驗(yàn)公式，建立了層狀邊坡各向異性巖體滲流-應(yīng)力耦合模型，應(yīng)用COMSOL多物理場(chǎng)耦合軟件對(duì)模型進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。

滲流場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)耦合分析法通過(guò)基于不同的理論方法與數(shù)學(xué)模型，建立滲流場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)平衡的控制方程，根據(jù)不同的實(shí)際需求，采用相應(yīng)的求解方法進(jìn)行計(jì)算。求出滲流曲線，使用不同的方法對(duì)邊坡的滲流穩(wěn)定進(jìn)行分析，大多使用強(qiáng)度折減法。

2.3 溝道邊坡在水流沖刷和邊坡滲流雙重作用下的穩(wěn)定分析

排水溝道邊坡穩(wěn)定是依靠邊坡抗沖刷力與水流沖刷力相互作用的結(jié)果[29]。水流沖刷力與溝道邊坡在滲透力作用下的抗沖能力相互消長(zhǎng)。河流沖刷天然土質(zhì)溝道邊坡，使邊坡變陡、坡高增加，結(jié)果造成邊坡坍塌。對(duì)于襯砌邊坡，水流沖刷坡腳，坡腳的幾何形狀發(fā)生變化，又反過(guò)來(lái)影響河勢(shì)，河勢(shì)的變化再作用于邊坡，堤腳受到進(jìn)一步影響，使邊坡穩(wěn)定性降低，減少排水溝道使用期限。

目前研究水流沖刷與滲流相互作用影響溝道邊坡穩(wěn)定的熱點(diǎn)問(wèn)題主要有:（1）溝道邊坡所受沖刷力的分布和抗沖刷力計(jì)算模式的研究；（2）溝道邊坡土體橫向沖刷量的計(jì)算方法研究；（3）在已知沖刷量的基礎(chǔ)上，采用極限平衡方法判斷溝道邊坡的穩(wěn)定性，提出了諸多計(jì)算模型，改進(jìn)后的模型見圖1，考慮了靜水壓力和孔隙水壓力的作用等。張芳枝[30]在流固耦合分析基礎(chǔ)上，建立了多項(xiàng)耦合力系下的堤岸與河床整體分析模型，分析河流沖刷作用對(duì)堤岸滲流的影響，并結(jié)合極限平衡法，探討河流沖刷對(duì)堤岸整體穩(wěn)定性的影響。對(duì)于排水溝道邊坡在水流沖刷和邊坡滲流雙重作用下的穩(wěn)定分析，也可以借鑒類似的分析計(jì)算方法，建立整體三維模型，采用有限元模擬方法對(duì)溝道邊坡穩(wěn)定進(jìn)行計(jì)算分析。

圖1 改進(jìn)后穩(wěn)定分析示意圖

3 結(jié)論

本文對(duì)考慮流固耦合的排水溝道力學(xué)問(wèn)題的研究進(jìn)展以及計(jì)算方法作了概要的梳理，計(jì)算方法各有特點(diǎn)。

溝道內(nèi)部水流力學(xué)特性計(jì)算方法:

（1）附加質(zhì)量法，計(jì)算簡(jiǎn)單方便，計(jì)算量較小，但是忽略了流體晃動(dòng)對(duì)控制邊界的不利影響；

（2）Housner彈簧模型，模型概念簡(jiǎn)單，但是分布力簡(jiǎn)化為集中力，計(jì)算結(jié)果較粗糙；

（3）邊界元法，考慮了液體晃動(dòng)的影響，但是只能算是單向耦合，忽略了結(jié)構(gòu)對(duì)流體的作用；

（4）ALE有限元法，適用于求解流體問(wèn)題，但是計(jì)算比較復(fù)雜。

排水溝道邊坡穩(wěn)定分析計(jì)算方法:

（1）條分法與有限元耦合（LE-FEM）分析法，將傳統(tǒng)的極限平衡條分法跟有限元計(jì)算聯(lián)系起來(lái)，結(jié)果更加精確，但是沒(méi)有考慮滲流對(duì)邊坡穩(wěn)定的影響；

（2）滲流場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)耦合分析法，充分考慮了滲流與應(yīng)力之間的耦合關(guān)系，進(jìn)一步求解安全穩(wěn)定系數(shù)，計(jì)算結(jié)果較為理想。

溝道邊坡在水流沖刷和邊坡滲流雙重作用下穩(wěn)定計(jì)算多采用簡(jiǎn)化模型計(jì)算，改進(jìn)后的模型相對(duì)精確，但是并沒(méi)有充分考慮滲流對(duì)邊坡穩(wěn)定的作用。在計(jì)算過(guò)程中均采用二維模型，但是實(shí)際問(wèn)題多為三維狀況，與實(shí)際不相符。

考慮流固耦合的排水溝道力學(xué)問(wèn)題研究有重大的實(shí)際意義，但是目前研究相對(duì)較少，特別是考慮溝道內(nèi)部水流沖刷與外側(cè)土體滲流雙重作用的邊坡穩(wěn)定問(wèn)題。隨著流固耦合問(wèn)題研究的不斷深入，對(duì)于排水溝道力學(xué)問(wèn)題的研究必將更加全面。