例析天津高考壓軸題與競賽題淵源

李 鑫

(浙江省桐鄉第一中學,浙江 嘉興 314500)

高考壓軸題歷來承擔著選拔優秀學生的作用,一般物理的壓軸題都會在物理建模、物理情景復雜程度以及數理邏輯鏈上增加難度．[1]由于競賽問題天然具有這樣的性質,所以把競賽問題進行降階處理,是高考壓軸題的一個重要題源．[2]在各種級別的考試中,試題有明顯的“自上而下”的流動形態,[3]即在高級別測試的復雜問題經過簡化“下放”到低一級考試當中．實際上,歷年物理競賽決賽題或復賽題,就有科研一線實際問題的簡化降階,在美國AP和SAT測試中,[4]這樣的現象亦屢見不鮮．

2004年以來,天津物理試題開始自主命題．天津卷一直堅持自己理念,辨識度高,尤其在最后一題選擇上頗多亮點．歷年天津卷壓軸題,有高級物理技巧的要求、有現實模型的建立、也有深刻物理原理的追問．這些試題不少來源于各級別競賽試題,本文遴選4道真題并追本溯源,找到各自題源做對比,首先進行分類,然后講述試題演化歷程,評析試題物理內涵和選拔功效,最后提出競賽和高考的一些聯系,以及師生應對的策略．

1 2015年天津高考壓軸題與“正則動量”

1.1 原題展現

現代科學儀器常利用電場、磁場控制帶電粒子的運動,如圖1,真空中存在著如圖1所示的多層緊密相鄰的勻強電場和勻強磁場,電場與磁場的寬度均為d,電場強度為E,方向水平向右;磁感應強度為B,方向垂直紙面向里．電場、磁場的邊界互相平行且與電場方向垂直．一個質量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層電場左側邊界某處由靜止釋放,粒子始終在電場、磁場中運動,不計粒子重力及運動時的電磁輻射．

(1) 求粒子在第2層磁場中運動時速度v2的大小與軌跡半徑r2;

(2) 粒子從第n層磁場右側邊界穿出時,速度的方向與水平方向的夾角為θn,試求sinθn;

(3) 若粒子恰好不能從第n層磁場右側邊界穿出,試問在其他條件不變的情況下,也進入第n層磁場,但比荷較該粒子大的粒子能否穿出該層磁場右側邊界,請簡要推理說明之．

圖1

1.2 高考角度

天津歷年壓軸題設問方式非常統一,一般都是3個小問,3個設問很注重梯度性,第一問是送分問題,照顧絕大數學生,第二問是此題精華,最具區分度,第三問是基于第二問的定性討論,很考驗物理思維．下面的例子也會充分體現這個規律．

在高考物理試題中,一般數學處理技巧難度不大,試題更加側重于學生對物理情景的認知和物理過程的建立．本題第二問首先需要學生對于粒子在多層電磁場中的運動軌跡有清晰的把握,然后能根據物理關系和幾何關系建立遞歸關系,難點集中在遞歸關系建立上,即便對于高中的數列壓軸題中,遞歸數列的問題也是一個難點．所以本問不僅物理情景復雜,數學關系的構建更難．

圖2

解析：如圖2所示，粒子進入第n層磁場時,速度的方向與水平方向的夾角為αn,從第n層磁場右側邊界穿出時速度方向與水平方向的夾角為θn,粒子在電場中運動時,垂直于電場線方向的速度分量不變.

設粒子在第n層磁場中運動的速度為vn,軌跡半徑為rn(下標表示粒子所在層數),有

(1)

(2)

vn-1sinθn-1=vnsinαn.

(3)

由圖2根據幾何關系可以得到

rnsinθn-rnsinαn=d.

(4)

聯立可得

rnsinθn-rn-1sinαn-1=d.

(5)

由此可看出r1sinθ1,r2sinθ2,…,rnsinθn為一等差數列,公差為d,可得

rnsinθn=r1sinθ1+(n-1)d.

(6)

當n=1時:

r1sinθ1=d.

(7)

聯立可解得

(8)

1.3 競賽角度

帶電粒子僅受洛倫茲力情況下,水平方向速度對應的洛倫茲力在豎直方向上,利用動量定理,有

qvxBdt=d(mvy)，

積分得

qBx=mvy.

(9)

所以粒子在磁場中在豎直方向獲得的速度是由粒子在磁場中水平方向位移所決定的．

經歷n個區域電場加速

(10)

qvxBdt=d(mvy).

(11)

經歷n個磁場區域偏轉,得

qBnd=mvy.

(12)

即

(13)

1.4 對比分析

第1種解法需要學生有耐心分析物理過程的能力,還要有出色的數學處理能力,至少是要具備構建并求解等比數列和分析幾何圖形的能力,如果學生都按照這些要求得出正確答案,選拔出來的學生無疑是極為出色的．第2種解法體現出很大優越性．對于競賽生來說,[5]這道題就是一個結論題,掌握熟練的學生甚至可以在考場上秒殺這道題.

2 兩種模型,不同降階

2016年和2013年天津壓軸題背景都是經典模型,這兩個模型都源自競賽問題,天津卷對此做了截然不同的降階處理方式．

2.1 “磁阻尼”問題題源對比

圖3

原題.(2016年天津高考題)電磁緩速器是應用于車輛上以提高運行安全性的輔助制動裝置,其工作原理是利用電磁阻尼作用減緩車輛的速度．電磁阻尼作用可以借助如下模型討論:如圖3所示,將形狀相同的兩根平行且足夠長的鋁條固定在光滑斜面上,斜面與水平方向夾角為θ．一質量為m的條形磁鐵滑入兩鋁條間,恰好勻速穿過,穿過時磁鐵兩端面與兩鋁條的間距始終保持恒定,其引起電磁感應的效果與磁鐵不動、鋁條相對磁鐵運動相同．磁鐵端面是邊長為d的正方形,由于磁鐵距離鋁條很近,磁鐵端面正對兩鋁條區域的磁場均可視為勻強磁場,磁感應強度為B,鋁條的高度大于d,電阻率為ρ．為研究問題方便,鋁條中只考慮與磁鐵正對部分的電阻和磁場,其他部分電阻和磁場可忽略不計,假設磁鐵進入鋁條間以后,減少的機械能完全轉化為鋁條的內能,重力加速度為g．

(1) 求鋁條中與磁鐵正對部分的電流I;

(2) 若兩鋁條的寬度均為b,推導磁鐵勻速穿過鋁條間時速度v的表達式;

(3) 在其他條件不變的情況下,僅將兩鋁條更換為寬度b′>b的鋁條,磁鐵仍以速度v進入鋁條間,試簡要分析說明磁鐵在鋁條間運動時的加速度和速度如何變化．

(第6屆亞賽題)[6]當一磁鐵在靠近非磁性導體如銅和鋁旁邊運動時,磁鐵將會受到耗散力的作用,運動將減緩甚至停止,這一效應稱為磁剎車效應.在物理演示實驗室中,常常表演這一效應．實驗表明,磁剎車力依賴于磁鐵的磁矩、非磁性導體的電導、磁鐵和導體的尺寸和形狀、磁鐵到導體表面的距離和磁鐵相對導體的運動速度．磁剎車力滿足如下經驗關系

FMB=-k0dpvn，

式中k0是一常數,與磁矩、導體的電導和導體及磁體的幾何形狀有關,d為磁鐵中心到導體表面的距離,v為磁鐵的運動速度．實驗儀器:圓環形的釹鐵硼磁鐵,厚度tM=(6.3 ±0.1) mm,外環直徑dM=(25.4 ±0. 1) mm, 質量m=(21.5 ±0.5) g．磁極在兩側面上．另有2根鋁條,塑料支架,數字秒表, 直尺,傾斜放置的有機玻璃板,板上有一直線的軌道供磁鐵在其上運動．

實驗方法和問題:

(1) 讓磁鐵沿斜面上的軌道向下滾動,注意斜面的傾斜角要選擇適當,不要讓磁鐵滾動太快,當磁鐵的磁場很強時,由于地磁場作用,磁鐵會受到顯著的力矩作用,使得磁鐵滾動時發生扭轉而與軌道發生摩擦,如何擺放實驗裝置才能使得這一力矩最小?并作圖表示．

(2) 如圖4所示,將2條鋁條放置在斜面軌道兩邊,圖中d=5 mm．再次讓磁鐵在軌道上運動,磁鐵的滾動因為磁剎車效應而比沒有鋁條時緩慢得多．畫出磁感應線分布圖以及鋁條和磁鐵的受力圖,解釋磁剎車機理．

圖4

(3) 研究磁剎車力與冪指數p和n的關系．實驗裝置如圖4所示,磁鐵與導體間d=5 mm(磁鐵與兩側導體表面間距約為2 mm)．

① 保持間距d不變,研究磁剎車力與速度的關系．確定式(1)中速度冪指數n的大小．

② 對稱地移動磁鐵兩側的鋁條以改變導體到磁鐵的間距d,研究磁剎車力與磁鐵與導體間 距d的依賴關系．確定方程(1)中間距d的冪指數．

毫無疑問,兩道題同出一源．

無論是亞賽題還是天津題,這個物理模型其實不難定性理解,磁鐵在下滑過程中,在正對鋁條上會產生渦流,于是會對磁鐵有阻礙,但是如何從定性分析轉換到定量求解,兩道題都做了不同程度的精彩演繹,亞賽題是把它設計成一道實驗題,用到的模型自然就是渦流的模型．

(14)

回路中的電阻為R,則消耗的電功率

(15)

則磁鐵所受的阻力為

(16)

即只要磁鐵和鋁棒之間的距離保持不變,那么磁剎車力的大小與磁鐵速度成正比．[7]

有了以上對學生理論分析能力的要求,本題自然就可以設計出第3問,探究磁剎力和速度以及其他影響因素的關系,本題是一道實驗題,完美地把理論分析和實驗探究融合起來,非常漂亮．

高考題處理模型方式完全不同,立足點是遴選出高考要求下優秀的學生,試題不能大幅度超綱,所以定量分析渦流模型是不行的,于是做了非常巧妙的設定.(1) 只有正對磁鐵部分的鋁塊有磁場,(2) 只有正對磁場部分的鋁塊有電阻,這兩個設定很精彩的對原模型做了降階處理,把渦流模型變成了動磁場下的切割模型,鋁塊相對于磁鐵向上運動,正對部分鋁塊相當于是電源,既有電動勢也有內阻,而且內阻就是全部電阻．經過這樣的設定,就可以轉換成高考生可以解決的問題,勻強磁場中導體棒相對運動問題是一個經典話題,可以起到充分選拔作用.

高考題第(2)問求解.

磁鐵穿過鋁條時,在鋁條中產生的感應電動勢有

E=Bdv.

(17)

鋁條與磁鐵正對部分的電阻為R,由電阻定律有

(18)

由歐姆定律有

(19)

聯立上式可得

(20)

2.2 “超導”問題題源對比

2.2.1 題源介紹

天津高考和競賽淵源另一個經典例子是2013年壓軸題,此題關注的是超導模型,超導體自誕生以來一直都是熱門話題,此題的題源有兩個:分別出自第25屆復賽和第16屆復賽．[8]限于篇幅,這里對比第25屆和天津2013年壓軸題．

2.2.2 原題展現

(第25屆復賽題)零電阻是超導體的一個基本特征,但在確認這一事實時受到實驗測量精確度的限制．為克服這一困難,最著名的實驗是長時間監測浸泡在液態氦(溫度T=4.2 K)中處于超導態的用鉛絲做成的單匝線圈(超導轉換溫度TC=7.19 K)中電流的變化．設鉛絲粗細均勻,初始時通有I=100 A的電流,電流檢測儀器的精度為ΔI=1.0 mA,在持續一年的時間內電流檢測儀器沒有測量到電流的變化．根據這個實驗,試估算對超導態鉛的電阻率為0的結論認定的上限為多大．設鉛中參與導電的電子數密度n=8.00×1020m3,已知電子質量m=9.11×10-31kg,基本電荷e=1.60×10-19C．(采用的估算方法必須利用本題所給出的有關數據)

(2013年天津高考題)超導現象是20世紀人類重大發現之一,日前我國己研制出世界傳輸電流最大的高溫超導電纜并成功示范運行．

(1) 超導體在溫度特別低時電阻可以降到幾乎為0,這種性質可以通過實驗研究．將一個閉合超導金屬圈環水平放置在勻強磁場中,磁感線垂直于圈環平面向上,逐漸降低溫度使環發生由正常態到超導態的轉變后突然撤去磁場,若此后環中的電流不隨時間變化,則表明其電阻為0．請指出自上往下看環中電流方向,并說明理由．

(2) 為探究該圓環在超導狀態的電阻率上限ρ,研究人員測得撤去磁場后環中電流為I,并經一年以上的時間t未檢測出電流變化．實際上儀器只能檢測出大于ΔI的電流變化,其中ΔI?I,當電流的變化小于ΔI時,儀器檢測不出電流的變化,研究人員便認為電流沒有變化．設環的橫截面積為S,環中定向移動電子的平均速率為v,電子質量為m、電荷量為e．試用上述給出的各物理量,推導出ρ的表達式．

(3) 若仍使用上述測量儀器,實驗持續時間依舊為t,為使實驗獲得的該圓環在超導狀態的電阻率上限ρ的準確程度更高,請提出你的建議,并簡要說明實現方法．

2.2.3 對比分析

和上一題不同,這道“超導”的問題高考題完全脫胎于第25屆的復賽題,并沒有做“模型”認知上的降階．只做了兩點變化,其一是設了3個小問,讓學生有分可拿,其二是把原題的具體數值舍去,降低了數值計算的要求,當然,拋卻了具體數值也降低了題目設計上的難度,避免了科學性錯誤．對于學生,建模難度也會下降,因為不會受到數值的干擾,全部注意力都在物理量上,高考題比復賽題設問指向性更明顯,復賽題的建模含義有些模糊,需要學生判斷清楚．

細致分析高考題設問,試題沒有體現出分層設問的特點,第1問是送分問題,并沒有為第2問做鋪墊,第2問是此題核心一問.這種設問方式和過去高考壓軸題只有一問的方式沒有本質區別,因為題目設計者并沒有充分搭設橋梁,為學生建模開拓思維．筆者以為此題做為高考題實在太難了,這可是物理競賽的復賽試題,對于學生物理素養提出極高要求,而且中間還涉及到電流微觀表達式和小量計算,需要學生對高中物理知識的本源有非常透徹的了解．下面是高考題第(2)問求解過程.

設圓環周長為l、電阻為R,由電阻定律得

(21)

設t時間內環中電流釋放焦耳熱而損失的能量為ΔE,由焦耳定律得

ΔE=I2Rt.

(22)

設環中單位體積內定向移動電子數為n,則

I=nevS，

(23)

式中n、e、S不變,只有定向移動電子的平均速率的變化才會引起環中電流的變化,電流變化大小取ΔI時,相應定向移動電子的平均速率的變化得大小為Δv,則

ΔI=neSΔv.

(24)

設環中定向移動電子減少的動能總和為ΔEk,則

(25)

由于ΔI?I,可得

(26)

根據能量守恒定律

ΔE=ΔEk.

(27)

聯立上述各式,得

(28)

t=365×24×3600 s=3.15×107s.

ρ=1.4×10-26Ω·m.

所以電阻率為0的結論在這一實驗中只能認定到ρ≤1.4×10-26Ω·m.

2.3 小結

對比2013年和2016年天津高考壓軸題,共同之處都是來源于競賽的物理模型,但是2013年的壓軸題沒有經過什么“降階”處理,幾乎是照搬競賽原題,或許是前車之鑒,2016年天津壓軸題的設計要精彩得多,把看似高考考生沒辦法解決的問題通過兩點假設約定變成了可以解決的問題,是一個經典的從競賽到高考的好問題．

3 “磁懸浮”列車問題的“前世今生”

天津高考壓軸題和競賽最經典例子還要數2008年的高考壓軸題,此題也可以說是天津高考壓軸和競賽的淵藪,[9]試題的背景是當時很熱的磁懸浮列車,題源是第23屆全國中學生物理競賽復賽的第5題,第23屆考試時間是2006年,2007年上海的最后一題就是承接此題,2008年天津壓軸題可以視作一脈相承,下面就來比較這3道題．

3.1 試題對比

(第23屆復賽題)磁懸浮列車是一種高速運載工具．它具有兩個重要系統．一是懸浮系統,利用磁力(可由超導電磁鐵提供)使車體在導軌上懸浮起來與軌道脫離接觸．另一是驅動系統,在沿軌道上安裝的三相繞組(線圈)中,通上三相交變電流,產生隨時間、空間作周期性變化的磁場,磁場與固連在車體下端的感應金屬板相互作用,使車體獲得牽引力．

為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來由,我們求解下面的問題．

設有一與軌道平面垂直的磁場,磁感應強度B隨時間t和空間位置x變化規律為B(x,t)=B0cos(ωt-kx)式中B0、ω、k均為已知常量,坐標軸x與軌道平行．在任一時刻t,軌道平面上磁場沿x方向的分布是不均勻的,如圖5所示．圖中Oxy平面代表軌道平面,“×”表示磁場的方向垂直Oxy平面指向紙里,“·”表示磁場的方向垂直Oxy平面指向紙外．規定指向紙外時B取正值．“×”和“·”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布．一與軌道平面平行的具有一定質量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場中,已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長度為l,與軌道平行的金屬框邊MQ的長度為d,金屬框的電阻為R,不計金屬框的電感．

(1) 試求在時刻t,當金屬框的MN邊位于x處時磁場作用于金屬框的安培力,設此時刻金屬框沿x軸正方向移動的速度為v．

(2) 試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關系．

圖5

(2007年上海高考題)如圖6(a)所示,光滑的平行長直金屬導軌置于水平面內,間距為L、導軌左端接有阻值為R的電阻,質量為m的導體棒垂直跨接在導軌上．導軌和導體棒的電阻均不計,且接觸良好.在導軌平面上有一矩形區域內存在著豎直向下的勻強磁場,磁感應強度大小為B．開始時,導體棒靜止于磁場區域的右端,當磁場以速度v1勻速向右移動時,導體棒隨之開始運動,同時受到水平向左、大小為f的恒定阻力,并很快達到恒定速度,此時導體棒仍處于磁場區域內．

圖6

(1) 求導體棒所達到的恒定速度v2;

(2) 為使導體棒能隨磁場運動,阻力最大不能超過多少?

(3) 導體棒以恒定速度運動時,單位時間內克服阻力所做的功和電路中消耗的電功率各為多大?

(4) 若t=0時磁場由靜止開始水平向右做勻加速直線運動,經過較短時間后,導體棒也做勻加速直線運動,其v-t關系如圖6(b),已知在時刻t導體棒瞬時速度大小為vt,求導體棒做勻加速直線運動時的加速度大小．

(2008年天津高考題)磁懸浮列車是一種高速低耗的新型交通工具,它的驅動系統簡化為如下模型,固定在列車下端的動力繞組可視為一個矩形純電阻金屬框,電阻為R,金屬框置于xOy平面內,長邊MN為l平行于y軸,寬為d的NP邊平行于x軸,如圖7(a)所示．列車軌道沿Ox方向,軌道區域內存在垂直于金屬框平面的磁場,磁感應強度B沿Ox方向按正弦規律分布,其空間周期為λ,最大值為B0,如圖7所示,金屬框同一長邊上各處的磁感應強度相同,整個磁場以速度v0沿Ox方向勻速平移．設在短暫時間內,MN、PQ邊所在位置的磁感應強度隨時間的變化可以忽略,并忽略一切阻力．列車在驅動系統作用下沿Ox方向加速行駛,某時刻速度為v(v

(1) 簡要敘述列車運行中獲得驅動力的原理;

(2) 為使列車獲得最大驅動力,寫出MN、PQ邊應處于磁場中的什么位置及λ與d之間應滿足的關系式;

(3) 計算在滿足第(2)問的條件下列車速度為v時驅動力的大小．

圖7

3.2 分析

顯然上面3道題是一脈相承的,3道題目最本源的區別在于對磁懸浮列車驅動電機建模,深圳大學編擬的競賽題采用的是真實物理情景,而天津高考題和上海高考題都做了不同程度的簡化．上海高考題簡化程度更大些,而天津高考題的磁場隨空間還是交變的,難度相應也較大．

評斷一道試題的編擬好壞可以看一看跟隨者的腳步,在往后的各地市模擬題中,關于磁場和導體棒相對運動的問題基本上都假定磁場是勻強磁場,從這個角度來說,上海試題的處理更近地氣一些．但是筆者認為上海的模型過于簡約了．天津卷第2問為了降低難度,提醒學生關注金屬框和磁場的相對運動問題,第3問則對學生理解感生電動勢提出了更本質的追問,需要分析清楚磁通量變化量,本題對于物理知識遷移和實際情景把握更加真實有力．

當然此題更大價值在于引發電磁感應試題一場“小革命”,此后,磁場和導體相對運動模型、關于磁懸浮列車諸種問題如雨后春筍般出現,而且各設問角度,如相對速度、安培力電功率等都來源于這3道題,[10]可以算是一大類問題的淵藪．限于篇幅,關于這3道題目詳細解析可以參見《中學物理原創題集》中關于這三道題目的文章．[11]

4 總結

天津高考壓軸題設問方式有如下特征:

(1) 問面向全體學生的基礎問題,比較容易拿分； (2) 問全題核心一問,難度大,對學生建立物理模型或者數理過程分析能力提出高要求；(3) 問基于第二問發散的問題,通常是定性半定量問題.

通過前文對比分析,天津壓軸題來源于競賽的問題通常是3類,即來源于數理技巧問題、實際物理模型、物理本質追問,關于物理模型處理方式又可以進一步分類:

(1) 數理技巧應用(2013、2015年壓軸題)二階小量計算、正則動量應用； (2) 實際物理模型(2008年壓軸題)磁懸浮列車模型； (3) 實驗室模型(2016年壓軸題)磁阻尼模型降階成相對運動切割模型； (4) 物理本質問題(2013年壓軸題) 超導模型、把握能量守恒本質.

從競賽到高考是一個歷久彌新的話題,教師經常在高考壓軸題復習時,對如何挑選試題源挑選的困惑.本文指出從競賽題里尋覓靈感是一個不錯的選擇,[12]不妨從物理模型、物理本質和數理技巧3個層面進行分類,注重試題演化過程,尤其是競賽題、高考題和模擬題之間的關聯,這樣系統的梳理有助于學生把握試題的動向和提升建模分析物理情景的能力．