毒品濫用流行病模型的穩定性分析

劉風

摘 要：現有毒品濫用流行病模型假設吸毒者康復后對毒品擁有永久“免疫”力，而忽視了其再次成為毒品易感者的可能性。針對這一問題，通過考慮社區治療和隔離治療兩種措施，分析了毒品濫用人群的演化過程，提出了基于暫時“免疫”力的毒品濫用流行病模型，并計算了模型的基本再生數，討論了模型平衡點的存在性和穩定性。當基本再生數小于1時，模型存在一個局部漸進穩定的無毒平衡點;當基本再生數大于1時，模型存在唯一的地方病平衡點，并利用幾何方法證明了地方病平衡點的全局穩定性;當基本再生數等于1時，如果滿足一定條件，模型出現后向分支現象。數值模擬驗證了上述所有結果。研究結果表明提高隔離治療率、改善社區治療效果和降低接觸傳染率可以有效抑制毒品濫用的流行。

關鍵詞：毒品濫用;數學流行病學;無病平衡點;地方病平衡點;全局穩定性

中圖分類號：TP391.9

文獻標志碼：A

Abstract： The recovered drug users maybe become susceptible to drug again， but this possibility is neglected in the existing drug abuse epidemic model in which the drug users are assumed to be permanently immune to drugs after recovery. Aiming at the problem， the evolution process of drug abuse population was analyzed with considering both community treatment and isolation therapy， and a drug abuse epidemic model based on temporary immunity was proposed. Furthermore， the basic reproduction number of the proposed model was calculated and the existence and stability of the proposed model equilibrium were discussed. It is shown that the proposed model has a drug free equilibrium which is locally asymptotically stable and a unique endemic equilibrium when the basic reproduction number is less and more than unity respectively. And the global stability of the endemic equilibrium was proved by using a geometric approach. Otherwise， the proposed model has the phenomenon of backward bifurcation under certain conditions when the basic reproduction number is equal to unity. The above results were verified by the numerical simulations. The results indicate that the prevalence of drug abuse can be effectively inhibited by increasing the rate of isolation therapy， improving the effect of community treatment and reducing the infection rate.

英文關鍵詞Key words： drug abuse; mathematical epidemiology; Drug Free Equilibrium （DFE）; endemic equilibrium; global stability

0 引言

毒品濫用又稱為物質濫用，是指蓄意過度使用鴉片類、大麻類等精神活性物質以達到使人興奮的效果，從而導致產生依賴性癥狀的現象。近年來，新型合成毒品的出現更是加劇了毒品濫用的蔓延。2008 — 2017年《中國禁毒報告》數據顯示，我國登記在冊的吸毒人員由112.67萬人上升到255.3萬人，增長了1.27倍，年均增長率為9.5%?？梢?，十年間我國毒品濫用問題整體呈現出不斷上升的趨勢。毒品濫用不僅嚴重損害吸毒者個人的身心健康，同時還會加快艾滋病等疾病的傳播速度，導致各類刑事案件的大量發生，社會危害性極大。因此，研究毒品濫用的流行傳播機制，為有效控制毒品濫用問題提供理論指導具有重要的現實意義。

采用數學方法建立流行病學模型，是研究和揭示疾病傳播規律、預測其發展趨勢以及制定有效防控措施的重要理論基礎。通過將發病地區總體人群劃分為易感（Susceptible）人群、感染（Infected）人群和移出（Removed）人群，并采用常微分方程系統刻畫各群體間的狀態轉移變化關系，Kermac和McKendrick建立了經典的SIR（SusceptibleInfectedRemoved）流行病倉室模型。SIR模型假設患者康復后可獲得永久免疫力，不會再進入易感人群， 但是某些傳染病，例如瘧疾，患者在治愈后可能再次被感染， 因此，在SIR模型的基礎上，又出現了SIS（SusceptibleInfectedSusceptible）、SIRS（SusceptibleInfectedRemovedSusceptible）等模型[1-2]。隔離（Quarantine）治療是有效防止傳染病流行的一種常規措施。文獻[3]采用標準發生率建立了帶有隔離治療措施的SIQR（SusceptibleInfectedQuarantineRemoved）模型，得到了疾病消失和一致持續的充分條件。Li等[4]構建了雙線性發生率的SIQRS（SusceptibleInfectedQuarantineRemovedSusceptible）模型，并得出了提高隔離治療比例將降低感染人群數量的結論。Huang等[5]建立了帶有疫苗接種措施的SIQRS模型，發現隔離治療在傳染病控制過程中比接種疫苗更加有效。

由于毒品濫用與大多數傳染病都是通過接觸（毒品/病毒）傳播的，其擴散機制具有高度相似性，于是一些學者根據流行病學原理研究毒品濫用流行擴散的內在規律。White等[6]在SIR倉室模型的基礎上構建了研究海洛因吸食者流行演變的常微分方程模型，針對基本再生數進行了敏感性分析，證明了無毒平衡點和地方病平衡點的存在性并給出了產生后向分支現象的充分條件。Mulone等[7]利用Lyapunov函數證明了文獻[6]中地方病平衡點的全局穩定性。文獻[8]在文獻[6]的基礎上，將甲基苯丙胺使用者劃分為輕度和重度兩個人群，引入康復治療機制，建立了物質濫用的流行病模型，并討論了模型的動力學性態。

SIQRS模型假設得到治療且未死亡的患者將全部治愈，不再具有傳染性，這與接受隔離治療的吸毒人群中只有部分人員能夠康復，其余人員解除隔離后仍具有傳染性的特點不相符合，因此，不能直接應用SIQRS模型分析研究毒品濫用的流行規律。而上述毒品濫用流行病學研究成果的取得又都是基于SIR模型，以假設康復人群對毒品擁有永久“免疫”力為前提條件的，沒有考慮經治療康復后的吸毒人員仍然存在再次成為毒品易感者的可能性， 所以，建立符合毒品濫用人群演化特點的流行病模型，揭示毒品濫用現象的內在傳播規律是十分有必要的。

本文在假設康復人群對毒品僅具有暫時“免疫”力的基礎上，通過考慮社區治療和強制隔離治療兩種措施，分析毒品濫用人群演化過程的特點，構建毒品濫用流行病模型，針對模型的基本再生數，討論模型的平衡點及其穩定性，為有效抑制毒品濫用的流行提供理論依據。

5 結語

根據數學流行病學原理，本文通過分析毒品濫用人群的演化過程及反饋回路，構建了具有暫時“免疫”力的毒品濫用流行病模型，基于基本再生數R0，討論了模型的平衡點和穩定性。理論分析和仿真結果表明，毒品濫用現象能否得到有效控制，取決于基本再生數R0的取值：如果R0<1，模型存在一個局部漸進穩定的無毒平衡點，徹底杜絕毒品濫用現象是可能的;如果R0>1，模型存在唯一全局漸進穩定的地方病平衡點，此時，毒品濫用終將發展成為地方病，不能根除;如果R0接近于1且滿足條件β2γ（u+w）>（σ+γ+u+δ1）Z，則出現后向分支現象，這意味著無毒平衡點和地方病平衡點可能同時存在，即使R0<1，仍須付出額外的努力，使R0變得足夠小，才能夠阻止毒品濫用發展成為地方病?；诖搜芯拷Y果，可得出結論：提高隔離治療率、改善社區治療效果和降低接觸傳染率是抑制毒品濫用流行的有效方式。

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