淺談理論力學運動學的分析方法

鄭敏 秦翠

摘 要：運動學是理論力學中非常重要的內容之一，它不僅是分析動力學的基礎，而且可以結合虛位移原理解決很多靜定問題。運動學解題方法非常靈活，初學時往往不能熟練的運用其內容，不能正確分析質點、剛體的運動情況。本文通過運用運動學知識和數學分析方法，從不同切入點分析不同類型的問題，從而擴展學生思維，幫助學生將課程前后內容進行融會貫通，加深對運動學問題的認識。

關鍵詞：理論力；運動學；分析

理論力學是很多理工科專業學生的一門重要基礎課程。理論力學的理論性很強，其中公式高度概括并且比較抽象，需要一定的空間想象力和數學分析能力。本文從運動學分析，運動學內容包括質點運動學，剛體的簡單運動，點的合成運動，剛體的平面運動等問題。求解的問題一般是點的運動軌跡、質點速度和加速度、剛體轉動的角速度和角加速度等。解題時，運用速度投影投影法、基點法、速度瞬心法、點的速度和加速度合成運動定理、數學微積分、坐標法、矢量法等。熟練結合個方法后，可以做到問題的一題多解、一題巧解。下面舉例子說明。

例1：用車刀切削工件的端面，車刀刀尖M沿水平軸x做往復運動，如圖1所示。設Oxy為定坐標系，刀尖的運動方程為x=bsinwt。工件以等角速度w逆時針轉動。求車刀在工件圓端面上切出的痕跡。

解法一 根據題意，需求車刀刀尖M相對于工件的軌跡方程。

設刀尖M為動點，動系固定在工件上，則動點M在動系 和定系

中的坐標關系為

則點M的絕對運動方程為

得出車刀相對于工件的運動方程。

從上兩式中消去時間t，得刀尖的相對軌跡方程為

可見，車刀在工件上切出的痕跡是一個半徑為 的圓，該圓的圓心C在動系y' 軸上。

解法二 以Oxy為定坐標系，以M為動點，M水平移動，工件以等角速度逆時針轉動，分析工件和M之間的相對運動，故選取極坐標系，以固定點O為極點，并取極軸為刀尖運行在直線方向。

由于刀尖M始終沿極軸方向，則M始終只在徑向運動，工件逆時針轉動，則刀尖M相對工件順時針轉動，轉動時極徑不發生變化，故只有環量，可列方程

可解得 從方程可知切出痕跡是一個半徑為 的圓，圓心為（ ， ）。

小結：

分析出刀尖和工件的運動情況，求運動軌跡的一般方法是坐標系法，可以建立相對運動的動參考系，利用動參考系和定參考系之間的關系求解。同時，結合數學分析方法，我們可以進一步運用極坐標直接求解簡化問題，分析時也更為清晰。

例2：在曲柄齒輪橢圓規中，齒輪A和曲柄O1A固結為一體，齒輪C和齒輪A半徑均為r并互相嚙合，如圖2所示。圖中AB=O1O2，O1A。O1A以恒定的角速度w繞軸O1轉動， 。M為輪C上一點，CM=0.1m。在圖示瞬時，CM為鉛錘，求此時M點的速度和加速度。

圖2

解法一： AB平動，所以

， 由基點法得出兩輪嚙合點D的速度

， 上兩式中 ，故 解得 ，

又由 ， 解得

同理

解法二：以A為動點，動系在 ，定系在 。

從動系中可知齒輪A，齒輪C的角速度和角加速度關系 ，

動系中點M坐標關系為

速度，加速度以A為基點可分析出定系下M的速度和加速度

聯立方程得 ，

小結：運用剛體平行移動、剛體定軸轉動的規律，逐步分析，最后解決問題的關鍵點：齒輪A和齒輪C的牽連點。運用速度投影法、基點法等方法進行求解。另外，在分析時可以建立動參考系，綜合運用坐標系和速度加速度合成定理求解，這樣簡化了運動分析，清晰思路。

例3：如圖3所示，桿AB的A端沿水平面以勻速VA 運動，在運動過程中，桿AB始終與一半徑為R的固定半圓相切。試求當θ=30°時桿AB的角速度和角加速度。

解法：如下圖3，

圖3

定系固連于O點，以A為動點，其牽連轉動角速度與AB桿轉動角速度相等

加速度分析

絕對加速度 ，式中只有 和 大小未知 速度投影后解得

角速度w的轉向為逆時針，角加速度轉向為順時針。

小結：運用相對運動、牽連運動和絕對運動之間的關系，選擇合適的參考系下進行分析。利用A點絕對速度和加速度已知，分別求出牽連速度和牽連切向加速度。當然，通過數學分析，求出角度的改變量與時間的函數關系，進一步求導可得出結果。

總結：

運動學內容極為豐富，但在總體上結合數學方法和理論力學定理之后，可以實現一題多解、一題巧解，面對復雜問題時，融匯貫通這兩者可以更深入了解問題的本質，讓意識形態領域深華。

參考文獻：

[1]理論力學（1）（第七版）同步輔導及習題全解/劉東星，郭志梅主編.--北京：中國水利水電出版社，2010.2.

[2]大學生力學競賽與建模/劉章軍，熊敏，葉永編著--北京：中國水利水電出版社，2012.6.