基礎數學的最值問題求解分析

高之茵

摘 要：在基礎數學的概念當中，有一個：“最值”問題。最值問題存在于高中數學的函數、數列、三角、平面向量、不等式、立體幾何、解析幾何和極坐標與參數方程等各章節的學習過程中，是高中數學的重要題型之一，也是歷年高考的熱點和學生學習過程中的難點.以求解或討論最值為載體所設計的問題，不僅可以考查核心概念與重要知識，還能考查函數與方程、分類與整合、轉化與化歸、數形結合、運動變化等數學核心思想方法。

關鍵詞：基礎數學；最值；分析

最值屬于基礎數學教學環節之中的重要內容，本研究通過分析基礎數學的最值能夠提升理論研究水平，促進基礎數學在現實生產生活實踐的融合與應用，更加能夠促進各行業的發展.為此，需要通過對最值與極值兩概念進行劃分，其次要論證最值的主要求解方法與應用情況.希望通過本研究能夠對未來數學發展與實踐應用提供借鑒和幫助。

1.概述

二次函數是初中數學中非常重要的內容之一，運用二次函數可以解決貼近生活實際的很多應用題.在近幾年各地的中考試題中出現了大量的二次函數應用題，這類試題通過文字、圖像、表格等方式呈現給學生一系列復雜的信息，要求學生建立函數關系式并根據題意求出最值，這類問題主要考查學生靈活運用二次函數的相關知識處理問題的能力.通常二次函數的最值在頂點處取得，一但出現求二次函數最值問題的試題，大部分學生會不假思索地利用二次函數的頂點坐標求它的最值，這樣做有時會造成解題失誤，因為與二次函數有關的應用問題的最值不一定在頂點處取得.因此，在解決二次函數應用題時要根據題意，靈活應用函數的有關性質及數形結合的思想求解。

2.最值與極值的異同性

極值屬于函數當中的一種局部概念，數學教學之中，如果函數本身在某一點上并未進行定義，在此點上所形成的函數值就需要通過鄰域之中最大或者最小，這樣的值將代表最大值或者最小值，此點則可以被理解為是極值.換言之，函數f（x）在x1鄰域具有意義，如果x1附近位置上產生的全部點所形成的函數值均出現小于或者高于x1的情況，則可以表示為f（x1）≤f（x）或表示為f（x1）≥f（x），這樣，f（x1）表示的是此函數之中的極小值或極大值情況.此時，需要注意此項函數f（x）所產生的極值是在（x1）的附近產生的最值，并非是函數整個定義域當中的最值.其次，函數通過在（x1）附近應當給予定義，否則極值也就無從說起.除此之外，需要對比分析極值以及最值之間的差異性，最值主要是指在函數定義域之中的，函數值或者大于或者小于其他點的函數值，此點將被認為是最值點.最值與極值在區間（a，b）范圍之內，產生的最大值為x=b的位置上，因此，x=b的情況下，是函數產生最大值時.當x=x3的時候，函數值最小.為此，可以知道x=x3時，則函數處在最小值的位置上.通過這個關系可以發現，極值點以及最值點之間可能發生重合，或者不重合.極值也并非是函數之中的最大值，且單調遞增或者單調遞減等函數并不存在最值情況.首先，極值針對的是局部，極值屬于函數當中某一點位置上與相鄰函數之中的最大或者最小點，極值在函數中無法代表整個函數當中的最值.其次，因為函數之中極值針對的是附近的點，為此，函數之中極大值并不一定大于極小值.第三，函數之中極值點也并不一定屬于是最值點，相同，最值也并不一定就是極值點.第四，函數之中的極值并非是唯一值，需要能夠在相應區域之中，函數能夠具有多個極值，但是在區域之中函數最大值、最小值則只能有一個.

3.最值求解方法

基礎教學工作中，學生可能會對極值與最值產生誤解和概念上的混淆.為此，需闡明幾種求解最值的方法.

3.1配方求解

配方求解需堅持數學理論：f（x）=a（x-b）2+c（a≠0）之中，假設x所具有的取值范圍是[x1，x2]，同時b0，則函數之中的最小值情況可以表示為f（x）=a（x1-b）2+c，此時最大值情況為f（x）=a（x2-b）2+c.當出現a<0的情況下，則函數之中的最小值情況可以表示為f（x）=a（x2-b）2+c，此時最大值情況為f（x）=a（x1-b）2+c.假設x10，則函數之中的最小值情況可以表示為f（x）=a（x2-b）2+c，此時最大值情況為f（x）=a（x1-b）2+c.當出現a<0的情況下，則函數之中的最小值情況可以表示為f（x）=a（x1-b）2+c，此時最大值情況為f（x）=a（x2-b）2+c.假設x10，此時函數之中最小值情況為f（x）=c，出現a<0的情況下，則函數最大值表現為f（x）=c.

3.2判別式求解最值

部分函數無法使用配方法，為此，可以利用判別式獲得最值.假設：y=x2+x-1x2+x+1的最值求解，原式可以進行轉化，變為yx2+yx+y=x2+x-1，也就是（y-1）x2+（y-1）x+（y+1）=0，此時當出現y≠1的情況，則有（y-1）2-4（y-1）（y+1）≥0，（y-1）[（y-1）-4（y+1）]≥0，（y-1）（-3y-5）≥0.通過本式中可以發現，當出現y=1的條件下，則原式通過進行計算最終能夠得到2=0，這個結果不符合實際.為此，可以知道，函數值y無法取值為1，由此可知，此時形成的函數值的最小值應當是y=-53時。

4.最值問題的教學思考

最值問題知識載體豐富，求解方法多樣.如果課堂教學中每次都是蜻蜓點水，則學而不會；如果沒有全方位的綜合比較，則會而不全；如果不提煉各類知識的常規解法，則掌握不牢.一輪教學過程中，多注重“展”，一題多解，一題多變.二輪復習中，常注意“收”，多法尋根，多題歸一.在教學過程中，教師不僅要重視知識傳授，更要重視數學思想方法的傳遞，為學生創設情境體驗，一題多解（變），深刻感悟.高視點下的高考數學最值問題，各類解法更清晰明了，數學思想方法更靈活多變.在高視點下解決高考中的最值問題，既能突破此類問題，又能高效培養數學核心素養。

5.結語

基礎數學之中最值問題的應用程度非常廣泛，最值學習同樣也是數學教學過程中的難點.極值以及最值兩個概念在應用中非常容易出現混淆的情況.很多學生只能夠死套公式，無法做到觸類旁通，為此，需要能夠令學生更加深入性的了解最值與極值之間的異同。綜上所述，分析基礎數學之中的最值情況，對解決數學問題具有重要意義.甚至在物理學、金融等專業中同樣具有良好應用.最值問題也對社會生產具有重要價值.當前，科學家對最值問題的研究仍然不夠充分，最值研究具有很大空間，為此，需要能夠對最值問題加以深入性探究.也希望通過本研究能夠對未來數學教學提供借鑒和幫助。

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