蘇長青，李紫薇，郭凡逸

(1.沈陽航空航天大學 安全工程學院, 沈陽 110136；2.遼寧省飛機火爆防控及可靠性適航技術重點實驗室, 沈陽 110136)

轉子是一種常見的旋轉機器，它連同軸承與支座等統稱為轉子系統。汽輪機、發電機、電動機的核心工作部件都是轉子。轉子轉動時，系統會發生振動并產生噪聲，使轉子系統的工作效率降低，嚴重時振動會導致轉軸斷裂，造成嚴重的事故[1]。

系統的頻率可靠性問題的研究主要有兩個方向，一是由強迫振動引起的系統響應超限；二是由于系統共振與非共振引起的結構疲勞[7]。文獻[4]研究了具有獨立失效模式的隨機多自由度非線性系統的可靠性分析；文獻[5]在強迫振動放大系數模型的基礎上提出了離心葉輪葉片的振動可靠性分析方法；文獻[6]以結構振動設計方法為基礎，通過應力-干涉理論研究了一種振動可靠性分析辦法；文獻[7]研究了具有相關失效模式的轉子系統頻率可靠性的問題。

本文以三盤轉子為研究對象，考慮了彈性支承與圓盤質量的隨機特性，應用有限元法建立系統的振動方程，獲得系統的前6階固有頻率的隨機統計特性，建立了轉子系統共振的狀態函數，并應用Monte Carlo法分別計算出系統的可靠度與可靠性靈敏度[7]。

1 轉子系統的固有頻率與臨界轉速

對于轉軸具有n個節點，且忽略軸承座的等效質量的轉子系統，其位移向量為：

{U1}=[x1,θy1,x2,θy2…xyn-1,θyn-1]

{U2}=[y1,-θx1,y2,-θx2…yyn-1,-θxn-1]

(1)

由于滑動軸承的剛度系數相等，則系統的運動方程的齊次式為：

(2)

其中[M1],[C],[K1],都為2n×2n的對稱稀疏帶狀矩陣。故其頻率方程為：

|-M1ω2+J1Ωω+K1|=0

(3)

當轉子以角速度Ω轉動時，根據頻率方程可求得2n個正進動頻率與2n個反進動頻率；當Ω=ω時，其值為系統的臨界轉速。

2 轉子系統可靠度與失效靈敏度分析

2.1 轉子系統可靠度計算

在結構可靠度分析中，結構的極限狀態是通過結構的功能函數描述的。對于轉子系統，其產生的共振會使未超過檻值的響應導致系統的失效或使系統處于失效的極限狀態。根據可靠性理論，共振轉子系統的狀態函數為：

gi(n,ωi)=|n-ωi|i=1,2,…,k

(4)

式中，n為轉速，即轉子系統的激振頻率；ωi為轉子的第i階固有頻率。當gi>0時，轉子系統處于可靠狀態；當gi<0時，轉子系統處于失效狀態。

當轉子系統的激振頻率接近其某階固有頻率時，轉子系統發生共振。根據此關系，將上式改寫為：

(5)

其中γ為轉子系統一階固有頻率的10%。

對于轉子系統，只要有一個激振頻率接近其某階固有頻率，則系統就會發生共振導致失效。故應把轉子系統考慮為串聯結構體系。此時轉子系統的失效概率為：

(6)

(7)

式中，Pi為第i失效模式下的轉子系統失效概率；Pf為轉子系統聯合失效概率；μn-ωi為固有頻率均值與激振頻率差的均值；σn-ωi為固有頻率方差與激振頻率差的標準差。

2.2 轉子系統可靠性靈敏度計算

Monte Carlo法是最通用的、應用范圍最廣的計算可靠性靈敏度的數字模擬方法。此方法對于狀態函數的形式與隨機參數的分布情況沒有特殊要求，主要是把求解可靠性靈敏度的復雜積分問題轉換為求解數學期望問題，用樣本均值來估計數學期望[8]。

轉子系統失效靈敏度為失效概率Pf對隨機參數xi的分布參數μxi、σxi的偏導數。

(8)

將式(8)中的積分變換成數學期望的表達式，之后就可以用Monte Carlo法來計算轉子系統失效靈敏度。具體變換方法如下：

(9)

在用Monte Carlo法計算的過程中，采用樣本均值來代替總體均值，則均值靈敏度計算公式為：

(10)

同理，可得到標準差靈敏度公式為：

(11)

為了更好的比較不同分布參數對失效概率的影響程度，要消除基本變量量綱對失效靈敏度的影響。以均值靈敏度為例，其無量綱的靈敏度表達式為：

(12)

Sμxi的估計值為：

(13)

對于正態變量有：

(14)

式中，μi為對基本隨機向量x=(x1,x2,x3,…,xn)T中的第i個分量xi引入的標準正態變量。

則除去量綱影響的均值失效靈敏度為：

(15)

同理可得去除量綱影響的標準差失效靈敏度為：

(16)

式中，μji為第j個樣本xj=(xj1,xj2,xj3,…,xjn)的第i個分量xji所對應的標準正態化樣本。

3 數值算例

轉子系統結構簡圖如圖1。軸承1與軸承3分別位于轉軸的兩側，軸承2位于圓盤2與圓盤3之間。轉子系統幾何參數值如表1所示。

圖1 轉子系統結構簡圖

幾何參數數值幾何參數數值L/m1.474D3/m0.15d/m0.045B1/m0.02D1/m0.100B2/m0.02D2/m0.225B3/m0.03

由于制造環境、技術條件、制造和安裝誤差及材料的多相特征等因素使得圓盤質量、軸承剛度與阻尼具有一定的隨機特性[9]。本文中把上述參數作為隨機參數，一般來講，結構的質量、剛度和阻尼服從正態分布，如果隨機參數服從非正態分布，可將非正態分布轉化為正態分布處理。如果其具體的分布如表2所示。轉子系統的前6階固有頻率為隨機輸出參數，其具體的分布如表3所示。

抽樣方法本文選用重要度抽樣法(importance sampling method)。通過改變隨機抽樣的中心，使樣本點有較大概率處于失效域內。為了使Monte Carlo法的計算結果達到較高的精度要求，本文取抽樣次數為500次進行循環仿真，分析了在不同的激振頻率(服從正態分布)下，轉子系統的可靠度。其結果如表4所示。

表2 轉子系統隨機參數統計特性

表3 轉子系統固有頻率隨機特性

表4 轉子系統可靠度

其中450 rad/s這一激振頻率處于1階與2階固有頻率之間，距離兩固有頻率分布都較遠，系統發生共振的概率較低，所以轉子系統的可靠度較高；而952 rad/s與1 100 rad/s這兩激振頻率分別距離4階固有頻率與6階固有頻率非常近，系統發生共振的概率較高，所以轉子系統的可靠度較低。

轉子系統在不同激振頻率下的各參數失效靈敏度如圖2～圖6所示。

由于在952 rad/s這一激振頻率下，轉子系統的可靠性最低，所以分析此狀態下的各參數靈敏度顯得十分重要。如圖4所示，2軸承y方向剛度方差靈敏度與1軸承x方向剛度均值靈敏度值最大且為正，而圓盤2質量方差靈敏度也較大且為負，故想在此工作狀態下提高轉子系統的可靠度應增大2軸承y方向剛度方差與1軸承x方向剛度均值，同時要減小圓盤2質量方差。

圖2 450 rad/s下轉子系統各參數失效靈敏度

圖3 850 rad/s下轉子系統各參數失效靈敏度

圖4 952 rad/s下轉子系統各參數失效靈敏度

圖5 990 rad/s下轉子系統各參數失效靈敏度

圖6 1 100 rad/s下轉子系統各參數失效靈敏度

4 結論

本文以多盤轉子系統為研究對象，基于共振失效的基本準則，建立了多盤轉子系統的振動可靠性模型，提出了多盤轉子系統的振動失效靈敏度分析方法，研究了隨機參數統計特性對于系統失效的影響規律，研究成果能夠為轉子系統的設計、制造和結構優化提供一定的理論依據。