融合動量BP算法的樣本數自適應粒子濾波

張 園，趙長勝，李曉明

(江蘇師范大學地理測繪與城鄉規劃學院，江蘇徐州221116)

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1 引言

粒子濾波是一種非線性、非高斯系統濾波算法，它將蒙特卡羅方法和貝葉斯估計理論相結合，該方法的基本思想是用一組粒子來近似表示系統的驗后概率分布，然后使用這一近似表示來估計系統的狀態.粒子濾波適用于任何能用狀態空間模型表示的非線性、非高斯隨機系統，精度可以逼近最優，是一種有效的非線性濾波技術，可廣泛用于數字通信、金融領域數據分析、統計學、圖像處理、計算機視覺、自適應估計、語音信號處理、機器學習等方面［1-3］.

D.Fox學者于2002年提出粒子數可變的自適應粒子濾波，即基于Kullback-leibler(KL)信息數或KL距離(KLD)采樣的自適應粒子濾波器［4］.趙媛媛等提出了一種用于跟蹤系統的可在線調整采樣周期和粒子數目的自適應粒子濾波器［5］.傅惠民等提出對于許多實際工程(如深空探測)中存在的由未知系統誤差的影響而無法精確建立量測似然函數及濾波過程中的粒子匱乏等問題，通過增量粒子濾波對粒子數進行自適應調整，從而消除未知系統和粒子匱乏的影響，自適應調整濾波粒子數目，進而提高濾波的精度［6］.基于KLD(Kullback Leibler Distance)采樣和蝙蝠算法，滕飛等提出一種可動態調整粒子數的自適應粒子濾波算法［7］.高為廣等利用神經網絡對自適應濾波器狀態方程的預報值進行實時修正，給出神經網絡輔助的GPS/INS組合導航自適應濾波算法［8］.張應博等提出在神經網絡訓練中，使用迭代拓展卡爾曼濾波器生成建議分布［9］.一種新的基于粒子濾波的神經網絡算法，用于克服一般神經網絡學習方法易陷入局部極小值的缺陷［10］.BP神經網絡用于輔助基本粒子濾波算法(NNWA-PF)，在濾波精度方面有一定提高［11］.基于似然分布的樣本數自適應UPF算法已應用到SINS/SAR組合導航系統中［12］.

本文提出了融合動量BP算法的樣本數自適應粒子濾波(SS-NNWA-APF):其一，由樣本數目和濾波精度的關系可實現自適應地調整粒子數;其二，將動量BP算法與樣本數自適應粒子濾波結合，增大位于低概率密度區域粒子的權值，使位于這部分區域的小權值粒子重新進入高權值區域，降低粒子退化，同時部分高權值的粒子分裂為小權值粒子.

2 樣本數可自適應調整的粒子濾波

傳統粒子濾波算法樣本數保持不變，而固定的樣本數將會直接影響粒子濾波算法的計算復雜度，進而影響粒子濾波算法的實時性和精度.針對這一問題，本文引入樣本數可自適應調整的粒子濾波，既可以在每一步狀態方差估計中設定樣本數的下限，也考慮狀態方差過大或者過小的情形.

樣本數自適應調整粒子濾波過程如下:

4)預測樣本數:由k時刻的量測，用EKF計算k+1的方差 σ2(k+1)，根據:

計算樣本數量Nk+1.

5)重復步驟(2)～步驟(4)，直到仿真時間T結束.

輸出后驗分布估計.粒子濾波輸出的一組樣本點，可近似地表示成后驗分布，即:

3 動量BP算法

傳統BP神經網絡是一種梯度下降學習算法，沿誤差性能函數的反方向，進行權值修正.研究表明，基于最速下降法的BP神經網絡算法，可以使權值和閾值向量獲得穩定解，但存在部分缺點，如BP神經網絡收斂速度慢，容易導致局部最優等問題.在一定條件下，如果采用較高學習速率，學習過程也可能發生振蕩.為了在一定程度上避免最速下降算法的振蕩和不穩定現象，動量BP算法在梯度最速下降法的基礎上引入動量因子η(0＜η＜1):

動量BP算法總是力圖使在同一梯度上的修正量增加，動量因子η越大，同一梯度方向上的“動量”也越大［13］.該算法若采用較大的學習率，不會產生學習過程的發散情況.因為過量修正時，該算法總能減少修正量，進而保證修正的收斂性;另外，該算法能加速修正量向著同一梯度的方向進行.以上表明，該算法不僅可以保證算法穩定，還能加快其收斂速率，減少學習時間.

4 融合動量BP算法的樣本數自適應粒子濾波

通過采取自適應調整樣本數策略，可以一定程度上改善算法的實時性、降低計算復雜度和提高算法的精度.標準粒子濾波算法中，當概率分布值多次更新后，只有少數粒子具有高權值，因而出現粒子退化現象，為了解決上述問題，在樣本數自適應粒子濾波的基礎上，增加權值分裂和權值調整兩個步驟，增大部分粒子的權值，使得小權值粒子重新進入高權值區域，從而增加粒子的多樣性，那么融合動量BP算法的樣本數自適應粒子濾波算法具體步驟如下:

6)預測樣本數:由k時刻的量測，使用EKF算法來計算k+1的方差σ2(k+1)，再根據式(3)計算樣本數量Nk+1.

7)令k=k+1，轉至步驟2).

8)結合式(5)，輸出后驗分布估計.

5 實驗仿真與結果分析

5.1 仿真模型為單變量非靜態增長模型

5.1.1 一維系統建模

為了考察算法的有效性，這里選用單變量非靜態增長模型對粒子濾波算法在非線性系統中的應用進行仿真分析.其狀態模型和觀測模型分別為:

這里，wk和vk為均值為0、方差分別為Qk=10和Rk=1的高斯噪聲，狀態初始值為x0=0.1，訓練次數T=50.狀態方程中xk和xk－1是非線性關系，觀測方程zk和xk也是非線性關系.動量BP算法中學習步長為0.05，神經元個數為8，訓練精度為0.005，動量系數設定為0.5，最大訓練次數1000.

5.1.2 仿真數據分析

選用5.1.1所示的單變量非靜態增長模型，仿真參數和初始化如5.1.1.選取粒子數分別為50、150和300，采用標準粒子濾波算法(PF)、NNWA-PF算法和SS-NNWA-APF算法對系統狀態進行估計.系統仿真結果如圖1～圖4所示.

圖1 粒子數為50時估計與真值的關系Fig.1 Relation between estimation and truth value when the particle number is 50

圖2 粒子數為150時估計與真值的關系Fig.2 Relation between estimation and truth value when the particle number is 50

1)估計與真值的關系主要考慮濾波值在直線兩側分布的均勻程度和接近程度.

圖3 粒子數為300時估計與真值的關系Fig.3 Relation between estimation and truth value when the particle number is 50

圖1 ～圖4中涉及的符號及參數:PME為后驗均值估計，MAP為最大后驗概率估計，RMSE為均方根誤差.

圖4 三種算法RMSE對比圖Fig.4 RMSE comparison of three algorithms

圖1 ～圖3為PF、NNWA-PF和SS-NNWA-APF三種算法分別取粒子數為50、150和300時估計與真值的關系對比圖，由圖可以看出本文提出的融合動量BP算法的樣本數自適應粒子濾波(SS-NNWA-APF)更加均勻且密集地分布在直線兩側，說明精度上比前兩者要高.圖4也可以直觀看出SSNNWA-APF算法精度上優于其他兩種算法.

2)取粒子數為50、150、300對有效粒子數(Neff)、均方根誤差(RMSE)、用時/秒、平均粒子數等指標進行分析.表1本文采用SS-NNWA-APF算法中，有效粒子數(Neff)取從1到運行時間T的均值，平均粒子數取從1到運行時間T的均值.

表1 三種算法處理后的參數對比情況Table 1 Comparison of the parameters after the three algorithms are processed

如表1所示，粒子數分別取50、150和300時，四種算法在有效粒子數(Neff)、均方根誤差(RMSE)、用時/秒、平均粒子數等各項指標有不同之處.有效粒子數(Neff)表現為PF、NNWA-PF和MO-NNWA-PF(即融合動量BP算法的粒子濾波)隨著粒子數的增加而增加，而SS-NNWA-APF穩定在200左右，有效粒子數(Neff)較多且表現出一定的穩定性.均方根誤差(RMSE)表現為PF、NNWA-PF和MO-NNWA-PF隨著粒子數的增加而降低，而SS-NNWA-APF則在2.5～3.0范圍內變化，說明SS-NNWA-APF精度上要好，且穩定性優于其他兩種算法，這些數據也暗含了SS-NNWA-APF算法實時性的優勢.

3)考慮改進BP算法后動量BP算法對粒子濾波的實時性影響.由表一知，NNWA-PF和MO-NNWA-PF兩種算法隨著粒子數增加，有效粒子數和均方根誤差后者效果略優，而用時方面，后者則有一定的改進.當粒子數增加，前者用時顯著增加，而后者用時在3.48秒到4.11秒范圍內變化，表現一定的穩定性，沒有因為粒子數的增加而顯著影響算法的實時性.

由表1對 SS-NNWA-APF算法深入分析，因為 SSNNWA-APF算法的粒子數在仿真過程中根據狀態方差不同而變化，故選取均方根誤差進行比較.當粒子數從50到300增加時，PF、NNWA-PF和MO-NNWA-PF的均方根誤差依次減小，但SS-NNWA-APF均方根誤差的變化幅度卻不大，且總體偏小.

4)綜合以上分析，隨著粒子數增加，PF、NNWA-PF和MONNWA-PF用時也在增加，而SS-NNWA-APF算法基本保持不變.也就是說粒子數在取值較大時，SS-NNWA-APF算法仍可以保持較好的實時性，而其他兩種算法雖然可以在取得大粒子數時保持較高精度，但是實時性卻大大降低.這表明當粒子數較小時，SS-NNWA-APF算法在精度上有優勢，而粒子數較大時，SS-NNWA-APF算法也可以在實時性上保證優勢.

5.2 仿真模型多維單目標跟蹤模型

5.2.1 多維單目標跟蹤系統建模

假定目標沿直線運動，觀測站坐標(x0，y0)，狀態方程為:

式中，Φ為狀態轉移矩陣，G為過程噪聲驅動矩陣;ω(k)為過程噪聲，行人狀態矢量為:

式中x1(k)為東方向位置，y1(k)為北方向位置，x2(k)為東方向速度，y1(k)為北方向速度.行人觀測方程為:

函數h表示觀測站與行人狀態之間的非線性關系:

其中v(k)為觀測噪聲.

考慮一般的目標跟蹤問題，假定目標運動軌跡為矩形，X軸為東方向，Y軸為北方向，初始位置為(13.12，17.54)，初始狀態為(0，0，1，0)，其水平速度 x2=1m/s，粒子數目為 N=200，采樣次數為100.

5.2.2 仿真數據分析

圖5 平面跟蹤軌跡圖Fig.5 Plane tracking trajectory

表2 三種算法處理后的誤差及用時對比情況Table 2 Comparisons of errors and time use after processing of three algorithms

圖5為三種算法處理后的平面跟蹤軌跡圖，其中粒子數 為200.由圖可看出三種算法均能基本描述目標的運動軌跡，其中PF算法部分偏差較大，SS-NNWA-APF算法較NNWAAPF算法跟蹤效果好.

表2為粒子數200時，三種算法處理后的誤差及用時對比情況，同時增加了粒子數100和粒子數300時不同算法的用時對比情況.其中x方向位移RMSE，PF算法誤差較大，其他兩種算法大致相當;y方向位移RMSE，PF算法誤差較大，而本文提出的新算法SS-NNWA-APF跟蹤誤差小于NNWAAPF算法.這說明本文提出的新算法在跟蹤效果上優于其他兩種算法.

實時性上，隨著粒子數的增加，PF和NNWA-APF算法用時逐漸增加，而SS-NNWA-APF算法用時基本保持不變.這表明了新算法在實時性上的優勢.

6 結論

采樣頻率和粒子數目可以顯著影響粒子濾波算法的性能和復雜度，增加采樣頻率和粒子數目雖可以有效改善濾波結果，但也給實時性帶來了挑戰.

在引入了BP神經網絡訓練后，算法精度得到了提高，但算法的訓練時間增加.考慮到濾波精度與實時性的關系，提出了融合動量BP算法的樣本數自適應粒子濾波(SS-NNWAAPF)算法.SS-NNWA-APF算法根據樣本數目和濾波精度間的關系，實現了自適應地調整粒子數;并將動量BP算法與樣本數自適應粒子濾波結合，增大位于低概率密度區域粒子的權值，使位于這部分區域的小權值粒子重新進入高權值區域，降低粒子退化，而且權值較高的粒子可能會被分裂為若干小權值粒子;這樣，當粒子數較少時，可以有效改善濾波精度，當粒子數較多時，既能保證濾波精度相對較高，同時在實時性上也保證了穩定性.

仿真模型選取分別為單變量非靜態增長模型和多維單目標跟蹤模型，仿真結果得出:使用融合動量BP算法的樣本數自適應粒子濾波優于標準粒子濾波算法、基于BP神經網絡的粒子濾波算法，在均方根誤差、估計與真值的關系、有效粒子數等方面都表現出較好的預測能力，該算法表現出精度較高，穩定性較好，并降低了計算的復雜度.