多用戶分子通信模型的比特錯誤率和信道容量分析

程 珍，章益銘

(浙江工業(yè)大學計算機科學與技術學院，杭州310023)

E-mail:chengzhen@zjut.edu.cn

1 引言

由于基于擴散的分子通信(Diffusion-based molecular communication，DBMC)是分子通信中重要的通信方式［1，2］，在生物醫(yī)學，工業(yè)和環(huán)境領域有很重要的應用［3，4］，因此，DBMC是納米網(wǎng)絡中最具有前景的系統(tǒng)，也是迄今為止最被廣泛研究的納米網(wǎng)絡通信技術.

近年來，DBMC研究中最重要的挑戰(zhàn)之一是在碼間干擾(Inter-symbol Interference，ISI)存在的情況下，如何提高該系統(tǒng)的信道容量.Akyildiz等人［5］提出了帶有噪聲和記憶信道的信道容量分析方法.Meng等人［6］研究了DBMC系統(tǒng)在ISI存在情況下互信息的最大化.Chiu等人［7］針對DBMC系統(tǒng)的接收方納米機器RN，設計了低復雜度的算法從而解決減少 ISI問題.Damrath和 Hoeher［8］利用動態(tài)閾值檢測算法，研究了點對點DBMC系統(tǒng)的比特錯誤率(Bit Error Rate，BER)性能.Cheng等人［9］分析了基于ISI信道的點對點DBMC模型的信道容量.

目前，多個發(fā)送方納米機器(Transmitter Nanomachine，TN)或多個接收方納米機器(Receiver Nanomachine，RN)間通信的共享信道模型得到了廣大研究者的關注.Jiang等人［10］提出了用戶間干擾(Inter-user Interference，IUI)，并分析了由兩個TN和一個RN構成的DBMC系統(tǒng)的BER性能.Moore等人［11］對信息從多個發(fā)送方納米機器到一個微型接收方納米機器的傳輸過程接入進行建模，并分析了該系統(tǒng)的比特錯誤率.Koo等人分析了ISI和IUI同時存在的2×2分子通信多輸入多輸出系統(tǒng)(Multiple-input Multiple-output，MIMO)的 BER 性能［12］.Dinc等人［13］提出了多用戶分子通信模型中ISI和IUI計算的理論分析框架.Bicen等人［14］利用香農(nóng)信道容量定理研究了一個TN和多個RN構成的廣播DBMC模型的信道容量的總和.

目前，多個TN和一個RN的DBMC通信場景的相關研究較少.本文研究了多個TN和一個RN的多用戶DBMC系統(tǒng)的BER和信道容量性能.考慮ISI和IUI同時存在的多用戶DBMC模型，可以看到，IUI對多用戶DBMC系統(tǒng)的性能影響至關重要.首先，利用泊松分布逼近二項分布得到了當前時隙接收方納米機器收到分子的個數(shù)，通過ISI和IUI分子的個數(shù)所服從的Skellam分布，得到了最優(yōu)檢測閾值的數(shù)學表達式.其次，在此基礎上，分析了該系統(tǒng)的比特錯誤率和信道容量性能.最后，仿真結果展示了重要的系統(tǒng)參數(shù)包括擴散系數(shù)、發(fā)送方納米機器和接收方納米機器之間的距離、信道傳輸概率、每個時隙釋放的分子個數(shù)以及每個時隙的持續(xù)時間對多用戶DBMC系統(tǒng)的性能的影響，可通過控制這些參數(shù)的值，從而達到降低比特錯誤率和提高信道容量的目的.

2 系統(tǒng)模型

圖1展示了本文研究的多用戶DBMC系統(tǒng)模型，該系統(tǒng)由N個TN和一個RN構成.其中，TNi和RN(1≤i≤N)之間的距離為di，RN的半徑為r0.o表示由N個TN釋放的分子.當我們研究TNi和RN之間的傳輸對時，對于TNi而言，其余的(N－1)TNj(1≤j≤N，j≠i)為干擾的發(fā)送方納米機器.因此，需要考慮它們對TNi造成的IUI.

圖1 多用戶DBMC模型Fig.1 Multi-user DBMC model

針對圖1的系統(tǒng)模型，我們假設所有的TN和RN在時間上是完全同步的，并假設所有的接收事件都發(fā)生在離散時間點上.考慮分時隙的DBMC系統(tǒng)，將時間T分成多個時隙，并且每個時隙的大小一樣，有T=nTs.其中，n是時隙的個數(shù)，Ts為每個時隙的大小.

在多用戶DBMC系統(tǒng)中，TNi(1≤i≤N)發(fā)送的二進制比特1或0在二進制信道中傳輸，并采用開關鍵控(On-Off Keying，OOK)作為調制技術.表述如下:在每個時隙開始時，TNi通過釋放Mi個分子表示發(fā)送比特1，不釋放任何分子表示發(fā)送比特0.分子一旦被釋放在生物環(huán)境中，這些分子自由擴散，當被RN接收后會被立即吸收，不再存在生物環(huán)境中.

分子的擴散運動服從布朗運動規(guī)則，在三維環(huán)境中，P(di，t)表示一個分子在時間t內(nèi)成功被RN收到的概率，計算公式如下［15］:

這里，r0為 RN的半徑，di是 TNi與 RN(1≤i≤N)之間的距離，D為擴散系數(shù).

當TNi釋放分子之后，這些分子開始擴散，它們被RN接收的事件就會發(fā)生.RN具有計數(shù)功能，RN在當前時隙輸出的比特可以通過比較RN在當前時隙收到的分子總數(shù)與最優(yōu)檢測閾值θ的大小來確定.如果RN在當前時隙收到的分子總數(shù)大于θ，則RN在當前時隙的輸出比特為1，否則輸出比特為0.因此，θ的取值對BER和信道容量性能的評估有重要的影響.

3 BER和信道容量分析

本節(jié)中，我們給出了多用戶DBMC系統(tǒng)中TNi對RN的比特錯誤率和信道容量的計算公式.具體步驟如下:

首先，利用泊松分布逼近二項分布，得到了當前時隙接收方納米機器收到的分子個數(shù)所服從的泊松分布.在此基礎上，得到在當前時隙對TNi而言造成ISI的分子數(shù)所服從的Skellam分布.

其次，分析 TNj(j≠i)在傳輸比特 00，01，10，11 四種情況下對TNi造成IUI的分子數(shù)所服從的Skellam分布.從而得到對TNi而言其余(N－1)個TN的總IUI分子數(shù)所服從的Skellam分布.

最后，建立假設檢驗模型，通過檢測理論中的最小平均錯誤概率準則得到了接收方納米機器的最優(yōu)檢測閾值.在此基礎上，給出了多用戶DBMC系統(tǒng)中TNi對RN的BER和信道容量的計算公式.

3.1 ISI分析

用βik表示TNi在第k個時隙傳輸比特1的概率，則由公式(1)可知，RN成功收到TNi一個分子的概率為 βikP(di，Ts).因此，(1≤k≤n)表示RN在當前時隙n成功收到TNi在時隙k釋放的分子的概率為:

用Mic表示在當前時隙TNi釋放的并被RN收到的分子數(shù)，βic表示TNi在當前時隙傳輸比特1的概率.因此，Mic服從如下的二項分布［16］:

由概率論知識可知，當 βicP(di，Ts)較小，Mi較大時，公式(3)中的二項分布 Binomial(Mi，βicP(di，Ts))可用泊松分布來逼近，表示如下:

對于TNi而言，前面一個時隙對其產(chǎn)生的碼間干擾是占據(jù)主導地位的ISI［10］.因此，我們只考慮前一個時隙對當前時隙的干擾情況，即在公式(5)中，取n=2.用βip和βic分布表示TNi在前一個時隙和當前時隙傳輸比特1的概率.根據(jù)公式(5)，ISI分子數(shù)所服從的分布可表示如下:

3.2 IUI分析

當RN收到來自TNi釋放的分子數(shù)，需要考慮來自其余(N－1)個TN的干擾.TNi在每個時隙傳輸比特1或0.對于TNi而言，有四種00，01，10，11 比特傳輸?shù)那闆r.其中，第一個比特和第二個比特分別表示在前一個時隙和當前時隙TNi傳輸?shù)谋忍胤謩e表示 TNj(j≠i)在傳輸比特00，01，10，11四種情況下對 TNi造成干擾的分子數(shù).分別表示 TNj傳輸比特 00，01，10，11 的概率.

1)對于TNj傳輸比特“00”的情況，對應的傳輸概率為:

這里，βjp和βjc分別表示TNj在前面一個時隙和當前時隙發(fā)送比特1的概率.這種情況下，意味著TNj沒有釋放任何分子，因此，TNj沒有對TNi造成IUI干擾，即Mj00=0.

2)對于TNj傳輸比特“01”的情況，很容易得到TNj傳輸比特“01”的概率為:

3.3 最優(yōu)檢測閾值

考慮傳輸對TNi對RN，Xi是輸入比特，Yi是輸出比特.H1和H0分別表示TNi在當前時隙傳輸比特1和0的情況.PFi和PDi分別定義為誤報率和檢測率，表示如下:

此時，TNj在當前時隙傳輸?shù)谋忍?能對TNi造成IUI干擾，因此，服從如下泊松分布:3)對于TNj傳輸比特“10”的情況，對應的傳輸概率為:

此時，TNj在前面時隙傳輸?shù)谋忍?能對TNi造成IUI干擾，因此，服從如下分布:

4)針對TNj傳輸比特“11”的情況，TNj傳輸比特“11”的概率為:

此時，TNj對TNi在前一個時隙和當前時隙均能造成干擾.因此，服從以下分布:

針對上述 TNj傳輸比特 00，01，10，11 四種情況，TNj對TNi造成的IUI用表示，則有:

根據(jù)文獻［9］可知，多個泊松分布的和仍為泊松分布，兩個泊松分布的差則服從Skellam分布.因此，公式(20)中的和公式(21)中的分別服從以下的Skellam分布:

i

對于TNi，對其造成ISI的分子數(shù)用表示，主要由TNi前一個時隙對當前時隙的干擾構成，計算公式如下:

隨機變量Z表示RN在當前時隙收到的分子個數(shù).根據(jù)公式(22)和公式(23)，在假設條件H0和H1下，Z服從如下的Skellam分布:

用MIUI表示其余(N－1)個 TN的總共的 IUI.由公式(16)和公式(17)可知，我們可以得到總的干擾分子數(shù)包括ISI和 IUI分子數(shù)如下:

公式(24)中 Skellam 分布的參數(shù) μ1，μ2，λ1，λ2可以用過公式(22)和公式(23)計算如下:

其中，round 是取整操作.μ1，μ2，λ1，λ2可通公式(25) ～公式(28)計算得到.由文獻［9］可知，η的計算公式如下:其中，βic表示TNi在當前時隙傳輸比特1的概率.由公式(29)可知，PFi和PDi可通過如下公式計算得到:

在公式(31)和公式(32)的基礎上，從傳輸對i(TNi到RN)的角度來，表示傳輸一個比特的比特錯誤率BER的公式如下:

進一步，我們計算多用戶DBMC系統(tǒng)中TNi對RN的信道容量的公式如下:

4 仿真結果

在本節(jié)中，我們主要討論了不同的參數(shù)包括擴散系數(shù)、發(fā)送方納米機器和接收方納米機器之間的距離、信道傳輸概率、每個時隙釋放的分子個數(shù)以及每個時隙的持續(xù)時間對兩個用戶DBMC系統(tǒng)信道容量的影響.參數(shù)設置如表1所示.

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation results

4.1 BER性能分析

針對TN1對RN的傳輸情況，我們分別給出了不同的參數(shù)M2，d1，D和Ts在取值不同時，BER隨M1的變化情況.根據(jù)公式(33)，BER取決于公式(29)中計算出的θ.對于相同的θ，當M1增加時，BER在減小.假設 βip取值相同，并設置β1c= β2c=0.5.圖 2 中，兩條曲線分別展示了 β1p和 β2p對 BER和互信息I(X1;Y1)的影響.我們可以看到，BER和互信息I(X1;Y1)有相反的變化趨勢.主要原因如下:首先，當β1p增加時，前面一個時隙釋放的分子對TN1當前時隙的ISI增加，同時TN2對TN1的IUI也增加;此外，當前面一個時隙的分子的數(shù)目達到某個值后，BER開始減少，同時互信息的值在增加.圖2 中，我們設置 d1=20μm，d2=30μm，D=79.4μm2/s，Ts=10s，β1c= β2c=0.5，M1=350，M2=80.

圖2 BER和可達到的互信息I(X1;Y1)與β1p之間的關系Fig.2 BER and attainable mutual information I(X1;Y1)versusβ1p

圖3 中，給出了BER在M2取值不同時隨M1增大而變小的變化情況.當M1增大時，由公式(1)可知，RN收到TN1釋放的分子的概率也增加，在當前時隙收到的分子數(shù)也會增多，此時BER變小;此外，對于相同的M1，當M2越大時，則TN2對TN1的IUI增加，從而BER越小.圖3中，參數(shù)設置為d1=20μm，d2=30μm，D=79.4μm2/s，Ts=10s，β1p= β2p=0.01，β1c= β2c=0.5.

圖3 在M2取不同值的情況下，BER與M1的關系Fig.3 BER versus M1 for different values of M2

圖4 在d1取不同值的情況下，BER與M1的關系Fig.4 BER versus M1for different values of d1

圖4 和圖5分別展示了在d1和D取不同值時，BER隨M1的變化趨勢.可以看到，當M1增大時，BER變小.其次，當TN1和RN之間的距離較小時，TN1釋放的分子更容易被RN接收到，此時，對應的BER越小.此外，當環(huán)境中的擴散系數(shù)越大，分子間的擴散和傳播速度越快.因此，對于相同的M1，d1越小，D越大，則 BER越小.圖4中，參數(shù)設置為 d2=30μm，Ts=10s，β1p= β2p=0.01，β1c= β2c=0.5，D =79.4μm2/s.圖 5 中，d1=20μm，d2=30μm，Ts=10s，β1p=β2p=0.01，β1c= β2c=0.5.

圖5 在D取不同值的情況下，BER與M1的關系Fig.5 BER versus M1 for different values of D

圖6 展示了BER在不同時隙持續(xù)時間取值Ts=0.5s，Ts=0.75s，Ts=10s情況下，隨 M1下降的變化趨勢.Ts為每個時隙的大小，當Ts越大，在其它參數(shù)值固定的情況下，RN收到環(huán)境中分子的概率增大，則RN收到TN1釋放的分子個數(shù)會增加.因此，BER越小.圖6中，參數(shù)設置如下:d1=20μm，d2=30μm，D =79.4μm2/s，β1p= β2p=0.01，β1c= β2c=0.5.

圖6 在Ts取不同值的情況下，BER與M1的關系Fig.6 BER versus M1 for different values of Ts

4.2 信道容量性能分析

現(xiàn)在我們通過公式(34)，分析多用戶DBMC系統(tǒng)中TN1對RN的信道容量性能.分別給出了不同的參數(shù)M2，d1，D和Ts在取值不同時，可達到的互信息I(X1;Y1)隨M1的變化情況.

圖7 在M2取不同值的情況下，可達到的互信息I(X1;Y1)與M1的關系Fig.7 Relationshifp between attainable mutual information I(X1;Y1)with M1 for different values of M2

圖7 中，當M2取不同值M2=80，M2=100，M2=120的情況下，I(X1;Y1)隨著M1的增大而增大.對于相同的M1，當M2取值越大，即TN2在每個時隙中釋放的分子數(shù)增多，則TN2對TN1造成的IUI也增加，從而可達的互信息I(X1;Y1)越小.當M1增加到一定值時，其它參數(shù)不變時，生物環(huán)境中的分子數(shù)增多，使得可達的互信息I(X1;Y1)增大到最高點對應的峰值并保持對應的峰值不變.圖7中，參數(shù)設置如下:d1=20μm，d2=30μm，D=79.4μm2/s，Ts=10s，β1p= β2p=0.01，β1c= β2c=0.5.

圖8和圖9分別展示了在 d1=20μm，d1=30μm，d1=40μm 和 D=50μm2/s，D=79.4μm2/s，D=120μm2/s分別取對應不同值的情況下，可達的互信息I(X1;Y1)隨M1的變化趨勢.我們可以看到，當M1增大時，互信息I(X1;Y1)隨M1增大而增大.對于相同的M1，當d1越小和D越大時，RN收到TN1釋放的分子的概率增大，從而互信息I(X1;Y1)的值越大.圖8中，當d1=20μm時對應的DBMC系統(tǒng)的互信息I(X1;Y1)最快達到峰值并保持峰值不變.此外，圖9中，當M1取某個值時，D在不同取值情況下對應的互信息的值均可達到它們的峰值并保持該值.圖8和圖9中相同的參數(shù)設置如下:d2=30μm，Ts=10s，β1p= β2p=0.01 和 β1c= β2c=0.5.此外，在圖8中設置D=79.4μm2/s，在圖9中設置d1=20μm.

圖8 在d1取不同值的情況下，可達到的互信息I(X1;Y1)與M1的關系Fig.8 Relationship between attainable mutual information I(X1;Y1)with M1 for different values of d1

圖9 在D取不同值的情況下，可達到的互信息I(X1;Y1)與M1的關系Fig.9 Relationship between attainable mutual information I(X1;Y1)with M1 for different values of D

參數(shù)Ts對多用戶DBMC系統(tǒng)的信道容量的影響同樣重要.圖10展示了互信息I(X1;Y1)在 Ts=1s，Ts=5s，Ts=10s三種不同取值情況下，隨著M1增大而不斷增大的變化趨勢.此外，當M1取相同的值時，Ts的值越大，TN2對TN1形成的IUI分子數(shù)增加，則互信息I(X1;Y1)越小.當生物環(huán)境中的信息分子越來越多，它們擴散的速度越來越慢.因此，當M1取某個值時，且其它參數(shù)不變時，可達的互信息I(X1;Y1)達到它的峰值并保持該值.圖10中，參數(shù)設置如下:d1=20μm，d2=30μm，D=79.4μm2/s，M2=80，β1p= β2p=0.01，β1c=β2c=0.5.

圖10 在Ts取不同值的情況下，可達到的互信息I(X1;Y1)與M1的關系Fig.10 Relationship between attainable mutual information I(X1;Y1)with M1 for different values of Ts

5 結束語

本文主要分析了多用戶DBMC系統(tǒng)的BER和信道容量性能.首先，利用泊松分布逼近二項分布得到了當前時隙接收方納米機器收到分子的個數(shù);然后，通過ISI和IUI的分子數(shù)所服從的Skellam分布，得到了最優(yōu)檢測閾值的數(shù)學表達式.在此基礎上分析了該系統(tǒng)的比特錯誤率和信道容量性能.仿真結果展示了不同的參數(shù)包括擴散系數(shù)、發(fā)送方納米機器和接收方納米機器之間的距離、信道傳輸概率、每個時隙釋放的分子個數(shù)以及每個時隙的持續(xù)時間對比特錯誤率和信道容量的影響，從而可通過控制這些參數(shù)的值，達到降低比特錯誤率和提高信道容量的目的.因此，本文的研究思路對多用戶分子通信系統(tǒng)的理論和實際應用有十分重要的意義.

然而，雖然我們在理論和MATLAB仿真中均考慮了真實的實驗參數(shù)，但我們的工作還未研究針對具體的應用場景進行測試.因此，在實際的基于生物啟發(fā)的分子通信系統(tǒng)中進行實驗驗證是我們下一步工作的重點研究方向.