三重積分計算中投影坐標面的選擇研究

摘 要：計算三重積分時投影面的選擇以及投影后坐標系的確定非常重要，這關乎后面運算的正確或錯誤。本文對三重積分計算中投影坐標面選擇依據做了全面研究：明確選擇投影面的依據以及具體投影后的坐標系差異選擇，幫助學生突破三重積分中坐標系選擇、投影面選擇這個知識難點，明晰解題思路，減少計算錯誤。

關鍵詞：三重積分；投影坐標面；坐標系

三重積分的投影法計算都要求投影到坐標面上去完成二重積分的計算，所以具體題目投影到哪個坐標面去計算就顯得尤為重要。如果投影面選擇不當，必將導致后面運算的困難或錯誤。因此教學中要重視三重積分計算中投影面的選擇依據以及具體投影后的坐標系差異選擇，通過例題分析示范，讓學生明確正確選擇的重要性。

下面首先明確三重積分選擇坐標面以及坐標系求解的依據；接著通過舉例，幫助學生選擇投影坐標面以及投影后的坐標系，明晰解題思路，簡化計算。

一、選擇合適的坐標系是計算三重積分的關鍵：

（1）若W在xoy面上的投影是x型或y型區域，說明積分限比較簡單，可以用直角坐標計算。

（2）若W是圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合，被積函數中的x、y以x2+y2或x/y的形式出現，用柱面坐標計算比較簡單。比如，球面與圓柱面，球面與旋轉拋物面，但不絕對。

（3）若W是球形、球形的一部分、球面與錐面圍成的部分，被積函數中的x、y、z以x2+y2+z2的形式出現，則適合用球面坐標計算。比如，球面與圓錐面，但不絕對。

二、三重積分投影坐標面選擇的問題：

我們發現：關于三重積分投影到哪個坐標面的問題與立體側面母線平行于哪個軸密切相關。多數情況下，我們會投影到xoy坐標面，但是有時為了計算簡便，可將立體Ω 投影到 yoz 面或 zox 面上，使三重積分化成其他順序的三次積分。

1、當立體側面母線平行于z軸，在xoy面上的投影區域為Dxy，則計算先z后xy，即是投影到xoy面上計算。

2、當立體側面的母線平行于y軸，它在xz面上的投影區域為Dxz，則可選擇先對 y 積分，然后到Dxz上作二重積分，即是投影到xoz面上計算。

3、側面的母線平行于x軸，它在yz面上的投影區域為Dyz，則可選擇先對x 積分，然后到Dyz上作二重積分。

例1.計算： 其中Ω：x2+y2+z2 ? 1，且z?0.（圖形見下面左邊圖）

分析：因為此題符合選擇截面法的兩個條件： ；且截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積易求。所以此題采用截面法完成相較于投影法計算更為簡單。

解：當0?z?1時，過（0，0，z）作平行于xOy面的平面，截得立體W的截面為圓。

故Dz的面積為：

例2.計算：

（圖形見右圖）

分析：若先對 z 積分，即投影到xoy坐標面去完成。由于沿z 軸方向的下方曲面和上方曲面均由兩片曲面組成，且W在xy面上投影區域相對復雜，積分較繁。

改為先對 y 積分，即投影到xoz坐標面去完成。因為立體側面的母線平行于y 軸。投影后利用極坐標計算這個二重積分。

解：投影到xoz坐標面去完成。求W在xz面上的投影區域Dxz。 消去 y，

綜上，我們看到：

1、有些題目有多種方法可以選擇，選擇哪一類計算方法，需要根據積分區域以及被積函數的特征來對比決定方法的利弊。

2、不管利用哪一種坐標系來計算“三重積分”，一定要正確選擇投影坐標面完成不同坐標系下的二次積分。

在實際教學過程中，我們可以通過更多的實例讓學生探索：如何通過適當選擇坐標系以及投影坐標面來求解“三重積分”以達到簡化運算的目的。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學教研室主編.高等數學[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2] 羅釗，韓天勇，王偉鈞.高等數學（下冊）[M].北京：科學出版社，2010.

作者簡介：

吳文前（1968—），女，成都大學信息科學與工程學院副教授，碩士。研究方向：數學教育

（作者單位：成都大學信息科學與工程學院）