第一類、第二類曲線積分的對比研究

摘 要：第一類與第二類曲線積分是高等數學教學中對學生有難度的一個應用問題。首先是對積分概念引入的理解有難度，其次對計算方式的選擇分辨不清楚。本文通過對教學實踐的總結，從一、二類曲線積分的引入背景以及積分策略、積分注意事項做了全方位的對比分析研究，通過這種共性以及差異的分析歸納總結，幫助學生有效區分一、二類曲線積分，減少運算錯誤。

關鍵詞：高等數學；第一類曲線積分；第二類曲線積分；

第一類與第二類曲線積分是高等數學教學中對學生有難度的一個應用問題。二者研究的內容（概念、計算方法）以及解決的問題有相同的地方，更有不同的地方。通過對教學實踐的總結，從一、二類曲線積分的引入背景以及積分策略、積分注意事項做了一個全方位的表格對比分析，通過這種尋找共性以及差異的分析歸納總結方式，幫助學生正確有效的把握兩類曲線積分的關系。

一、第一類與第二類曲線積分的共性與差異

二、如何從題目的陳述上區分是第一還是第二類曲線積分？

例1.求 ，其中L是拋物線 上從點A（1，2）到點B（1，-2）的一段弧。

例2.求 ，其中L是拋物線 上從點A（1，-1）到點B（1，1）的一段。

解：區分曲線積分要觀察兩個地方：積分微元；以及積分路徑與方向有沒有關系。

容易知道：例1與方向無關，屬于第一類曲線積分；例2與方向有關，屬于第二類曲線積分。

三、舉例辨析不同曲線積分的不同解法：

例1.求 ，其中L是拋物線 上從點A（1，2）到點B（1，-2）的一段弧。

解：L關于 x 軸對稱。若函數 是關于y的奇函數，則積分為0。

所以：原式= 0

例2.求 ，其中L是拋物線 上從點A（1，-1）到點B（1，1）的一段。

解：雖然L關于 x 軸對稱。但是第二類曲線積分不能用對稱性化簡，因為第二類曲線積分與方向有關。

取 y 為參數，則L的參數方程為：

綜上，在實際教學過程中，我們可以通過更多的實例讓學生深刻理解第一類與第二類曲線積分的差異，幫助學生讀清楚題目的要求，準確抓出解題方法，以達到簡化運算的目的。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學教研室主編.高等數學[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2] 楊晉浩，張勇，羅釗.高等數學（上冊）[M].北京：科學出版社，2010.

[3] 羅釗，韓天勇，王偉鈞.高等數學（下冊）[M].北京：科學出版社，2010.

作者簡介：

吳文前（1968—），女，成都大學信息科學與工程學院副教授，碩士。研究方向：數學教育

（作者單位：成都大學信息科學與工程學院）