基于區間證據推理的多屬性決策方法

谷玲玲， 耿秀麗

（上海理工大學 管理學院，上海 200093）

多屬性決策（multiple attribute decision making，MADM）是在綜合各項指定屬性評估結果的基礎上選出最優方案的一種決策方法，是現代決策科學的重要組成部分，其理論和方法被廣泛應用于管理、經濟等眾多領域。但受制于備選方案的復雜性、不確定性及信息的模糊性[1]，專家在進行屬性評估時，往往會出現對一些屬性信息了解不完整、含糊不清的情況。證據推理方法（evidential reasoning，ER）因其能有效處理不確定、不完全屬性評估信息，并具有無需先驗概率、推理形式簡單等優點[2-3]，常用于解決不確定、不完全的多屬性決策問題。文獻[4]針對方案的屬性值為區間灰數與確定語言等級的混合多屬性決策問題，提出采用ER方法的決策模型，解決決策屬性中的定量屬性評估信息的集成問題。文獻[5]基于規則的轉換技術處理定量信息，統一評估識別框架，并提出運用ER集成算法對定量評價信息進行合成。文獻[6]在If-then規則處理定量信息的基礎上，運用ER集成算法得到各結論屬性的確定因子。上述ER方法解決了定量屬性為準確評估信息的集成問題，而在實際決策過程中專家很難作出準確的評估，通常會出現定量屬性評估信息是區間形式的不確定性評估。為了使ER方法的使用更加廣泛、靈活，Xu等[7]在2006年提出將ER方法和區間測度理論相結合，提出區間證據推理（interval evidential reasoning，IER）方法，解決定量屬性評估值為區間形式的多屬性決策問題。文獻[8]考慮到多屬性決策過程中會遇到定量屬性評估的區間形式，基于區間證據推理方法解決了區間定量屬性的3種分布形式。文獻[9]通過α截集將同一決策問題中各屬性使用的精確數、區間數和模糊數等異構評估信度統一分解為區間結構，運用區間證據推理對區間定量屬性評估信息進行集結處理。

為提高決策的可靠性，專家在決策時往往會綜合考慮定量和定性指標，而對定性屬性的評估也經常會出現不確定的情況。針對這類問題，ER方法常與模糊集、前景理論、云模型等方法相結合來處理。文獻[10]基于直覺模糊集、前景理論和ER這3個方法，幫助企業建立績效評估模型。文獻[11]將置信規則和ER方法相結合，處理由于屬性信息不完整導致的不確定問題，為企業對顧客滿意度的評估提供有效途徑。文獻[12]將ER方法和層次分析法相結合，處理新產品風險評估階段的屬性信息不確定問題，決定哪種新產品開發方案更能贏得市場。文獻[13]在前景理論和ER方法的基礎上提出了基于直覺模糊的決策方法。文獻[14]將擴展原理與ER相結合來解決混合不確定的多屬性決策問題。文獻[15]將多準則妥協解排序法與ER相結合，解決不完全屬性信息的群決策問題。文獻[16]將客觀賦權法與ER相結合，解決不確定定量、定性屬性信息間統一轉換的問題。

在多屬性評估過程中，屬性評估信息除了會出現定量屬性評估的區間形式外，定性屬性評估也會出現區間形式。因此，本文針對定量、定性屬性混合的不確定多屬性決策問題，提出一種區間證據推理方法，從而確定定性屬性的評估等級和評估等級信任度，同時解決定量屬性區間評估值的不確定問題。首先，對定性和定量屬性進行分別處理，將定量屬性的評估值轉換到與定性屬性相統一的信任識別框架中；其次，運用IER集成公式對各屬性評估信息進行逐步迭代集結，得出各方案的信任識別框架；然后，運用效用理論計算各方案的最小、最大和平均效用值，根據各方案的平均效用值對方案進行排序，得出最優方案；最后以某生鮮電商選擇生鮮供應商為例，驗證所提方法的有效性。

1 區間證據推理相關概念

IER方法是用區間形式的置信度表示每個評價指標在不同評價等級下的評估信任度，具有更強處理不確定信息的能力。該方法主要是統一區間形式的定性和定量屬性評估信息的信任識別框架，對區間不確定評估信息進行逐步集成處理，解決區間型不確定評估信息的融合問題，得出各方案在各評估等級下的信任度，采用效用理論，計算各方案的最大、最小以及平均效用值，完成對方案的排序。

1.1 定性屬性的區間表示

定義2 設有N個評估等級，各屬性ei之間相互獨立。對方案al下的基本屬性ei的評估等級不確定，可用其信任識別框架表示為

式中：Hb～c表示屬性的不確定評估等級區間；βb～c,i（al）表示方案 al下基本屬性 ei被評估在等級區間Hb～c的信任度。

如果對基本屬性ei的評估等級以及評估等級信任度不確定，則基本屬性ei的信任識別框架可表示為

且必須滿足以下條件：

如果對基本屬性ei的評估是確定的，則基本屬性ei的信任識別框架可表示為

對于不完全的區間評估分布，區間信任度并沒有被分配給任何一個特定的評估等級，但這未被分配的區間信任度會被分配給評估等級集H。β1～N,i（al）表示的是未被分配的信任度，其區間不確定信任度的表示形式為，其區間的端點值可通過式（7）～（8）[17]計算。

定義 3 設 mb～c,i（al）（，）為在方案al中屬性ei對應的基本概率分配值（basic probability assignments，BPA），其求解公式為

1.2 定量屬性的區間表示及轉換

假設ei是方案al下的一個定量屬性，且它被評估為等級Hn～n。定量屬性下的等級標準為，這里。t為精確的評估值，表示的是定量屬性ei的測量區間，并且屬于區間。ei的評估分布區間形式可表示成

將定量屬性轉化到與定性屬性統一的信任識別框架下，計算方法如式（12）～（17）[8]所示。

通過上面的計算，基本屬性ei的信任度包含了 βn～n,i和 β（n+1）～（n+1）,i這兩個部分，并且滿足以下條件：

2 區間證據推理的遞歸方法

2.1 遞歸方法

式中，Hb～b表示的是精確的等級，等同于ER方法中的等級 Hb。與 ER方法相似，HN～N和H1～1分別表示等級的兩個極端。等級區間用來表示評估過程中的等級不確定性，例如表示這個等級集里包含了等級。

假設一個決策問題有L個可供選擇的方案，且每個等級的效用值表示為。方案al的基本屬性表示為ei（al），其信任識別框架可表示為

式中，βb～c,i（al）指的是方案 al的基本屬性 ei被評估為等級區間Hb～c的信任度，其滿足：

式中，wi滿足。為了方便起見，本文將就是傳統的ER方法中的融入到了中的 BPA。

在證據集成過程中，為了使集成的次序清晰，本文引入了遞歸次數s，表示的是等級區間Hb～c在經過s次遞歸后得出的基本概率分配區間。表示的是在經過第s次遞歸后未知部分的概率分配。由此，第一次遞歸時s=1，得出：

一般情況下，這個遞歸集成的過程可以通過式（27）[9,17]來實現。

其中，Ks指的是在進行第s次遞歸時的歸一化系數，通過式（29）[17]得出。

運用式（27）～（29）進行L次遞歸后，所有方案下基本屬性的評估信息都將被融合。最終，得出每個方案的評估信任框架，用式（30）表示。

每個方案在各評估等級下的信任度，可通過式（31）[17]計算得出。

最后，運用效用理論計算每個方案的區間期望效用[umin（al），umax（al）]。

方案之間的排序，根據方案的平均期望效用進行排序。

2.2 基于 IER 的多屬性決策過程

針對屬性評估信息的評估等級和評估等級信任度均為區間不確定性，本文提出IER方法解決這類不確定多屬性決策問題。該方法首先確定可供選擇的L個方案以及對應的評估指標，并采用專家給出的指標權重wi。在設立統一的評估識別框架的基礎上，專家對各方案的指標進行客觀的評估，而后運用IER方法對屬性的不確定評估信息進行處理。基于IER方法的多屬性決策流程如圖1所示，其具體步驟如下：

步驟3 對于定量屬性，先由專家給出定量屬性的評估值，以及定量屬性的參考值所對應的評估等級，運用式（12）～（17）對屬性評估信息中定量屬性信息進行處理，將定量指標轉換到與定性屬性相同的信任識別框架中。

步驟4 運用式（23）～（24）計算各方案屬性的基本概率分配值BPA，得出各基本屬性的概率分配函數mb～c,i（al），以及未分配的基本概率分配函數。

步驟5 運用式（29）計算第s次遞歸時歸一化系數Ks，再運用區間證據推理的集成式（27）～（28），對各基本屬性的概率分配mb～c,i（al）進行證據集成，得出各個方案的概率分配mb～c（al），以及剩余未分配的概率分配值。

步驟6 運用式（31）計算每個方案對應各評估等級Hn～n的信任度，再運用式（30）表示證據集成后的各方案評估信任識別框架。

步驟7 運用式（32）～（34）計算得出各方案的最大、最小和平均期望效用，根據平均期望效用值對方案進行排序，得出最優方案。

圖 1 區間證據推理的多屬性決策過程Fig.1 Multiple attribute decision making process based on interval evidential reasoning

3 數值與算例分析

隨著市場經濟的不斷發展，企業之間的競爭愈演愈烈，已逐漸演變成供應鏈之間的競爭。與此同時，人們生活水平的提高，對生鮮食品的期望越來越高，生鮮供應商的選擇已經成為生鮮電商之間競爭的首要競爭要素。某生鮮電商為了贏得競爭優勢，占據市場領先地位，現尋找優質的生鮮供應商。目前共有5家生鮮供應商（a1, a2, …,a5）符合公司的基本要求，每家都具有其優勢。專家對這5家生鮮供應商的評價信息見表1，其中定性屬性有商品新鮮度（e1）、運輸設備標準化（e2）、信息化水平（e3）、供貨柔性（e4）；定量屬性有商品合格率（e5）、運輸費用（e6）、準時交貨率（e7）、食品可追溯率（e8）。其中：供貨柔性是指供應商在產品的品種、數量以及配送時間方面的柔性程度；運輸費用是指一定數量的產品每公里需要支付的費用；客戶投訴率是指顧客每月因產品的質量、安全等投訴的次數；產品可追溯率是指可被追溯的產品種類與總產品的比值。在現實生活中，生鮮電商企業通過對比這5家供應商的生產設備技術條件等，已決定選擇第5家生鮮供應商。為驗證本文所提方法是否具有可行性和適用性，本文將IER方法運用到該案例中，分析運用IER得出的結果是否與現實結果相符。具體評估信息如表1所示。

表 1 專家對5家供應商的相關指標評估的原始信息Tab.1 Original information for expert assessment of relevant indicators for 5 vendors

對各定量屬性和定性屬性的評估，假設共有5個評估等級：差（P）、一般（A）、好（G）、很好（VG）、極好（E）。評估等級集H={P，A，G，VG，E}={H1～1， H2～2， H3～3， H4～4， H5～5}， 其 中Hn～nH（n+1）～（n+1），且各評估等級的效用值 u（H）={u（P），u（A），u（G），u（VG），u（E）}={0，0.4，0.6，0.8，1}。定量屬性評估的標準見表2。

表 2 定量屬性的等級評估標準Tab.2 Rating criteria for quantitative attributes

專家對這5家生鮮供應商的相關指標進行了評估，并以區間的形式表達信息的不確定，并給出了定量指標的等級評估標準。e6是方案a1下的一個精確評估的定量屬性，專家給出的值是53，據等級評估標準值表，可知該指標的評估等級介于G和VG之間。根據式（12）和式（13）可計算出該定量指標的信任度：

計算得出a1下的定量屬性e6對應的信任度可表示為：{（G，0.25），（VG，0.75）}。同樣的方式可以計算出其他精確評估的定量屬性的信任度。

屬性e7是方案a1下的區間定量評估，其評估區間是[72%,74%]，根據式（14）～（17）可以計算出區間對應的評估信任度：

通過計算得出方案a1下屬性e7對應的信任度：{（A，[0.2，0.6]），（G，[0.4，0.8]）}。通過同樣的方式可以計算出其他區間定量屬性的信任度。最終，所有定量屬性對應的信任度將通過式（12）～（17）計算出，結果見表 3。

根據式（25）～（33）計算每個方案下各屬性評估等級的概率分配值，然后，運用集成公式對各屬性的評估信息集結，得出每個方案的信任度，結果見表4。通過表4中各方案評估信任度，運用效用理論計算各個方案的最小、最大和平均效用值。

表 3 所有屬性評估的信任框架Tab.3 Trust framework for all attribute evaluation

表 4 集成后各方案的評估信任度Tab.4 Evaluation trust of each integrated scheme

根據平均期望效用值對這5家生鮮供應商進行排序，最終結果見表5。

表 5 各方案的平均期望效用及排序Tab.5 Average expected utility and ranking of each scheme

從表5的排序結果可以得出運用IER方法計算得出的結果與案例的現實結果相符，即生鮮電商應選擇第5家生鮮供應商較為合適。通過對這5家生鮮供應商的指標評估信息比較，本文發現第5家生鮮供應商在食品的新鮮度以及合格率方面優于其他4家。據此，本文得出在各項設備技術條件相同的環境下，各生鮮企業應該對食品的生鮮度以及合格率予以關注，才能在市場競爭中脫穎而出。

與傳統的ER方法相比，本文提出的IER方法適用于定量和定性混合不確定的區間多屬性決策，解決屬性信息的評估等級信任度、評估等級和評估數值為區間形式的合成問題。通過對生鮮電商選擇生鮮供應商的研究分析，得出第5家生鮮供應商是生鮮電商最佳可選的生鮮供應商，且結果與現實相符，證明了區間證據推理方法是有效的、可行的。

4 結束語

考慮到在多屬性決策過程中屬性信息的評估等級、評估等級信任度和定量屬性評估出現不確定區間的表達形式，本文提出了IER方法解決多屬性決策問題。該方法具有以下特點：

a. 多屬性決策過程中，充分考慮到屬性信息的評估等級、評估等級信任度以及定量屬性評估的不確定性，均以區間的形式表示對各屬性的不確定評估。

b. 在專家給出定量屬性評估標準值的基礎上，運用區間證據推理的轉換方法，將定量屬性的評估值轉換到與定性屬性相同的信任識別框架中。

c. 引入區間證據推理的集成方法，對各屬性評估信息進行逐步迭代集結，得出各方案的信任識別框架。采用效用理論，計算各方案的效用值，根據各方案的平均效用值進行決策。

通過對國內某生鮮電商選擇生鮮供應商的研究分析，表明所提方法的有效性與可行性。雖然本文運用區間證據推理方法解決了定性屬性評估信息的評估等級、評估等級信任度以及定量屬性評估值不確定的區間形式問題，但針對多屬性決策過程中屬性評估信息不確定形式多樣化的問題，證據推理的應用仍有待進一步探索。