無窮級數(shù)的柯西和與切薩羅和

趙小玲 上海電機學(xué)院 文理學(xué)院

無窮級數(shù)求和問題是級數(shù)教學(xué)中的一個起點，也是重點和難點。在《高等數(shù)學(xué)》中，首先定義了無窮級數(shù)的收斂和發(fā)散，接著才定義了收斂級數(shù)的和，這種和稱為柯西和。可以發(fā)現(xiàn)，此種定義框架下，發(fā)散級數(shù)是不能求和的。但是，當(dāng)我們改變和的定義方式時，某些發(fā)散級數(shù)也能求和，且與柯西和是相容的。意大利數(shù)學(xué)家切薩羅就提出了另一種定義方式方式，讓我們可以求出某些發(fā)散的無窮級數(shù)的和。

一、柯西和

利用上述定義，即求部分和數(shù)列的斂散性，我們可以得到級數(shù)的斂散性，并求出收斂級數(shù)的和。

例1：用柯西和定義討論下列級數(shù)的和。

（2）1-1+1-1+…+(-1)n-1+…

（3）1+2+3+4+…+n+…

解：(1) 因為級數(shù)的前n 項的部分和

在判斷級數(shù)收斂或發(fā)散時，我們還特別強調(diào)了如下一些性質(zhì)。

（1）收斂級數(shù)的逐項和構(gòu)成的新級數(shù)仍然收斂；發(fā)散級數(shù)的逐項和構(gòu)成的新級數(shù)不一定發(fā)散；如果兩級數(shù)逐項和的新級數(shù)發(fā)散，原級數(shù)中至少有一個發(fā)散；如果兩級數(shù)逐項和的新級數(shù)收斂，原級數(shù)不一定都收斂。

（2）在級數(shù)中增加或減少有限項不改變級數(shù)的斂散性；但在收斂時，級數(shù)的和數(shù)不同的；

（3）在收斂級數(shù)上任意加括號構(gòu)成的級數(shù)仍然收斂，且和不變；若加括號構(gòu)成的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)一定發(fā)散；若加括號構(gòu)成的級數(shù)收斂，原級數(shù)不一定收斂（即不能用加括號改變級數(shù)運算順序的方法求級數(shù)的和）。 在第三個性質(zhì)中，著重強調(diào)了發(fā)散級數(shù)求和不能任意加括號。例如是發(fā)散的，但是在給此級數(shù)用不同的方法加括號以后有：這兩個加括號后改變運算順序的級數(shù)均是收斂的，但收斂到不同的數(shù)值。表明用任意加括號的方法求級數(shù)的和并不科學(xué)。

那么，對于發(fā)散級數(shù)，有沒有一種方法可以更好地描繪級數(shù)趨近于哪一個常數(shù)呢。比如格蘭迪級數(shù)，它的和一直在0 和1 之間擺動，我們直觀上認為，它應(yīng)該趨近于二分之一比較合理。事實上，用切薩羅求和，確實可以得到這樣的結(jié)論。

二、切薩羅和

例如：用切薩羅和定義討論例1 中各級數(shù)的和。

解：(1) 因為級數(shù)的前n 項的部分和

所以級數(shù)和為1。可見，此定義方式與柯西和是相容的，即柯西和若存在，則切薩羅和也存在且與柯西和相等。

當(dāng)然，切薩羅和也不是萬能的，對于（3）這個全體自然數(shù)相加的發(fā)散級數(shù)，用切薩羅定義不能求出它的和。

從以上例子可以看出，在研究無窮級數(shù)求和的發(fā)展過程中有著很多數(shù)學(xué)理論上的跳躍式發(fā)展。全體自然數(shù)相加的級數(shù)，用切薩羅定義不能求出它的和，但是用拉馬努金和的定義方式可以得到一個令人瞠目結(jié)舌的 “和”。我們在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中要特別注意數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，注意數(shù)學(xué)架構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)清晰，有理有據(jù)。在一定的公理體系下，通過嚴(yán)密的邏輯推理，可以發(fā)展出不同的數(shù)學(xué)新分支，豐富數(shù)學(xué)理論。