基于數學學科核心素養的圓錐曲線教學思考

李麗瑩

一 引言

圓錐曲線是平面解析幾何的核心內容，在高考試題中占據重要地位。尤其是近幾年以圓錐曲線性質為背景的題目已經成為高考命題的熱點內容之一，這部分知識點對學生的綜合能力要求較高，對學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算等數學學科素養也有一定的要求。大多數學生認為這類知識點是高中數學學習過程中的一個絆腳石，難在解題思路的尋找、解題方法的選取、數學工具的靈活運用等等，對于較復雜的綜合性問題，學生往往不知從何下手。2018年1月，《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出數學學科核心素養，圓錐曲線作為高考必考考點，考察了多方面的數學學科核心素養，而圓錐曲線存在老師教學難，學生學習難的問題。由此可見，基于數學學科核心素養的圓錐曲線教 學研究對于提升學生的基本知識、基本技能、數學能力、數學學習態度與情感具有重要的現實意義，研究中主要圍繞考、學、教三方面進行研究，以考點為教學導向，提出教學建議，讓學生在新課教學與備考復習中做到有效學習。

二 簡析圓錐曲線知識點

《普通高中數學課程標準（2017年版）》對這部分的要求是：“了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓定義、標準方程及簡單幾何性質；了解拋物線和雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質；通過圓錐曲線和方程的學習，進一步體會數形結合的思想；了解橢圓、拋物線的簡單應用。”[1]

通過分析、整理得出圓錐曲線這部分題型主要考查以下幾類問題：①求曲線的方程問題。這類題型通常分為兩種情況，一是當曲線類型已知時，通常運用題目已知的信息用待定系數法求曲線的方程；二是當曲線類型未知時求軌跡方程，通常借助圓錐曲線的定義求解。這類題型要求學生掌握圓錐曲線的定義及幾何性質，學會利用數形結合的思想方法解決問題。②求定值、定點、最值及范圍問題。由于這類題型的綜合性較高，因此對于大多數學生而言難度較大。對于定值問題，通常先考慮特殊情況求出定值，再證明這個定值是與變量無關的，或者是直接通過推理計算，在推理和計算的過程中消去變量，從而得到定值；對于定點問題，通常先設出直線方程，再建立等量關系，進行消元，然后借助直線方程的特征找出定點；對于最值問題，通常運用兩種方法：一是幾何法，通過已知條件借助幾何特征解決問題；二是代數法，通常先建立目標函數，再用函數的性質求其最值，例如：配方法法、判別式法、基本不等式法或單調性法等求函數的最值；對于參數的取值范圍問題，通常是根據已知條件建立函數或不等式，再求參數的范圍。③存在性問題，這類題型通常是考查直線與圓錐曲線位置關系的存在性問題。可先假設存在滿足題意的情況，經過推理和論證得到滿足題意的結果，進而得出存在的結論，若得到的結論與已知條件、定義、定理等相互矛盾，則假設不成立。圓錐曲線這一模塊主要考查的是基礎知識、基本思想、基本方法以及數學運算、邏輯推理、數學建模、數學抽象的核心素養，題型重點突出、內容全面、形式多樣、解法不一。

由以上的歸納可知，圓錐曲線試題突出基礎性、全面性和綜合性。那么，我們應該怎么樣利用它的特性尋找到有效的教學方式呢？

三 教學建議

由近兩年的考點趨勢可以看出，圓錐曲線知識點的考查逐漸往定義和性質兩個方向靠近，注重考查學生的基礎知識以及所具備的數學核心素養。因此，為了更好的落實新課標中對于圓錐曲線的要求，筆者基于數學學科核心素養，提出幾點教學建議，旨在幫助教師有目標的教學。

（一）創設問題情境，激發學習興趣

根據建構主義理論，建構主義學習觀認為學習不是由教師把知識簡單地傳遞給學生，而是由學生自己建構知識的過程。學生不是簡單被動地接收信息，而是主動地建構知識的意義，這種建構是無法由他人來代替的。而教師應該給學生提供復雜的真實問題，學生不僅要發現這些問題，而且必須認識到復雜問題有多種答案，激勵學生用不同的方法解決問題，這顯然是與創造性的教學活動宗旨緊密相吻合的。教師必須創設一種良好的學習環境，學生在這種環境中可以通過實驗、獨立探究、合作學習等方式來展開他們的學習。數學核心素養的培育需要合適的問題情境與教學過程學生的思維品質、關鍵能力的形成和發展，需要在情境與過程中模仿、探究、體驗、感悟，問題情境與教學過程是理解數學的必經之路。[2]

對于大多數學生而言，圓錐曲線這部分知識是抽象乏味的，因此激發學生學習知識的興趣是不可忽視的事情，注重問題情境的創設可以有效的解決這一問題，在新課改的背景下，教師的教學應更加注重情境化，由于每一個數學知識都蘊含著特有的數學文化與生活情境，因此不同的問題情境能夠幫助學生感受知識形成的過程和更好的記憶知識點。

例如，在橢圓的第一課時教學前，教師可以給學生播放行星運行的視頻，讓學生觀察行星的運行軌道是什么樣的？運行軌道又有什么樣的幾何特征？以此為學生創造問題情境，有效的激發學生的積極性，可以使得后續的教學更好地進行。這樣的教學方式，往往會達到功必倍之效果。

（二）重視基礎知識，深刻理解定義

在數學學習中，我們所做出的判斷和推理，一般是以定理、法則、公式的方式表現出來，而數學概念正是構成它們的基礎。學生能否正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的關鍵因素。

從高考真題中可以看出，圓錐曲線的第一道小題大多都是考查學生對于定義的理解。因此教師在課堂教學中要回歸課本，重視概念的教學，完善學生的知識體系，落實學生對每個定義、定理以及性質的理解。學生沒有在理解的基礎上去記，往往導致學生做題時無法靈活運用，間接導致學生計算量增大[3]。

例如，在橢圓的定義教學過程中，教科書上對于橢圓的定義是“平面內與兩個點F1、F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫作橢圓。這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。”如果在定義的教學中，教師生硬的將橢圓的定義灌輸給學生，學生將不會深刻的理解定義和靈活運用定義。相反地，如果教師重視知識形成的過程，在教學前讓學生動手實驗畫出橢圓，學生會有一個深刻的印象，同時也能更好的理解定義。

（三）培養創新意識，加強拓展訓練

當前有許多高中依然采用機械的方法大量地刷新題庫，在這種教學方式下，學生思維僵化而無創新能力，學習場轉變為做題訓練場[4]。圓錐曲線教學的過程也是培養學生創新意識的過程，每一道圓錐曲線的試題，都有不同的方式解決。教師在教學的過程中，應該鼓勵學生嘗試用不同的方式解決問題，通過這種教學方法，可以有效的培養學生的發散性思維和創新意識。

例如，在2019年全國卷Ⅱ理科數學21題的第二小題中，大多數學生的慣性思維是設過原點的直線，但如果學生先設另外兩條直線，會發現解題的過程有巨大的差異，每種解法都有自身的優缺點。教師應鼓勵學生嘗試不同解法，尋找最合適的途徑。

（四）培養核心素養，落實每個課堂

自新課標實施以來，學生的數學核心素養培養越來越受到國家的重視。高考作為衡量高中教育的最后一次考試，其試題的設置也都意在考察學生的數學核心素養，對于圓錐曲線這部分知識來說，它既能夠在各個方面培養學生的數學核心素養，例如數學抽象、數學運算、數學建模和邏輯推理等，又能夠培養學生的思維，將學生的思維打開。課堂，從來都不只是教師表演的舞臺，只有學生的積極參與，才有活力四射的課堂；只有學生的素養提升，才能體現課堂教學的價值[5]。因此教師在教學的過程中，不要一味的教學生解題，而要注重數學核心素養的滲透。

例如，圓錐曲線題型的運算量較大，是培養學生數學運算核心素養的良好載體。但是許多教師在教學過程中，都很少留有足夠的時間給學生計算，有的教師甚至是直接將最終答案公布給學生，這種方法是不可取的。只有讓學生親自體會每一步計算所蘊含的技巧，才能夠有效地將其轉化為自己的技能。通過這種方式，學生的思維才能得到更好的訓練，數學運算的能力才能得以 提升。

（五）提前感知知識，加強數學思維

在平日里的授課教學中，教師可以讓學生提前感知知識形成的過程，例如，圓錐曲線中重要的一種解題方法是“相關點法”，教師不一定要在這個模塊才為學生介紹這個方法，教師可以在直線與直線的位置關系這個知識點講解時提到這個方法，比方說，當我們要求一條直線關于另一條直線的對稱直線，我們可以假設對稱直線上點的坐標為（x,y），再利用直線與直線之間的位置關系表示對稱直線的方程。教師可以在其它知識點講解時滲透這種思想，雖然剛開始學生們會難以理解，但是教師提前為學生“鋪路”，隨著學生的思維不斷提高，當學生再次遇到這個問題時，就會迎刃而解。

四 總結

圓錐曲線是培養學生數學核心素養的重要載體，教師是提升學生數學核心素養的主要對象，課堂是提升學生數學核心素養的重要途徑。所以教師在課堂上不能局限于幾道題數學題的解答，而要深入挖掘數學問題的育人價值，樹立以發展學生數學核心素養為導向的數學意識[6]。在教學中，教師還要不斷探尋新的教學方式，以學定教，做到有的放矢的教學。