基于彈性力學(xué)的端部有裂縫懸臂梁的自由振動(dòng)分析

蔣 杰， 周 叮， 胡朝斌

(南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京 211816)

在土木、航天等領(lǐng)域中，許多復(fù)雜構(gòu)件常常簡(jiǎn)化為梁式構(gòu)件進(jìn)行分析，如汽輪機(jī)的葉片和飛機(jī)的機(jī)翼等。由于在長(zhǎng)期復(fù)雜的受力環(huán)境下，梁構(gòu)件可能會(huì)產(chǎn)生裂縫，從而降低結(jié)構(gòu)的剛度，導(dǎo)致固有頻率下降和響應(yīng)增大。眾所周知，懸臂梁的端部因承受彎矩最大，極易產(chǎn)生裂紋。Chondros等[1]將懸臂梁端部帶裂紋截面的抗彎能力等效為扭轉(zhuǎn)彈簧，其彈簧剛度大小與裂紋的深度緊密相關(guān)。Bamnios等[2]通過(guò)理論和實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)等效扭轉(zhuǎn)彈簧法僅適用于懸臂梁端部裂縫深度較小的情況，對(duì)于深裂紋該模型會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。Yokoyama等[3]采用線性扭轉(zhuǎn)彈簧模擬任意位置處的裂紋，結(jié)合Euler-Bernoulli梁理論和能量法建立自由振動(dòng)控制方程，得到的固有頻率與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。然而，裂紋梁的主變形是連續(xù)的，彈簧模型無(wú)法考慮到裂紋周?chē)膽?yīng)力釋放。Shen等[4]通過(guò)引入裂縫函數(shù)對(duì)裂縫引起的應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行修正，建立了含有淺裂紋的Euler-Bernoulli梁的運(yùn)動(dòng)方程，用伽遼金法和局部利茲法得到自振頻率和相應(yīng)的振型。Chondros等[5]建立了連續(xù)裂縫梁理論模型。結(jié)果表明，連續(xù)裂縫梁模型比等效扭轉(zhuǎn)彈簧模型更接近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果。Ebrahimi等[6]基于該理論模型，分析了含有縱向或橫向裂紋梁的動(dòng)力特性，與有限元對(duì)比顯示出很好的一致性。楊鄂川等[7-8]基于連續(xù)梁理論模型，分析了旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)下裂紋梁的橫向振動(dòng)特性。由于Euler-Bernoulli梁理論只適用于長(zhǎng)細(xì)比較小的細(xì)長(zhǎng)梁，對(duì)于中厚梁，需考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，可采用Timoshenko梁理論來(lái)描述梁的變形。Swamidas等[9]分析得出，當(dāng)l/h>10時(shí)采用Euler-Bernoulli梁理論和Timoshenko梁理論得到的結(jié)果相似，當(dāng)l/h<10時(shí)則二者結(jié)果誤差較大，Timoshenko梁理論的結(jié)果更接近真實(shí)值。徐福后等[10]基于傳遞矩陣法分析含裂紋Timoshenko梁自由振動(dòng)特性，數(shù)值計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。Liu等[11]分析了帶有斜裂縫懸臂梁的自由振動(dòng)特性。馬輝等[12]使用有限元法分析了非對(duì)稱(chēng)夾持的裂縫懸臂梁的振動(dòng)響應(yīng)。由上述文獻(xiàn)可知，國(guó)內(nèi)外學(xué)者很少對(duì)梁端部裂紋進(jìn)行精確分析。對(duì)于長(zhǎng)細(xì)比更小的梁，Timoshenko梁理論仍會(huì)產(chǎn)生較大誤差，此時(shí)須采用更為精確的彈性力學(xué)理論進(jìn)行分析求解。

本文基于精確的二維彈性力學(xué)理論，分析端部有裂縫懸臂梁的自由振動(dòng)特性。在裂紋尖端處將裂紋梁沿水平方向劃分為邊界條件不同的兩層子梁，采用Chebyshev-Ritz[13-14]法建立每一層梁的二維振動(dòng)特征方程，通過(guò)上下層沿交界面的位移連續(xù)性條件得到整個(gè)懸臂梁的振動(dòng)特征方程。方法可以很好地分析端部有裂紋厚梁的固有振動(dòng)特性。

1 端部裂縫懸臂梁的振動(dòng)分析

1.1 懸臂梁模型和每層梁的動(dòng)力學(xué)公式

考慮如圖1所示的懸臂梁，長(zhǎng)為L(zhǎng)，高為h，寬為b，密度為ρ，泊松比為v，彈性模量為E，懸臂梁的端下部有裂縫，深度h1。設(shè)x方向的位移分量為u，z方向的位移分量為w，建立如圖1所示的分析模型。

圖1 端部有裂縫懸臂梁的分析模型

懸臂梁體積域的取值范圍為

(1)

不失一般性，考察第q(q=1，2)層梁的振動(dòng)特性，其線彈性應(yīng)變能Vq如下：

(2)

考慮x-z平面的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如下：

(3)

(4)

(5)

將式(3)～(5)代入式(2)得：

(6)

第q層梁的動(dòng)能Tq為

(7)

為了數(shù)學(xué)形式上的簡(jiǎn)化，將x，z坐標(biāo)作無(wú)量綱化處理，即：

(8)

1.2 每層梁的位移函數(shù)

不計(jì)阻尼，采用分離變量法，則第q層梁自由振動(dòng)的位移函數(shù)分量可以用下式表示：

uq(ξ,ζq,t)=Uq(ξ,ζq)ejωt，

wq(ξ,ζq,t)=Wq(ξ,ζq)ejωt

(9)

式中：t為時(shí)間，ω為裂紋梁的圓頻率，j為單位虛數(shù)，Uq和Wq分別為第q層梁在x方向和z方向的振幅函數(shù)。

將式(9)代入式(6)和(7)中，可得一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的第q層梁的最大應(yīng)變能和最大動(dòng)能分別為：

(10)

(11)

1.3 每層梁的振幅函數(shù)

利用第一類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式和簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的乘積分別構(gòu)造x方向和z方向的振幅試函數(shù)：

(12)

Ps(x)=cos[(s-1)arccos (x)],

s=1,2,3,…

(13)

本文兩層梁的邊界函數(shù)分量分別為

(14)

1.4 每層梁的特征方程

由瑞利-利茲法，得：

(15)

將式(10)～(14)代入式(15)可以得到第q層梁的特征值方程：

([Kq]-Ω2[Mq]){Xq}=0

(16)

式中 :

式中：[Kq]和[Mq]分別是第q層梁的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，可以通過(guò)高斯數(shù)值積分得到；{Aq}，{Bq}是第q層梁特征值方程中未知系數(shù)組成的特征向量。

(17)

式中：

(18)

式中，

δ=i,j,l,m

(19)

1.5 裂紋梁的特征方程

根據(jù)式(16)，裂紋梁的特征值方程為

([K]-Ω2[M]){X}={0}

(20)

式中：

{X}={{X1} {X2}}T

由于上下兩層梁在界面處須滿(mǎn)足位移連續(xù)性條件，即：

U1(ξ,1)=U2(ξ,-1)，

W1(ξ,1)=W2(ξ,-1)

(21)

將式(21)代入式(12)得：

(22)

又由于切比雪夫多項(xiàng)式具有如下性質(zhì)：

Pc(1)=1，Pc(-1)=(-1)c-1，

(23)

將式(23)代入式(22)，兩邊同時(shí)乘以PI(ξ) (I=1,2,3,…,I2)并在區(qū)間(-1,1)對(duì)(積分得式(24)。

l=2,3，…，L1

(24)

其中，

由于式(20)中的列向量{X}的系數(shù)并不都是獨(dú)立的，須通過(guò)式(24)消去非獨(dú)立系數(shù)，新建立一個(gè)含有N個(gè)獨(dú)立系數(shù)的列向量。

(25)

(26)

將式(26)代入式(20)得:

(27)

通過(guò)求解廣義特征值方程(27)，可以得到任意階無(wú)量綱特征頻率和相應(yīng)的特征模態(tài)系數(shù)。

2 特征頻率的收斂性和比較研究

為了驗(yàn)證本方法的精確性,考察一端部帶有裂縫的懸臂梁，計(jì)算參數(shù)為：h/L=0.1,v=0.3。為了便于分析，可對(duì)振幅函數(shù)U、W截?cái)嘞嗤那斜妊┓蚣?jí)數(shù)項(xiàng)即：(I1=I2=L1=L2=m)和(J1=J2=M1=M2=n)。表1給出了不同裂縫深度(h1/h=0.1、0.2、0.5)下，裂紋梁前八階無(wú)量綱頻率參數(shù)Ω的收斂性。由表可知，隨著截?cái)囗?xiàng)(m×n)的增加可以保證前八階無(wú)量綱特征頻率參數(shù)具有四位有效數(shù)字的精度。

(a) 第一階頻率

(b) 第二階頻率

(c) 第三階頻率

圖2 不同高跨比下裂縫深度對(duì)前三階無(wú)量綱頻率的影響

表2給出了不同高跨比(h/L=0.1，0.2，0.3)下，裂紋梁的前八階無(wú)量綱頻率參數(shù)Ω與有限元解的比較。從表中可以看出，二者的結(jié)果吻合很好，其最大相對(duì)誤差只有0.06%，證明本文分析方法對(duì)于含裂縫的細(xì)長(zhǎng)梁和短粗梁都是有效的。

表3進(jìn)一步給出了高跨比為h/L=1/15時(shí)，第一階頻率參數(shù)Ψ的本文解和文獻(xiàn)[1]以及有限元解的比較?？梢钥闯?，對(duì)于淺裂紋，本文解和二者的結(jié)果都很接近，證明用本文方法研究此類(lèi)問(wèn)題的適用性與優(yōu)越性。

3 參數(shù)分析

為了研究高跨比和裂縫深度對(duì)懸臂梁特征頻率的影響。圖2給出了不同高跨比(h/L=0.1，0.2，0.3，0.4)下，裂縫深度對(duì)前三階無(wú)量綱特征頻率的影響。由圖2可知，隨著裂縫深度的增加，頻率逐漸減小，且頻率的減小速率逐漸增大；隨著高跨比的增加，裂縫深度對(duì)第一階頻率的影響將越來(lái)越明顯。

表2 有限元和本文結(jié)果的比較(h1/h=0.5)

表3 第一階頻率參數(shù)Ψ=ω1/ω1n的比較

考察高跨比和裂縫深度對(duì)懸臂梁上下表面振型的影響。取h1/h=0.5，圖3給出了不同高跨比(h1/L=0.1，0.2，0.3)下，梁上下表面豎向位移W的前三階振型圖。從圖中可以看出，高跨比越大、頻率階次越高，梁的上下表面振型差異就越大。圖4給出了高跨比為h/L=0.2時(shí)，不同裂縫深度(h1/h=0.1、0.5、0.8)下的懸臂梁上下表面豎向位移W的前三階振型圖。由圖可知，頻率階次越高、裂縫越深，梁上下表面振型的差異就越大。

(a) 第一階頻率

(b) 第二階頻率

(c) 第三階頻率

圖3 不同高跨比下W的前三階振型圖

Fig.3 The first three mode shapes ofWfor different height span ratios

(a) 第一階頻率

(b) 第二階頻率

(c) 第三階頻率

圖4 不同裂縫深度下W的前三階振型圖

Fig.4 The first three mode shapes ofWfor different crack depths

4 結(jié) 論

本文基于二維線彈性理論，利用切比雪夫-利茲法建立端部有裂紋懸臂梁的振動(dòng)特征方程。將本文解與已有文獻(xiàn)以及有限元解進(jìn)行比較驗(yàn)證了本方法的正確性和精確性。參數(shù)化分析了裂縫深度、高跨比對(duì)特征頻率和振型的影響。主要結(jié)論如下：

(1) 相比于文獻(xiàn)中的等效彈簧法，本文求解特征頻率無(wú)需任何模型假設(shè)。建立了一個(gè)簡(jiǎn)單和精確的端部裂紋梁分析模型。使用切比雪夫多項(xiàng)式與幾何邊界函數(shù)的乘積來(lái)構(gòu)造梁位移試函數(shù)，數(shù)值結(jié)果顯示出本方法收斂性好、精度高,可求得任意高跨比下裂紋梁的任意階特征頻率。

(2) 隨著裂縫深度的增加，頻率逐漸減小，裂縫越深，頻率下降越快。高跨比越大，裂縫深度對(duì)基頻的影響越大。

(3) 隨著頻率階次的增加，裂縫深度和高跨比對(duì)梁上下表面豎向振型的影響越大。