一道耐人尋味的面積問題*

(金陵中學(xué)河西分校，江蘇 南京 210019)

某數(shù)學(xué)教研群研討了一道題目如下：

題目如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ADC=45°，S△ADB=6，求AD的長(zhǎng)．

圖1

與常見的題目不同，此題沒有給出任何一條線段的長(zhǎng)度，求解的難度不言而喻．從哪里入手呢？探究解法，耐人尋味．

最自然的想法：作△ADB的高BH，能直接求解嗎？還需要再做些什么？

解題模型的暗示:遇到等腰直角三角形，可將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，或?qū)ⅰ鰾CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，能直接求解嗎？還需要再做些什么？

解題經(jīng)驗(yàn)的積累:面積問題，還能從哪些角度思考？

1 直接作高

解法1如圖2，過點(diǎn)B作BE⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，則

∠AEB=∠AFC=90°，

且

因?yàn)椤螮AC=∠EAB+45°=∠ACD+45°，所以

∠EAB=∠ACD，

從而

△EAB∽△FCA，

可得

于是

進(jìn)而

BE=AD.

又因?yàn)镾△ADB=6,所以

故

評(píng)注僅僅作高BE是不夠的，從∠ADC=45°聯(lián)想構(gòu)造等腰直角三角形解決問題．

圖2 圖3

解法2如圖3，過點(diǎn)B作BE⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在AE的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F使得EF=BE，則

因?yàn)椤螰AC=∠FAB+45°=∠ACD+45°，所以

∠FAB=∠ACD，

從而

△FAB∽△ACD，

可得

于是

故

BE=AD.

又因?yàn)镾△ADB=6,所以

故

評(píng)注僅僅作高BE是不夠的，利用“∠BAC=∠ADC=45°”構(gòu)造“一線三等角”模型，借助相似三角形知識(shí)解決問題．

2 間接作高

分析如何利用好題設(shè)∠ADC=45°是解決本題的關(guān)鍵，其中構(gòu)造等腰直角三角形是常用策略．

解法3如圖4，過點(diǎn)C作CE⊥CD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE，則

∠DEC=∠EDC=45°，CE=CD，

∠DCE=∠ACB，

從而

∠BCE=∠ACD.

又

BC=AC，

于是

△BCE≌△ACD(SAS)，

可得

BE=AD， ∠CEB=∠ADC=45°，

進(jìn)而

∠BEA=90°，

即

BE⊥DE.

因?yàn)镾△ADB=6，所以

故

評(píng)注構(gòu)造等腰直角三角形間接得到△ABD的高BE，并且BE=AD，問題得解．若輔助線改為“將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°”，則需證明點(diǎn)D,A,E在一條直線上，比較麻煩．

圖4 圖5

3 等積轉(zhuǎn)化

解法4如圖5，過點(diǎn)B作BE∥AD交CD于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AE，則

∠BEC=∠ADC=45°=∠BAC，

從而點(diǎn)A,E,C,B共圓，可得

∠AEB=∠ACB=90°，

于是

∠DAE=90°，

即

AE⊥AD且AE=AD.

因?yàn)锽E∥AD，所以

S△ADE=S△ADB=6，

即

故

評(píng)注作平行線實(shí)現(xiàn)△ADB面積的等積轉(zhuǎn)化，意外獲取等腰直角三角形解決問題，令人拍案叫絕．

解法5如圖6，過點(diǎn)C作CE⊥CD，且CE=CD，聯(lián)結(jié)AE，則

∠DEC=∠CDE=45°， ∠ADE=90°.

易證△ACE≌△BCD(SAS)，從而

AE=BD， ∠AEC=∠BDC，

于是

∠AED=45°-∠AEC=45°-∠BDC.

作BF∥AD交DE于點(diǎn)F，則BF⊥DE，可得

∠DAE=90°-∠AED=45°+∠BDC=∠FDB，

從而

Rt△DAE≌Rt△FDB(AAS)，

于是

DF=AD.

因?yàn)锽F∥AD，所以

S△ADF=S△ADB=6，

即

故

評(píng)注利用已有的等腰直角三角形，作等腰直角三角形，構(gòu)造全等三角形，再作平行線實(shí)現(xiàn)△ADB面積的等積轉(zhuǎn)化，意外獲取等腰直角三角形解決問題．

圖6 圖7

4 和差轉(zhuǎn)化

解法6如圖7，過點(diǎn)B作BE⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，則AF=DF.易證△BCE≌△CAF(HL)，從而

BE=FC，AF=CE.

設(shè)AF=DF=CE=m，F(xiàn)C=BE=n，則

S△ABD=S△ADF+S四邊形AFEB-S△DEB，

解得

m2=6，

從而

于是

評(píng)注利用面積的和差關(guān)系，實(shí)現(xiàn)△ADB面積的轉(zhuǎn)化是解決面積問題的常用方法．

5 相似轉(zhuǎn)化

解法7如圖8，以BD為斜邊作等腰Rt△DBE，聯(lián)結(jié)CE，則

從而△ABD∽△CBE，可得

及

因?yàn)椤螧AC=∠ADC=45°，∠ACB=90°，所以

∠DAB+∠ACD=180°，

即

∠ECB+∠ACD=180°，

進(jìn)而

∠DCE=180°-90°=90°.

作CF⊥BE于點(diǎn)F，易證△CED∽△FCE，從而

即

CE2=DE·CF，

從而

故

評(píng)注利用已有的等腰直角三角形，作等腰直角三角形，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似三角形，實(shí)現(xiàn)△ADB面積的轉(zhuǎn)化也是解決問題的一種有效方法．

圖8 圖9

變式1如圖9，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ADC=45°，AD=6，求△ABD的面積．

解如圖9，過點(diǎn)C作CE⊥CD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE，則

∠DEC=∠EDC=45°，CE=CD，

∠DCE=∠ACB,

從而

∠BCE=∠ACD.

又

BC=AC，

于是

△BCE≌△ACD(SAS)，

可得

BE=AD=6， ∠CEB=∠ADC=45°，

進(jìn)而

∠BEA=90°，

即

BE⊥DE，

故

變式2如圖10，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=6，求△ABD的面積．

解如圖10，過點(diǎn)B作BE∥AD交CD于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AE，則

∠BEC=∠ADC=30°=∠BAC，

從而點(diǎn)A,E,C,B共圓，可得

∠AEB=∠ACB=90°，

于是

∠DAE=90°，

即

AE⊥AD，

且

因?yàn)锽E∥AD，所以

圖10 圖11

變式3如圖11，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，∠ADC=β，α+β=90°，AD=m，求△ABD的面積．

解如圖11，過點(diǎn)C作CE⊥CD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE，則

∠ECB=∠DCA.

又

從而

△BCE∽△ACD，

可得

∠CEB=∠CDA，

且

于是

BE=mtanα.

因?yàn)椤螩DA+∠DEC=90°，所以

∠CEB+∠DEC=90°，

即

∠DEB=90°，

從而

BE⊥DE，

于是

評(píng)注變式1～3均可以嘗試用多種解法解決，限于篇幅，本文不再贅述．

解題的“旅行”雖然短暫，但沿途的“風(fēng)景”盡收眼底，美不勝收，“小題大做”值得珍藏．