帶余數除法定理的應用

(成都理工大學 四川 成都 610059)

一、引言

帯余數除法定理是初等數論的一個重要組成部分，其不僅與輾轉相除法有關，還與同余、不定方程等知識有著千絲萬縷的聯系。當余數為0時是整除，當整數為多項式時，就轉換成為多項式帯余數除法定理。帯余數除法定理貫穿于整個數學的學習階段，可以解決一些課本上的數學問題，比如求數列通項公式，求最大公約數等，同時也可以解決生活中所遇到的一些數學問題，比如購物中怎樣最劃算等。本文以求多邊形邊數問題以及角度和購物最優化問題為例來研究其在生活中的應用。

二、帯余數除法定理及其推廣

帯余數除法定理：若a,b是兩個整數，且b>0，則存在兩個整數q及r，使得a=qb+r(0≤r

從定理中，我們可以發現，對于任意一個整數a，以及正整數b而言,a除以b所得到的余數，只能為0,1,2,3,…,b-2,b-1.這一列數中的一個，由此不難從定理中推廣出一些結論：

推論1:兩個整數a,d,被同一個正整數b除所得的余數相同，則整數a,b的差同樣可以被正整數b整除。

證:可設，對于任意不相等的整數q1,q2有：

a=q1b+r(0≤r

a-d=q1b-q2b=(q1-q2)b

∵q1≠q2，且都為整數，則可得到b|(a-d)。

推論2:設a,b是兩個整數，且b<0，則存在不等整數q1,q2及r1,r2，使得a=qb+r成立，即：a=q1b+r1b

農田水利現代化是我國農業現代化發展的重要手段之一。開展農田水利現代化建設，可以滿足人民提高生活水平的需要。但在農田水利現代化建設過程中，不可避免地存在一些機構或個人拿著國家賦予的權利做違規事情的現象。發展農田水利現代化應該堅持原則，嚴格按照相關標準對建設區域進行實地考察。要統籌處理建設事務，選擇適宜的農作物以及科學調配水資源分配供給。

a=q2b+r2b

則必定有|r1|+|r2|=|b| |q1-q2|=1。

證:a=bq+r=bq+b+r-b=b(q+1)+(r-b)，其中b

0

則有|r|+|r-b|=b|q-(q+1)|=1

三、帯余數除法定理在初等數學中的應用

在中學數學中，對多邊形的學習當中，經常會遇到一種求多邊形邊數的以及角度數的問題，這種問題其實可以用帯余數除法來解決。

例1:若多邊形內角和與其中一個外角的總和為780°，求多邊形邊數和內角和

解：在通常情況下，根據學生已有的知識基礎，可以利用不等式來解決此問題。

因為外角范圍為0°～180°，則內角和范圍在600°～780°

則可設多邊形邊數為n，有600°<(n-2)180°<780°

又∵n∈N*∴n=6即該多邊形為六邊形，且內角和為720°

若利用帯余數除法，可以更好的解決這道題，具體為：

設該多邊形邊數為n，該外角為m°，則有：

(n-2)180°+m°=720°變形得：780°÷180°=(n-2)…m°

又∵780°÷180°=4……60°可得n=6，且內角和為720°

由上述兩種方法可知，帯余數除法解決此類問題比用不等式要計算簡便些，只要用180°除題中所給的度數和，商就是多邊形邊數n-2，余數就是該外角的度數。

生活中，我們在逛商場的時候會遇到商場進行促銷活動，會有滿多少即送多少優惠劵的問題，那么怎樣購買才最劃算呢？

例2:某公司計劃在勞動節給每位員工發放一個保溫杯，公司共有108位員工公司采購員到附近的三家批發商城考察，符合公司定位的保溫杯每個199元，三家批發商城的優惠如下：A商城每單購買50各以上的優惠25%;B商城買10個送3個，但不足10個以原價計算；C商城買4個送1個，但不滿4個的仍按原價計算，若你是公司采購員，你會如何購買花錢最少？為多少？

解：對A商城：優惠25%即只賣原價的75%，費用為：

199×108×75%=16119元

對B商城：買13個只花10個的錢，則看108個中又多少個13，即

108=8×13+4此時購買8×10=80個，商城再送8×3=24個，剩下4個用原購買，總費用為：

199×(8×10+4)=16716元

對C商城：相當于買五個只花4個的錢，看108當中有多少個5，即108=21×5+3，這是購買21×4=84個，商城再送21個，余下3個按照原價購買，則總費用為：199×(21×4+3)=17313元。

對三個商城總費用進行對比可以得到結果，在A商城花費最少，A商城花費為16119元。

四、總結

通過學習帯余數除法定理的各類性質，然后將其進行一定的推廣，將帯余數除法定理的應用范圍不斷擴大，豐富了數學世界，更是解決生活中遇到的一些問題，進一步證實了數學來源于生活且服務于生活。