基于排隊(duì)模型的航天器環(huán)模設(shè)備負(fù)載能力分析

李西園，封寶華，張麗娜，王 磊，王 晶,3

（1. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094； 2. 北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191；3. 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094）

0 引言

航天器系統(tǒng)、各單機(jī)均需要在空間環(huán)境模擬（環(huán)模）設(shè)備內(nèi)部進(jìn)行真空熱試驗(yàn)[1]。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)要求，熱平衡試驗(yàn)至少包括極端高溫和極端低溫2個工況，熱真空試驗(yàn)則至少包括4個高、低溫循環(huán)[2]。一般而言，大型組件的真空熱試驗(yàn)對空間環(huán)模設(shè)備的占用時間可達(dá)1周甚至1月以上。我國的空間環(huán)模設(shè)備建設(shè)主要由航天重大型號牽引，著眼于滿足載人飛船、空間站艙段等特殊航天器研制的需求[3]。近年來，隨著導(dǎo)航、通信、遙感等衛(wèi)星的并行研制和高密度發(fā)射，在各種規(guī)模的空間環(huán)模設(shè)備中均出現(xiàn)過試驗(yàn)進(jìn)度沖突的現(xiàn)象。目前，針對試驗(yàn)等待的情況一般只能通過流程優(yōu)化、管理優(yōu)化的方式提升試驗(yàn)效率[4]，以盡量縮短等待時間，而缺少通過數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)方法評估設(shè)備負(fù)載能力、優(yōu)化試驗(yàn)進(jìn)度安排、指導(dǎo)設(shè)備建設(shè)規(guī)劃的相關(guān)研究。

排隊(duì)論屬于數(shù)學(xué)中運(yùn)籌學(xué)的分支學(xué)科，其主要研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象的規(guī)律[5]。通過統(tǒng)計(jì)服務(wù)對象到達(dá)間隔和服務(wù)時間的分布，得出平均排隊(duì)長度、排隊(duì)時間等關(guān)鍵指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，并以此為依據(jù)改進(jìn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)[6]，使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)承載能力、效率的最優(yōu)。目前排隊(duì)論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于服務(wù)行業(yè)優(yōu)化[7]、通信系統(tǒng)接口改進(jìn)[8]、道路負(fù)載能力計(jì)算[9]等過程中。

本文針對某系列中型空間環(huán)模設(shè)備的最大負(fù)載問題，統(tǒng)計(jì)近5年間該系列設(shè)備的系統(tǒng)啟動、關(guān)閉時間，基于M/G/k/∞/∞/FCFS模型建立其排隊(duì)模型，并通過蒙特卡羅方法計(jì)算出不同任務(wù)量、不同試驗(yàn)持續(xù)時間分布下的仿真結(jié)果。該排隊(duì)模型可以給出系列化空間環(huán)模設(shè)備在不同任務(wù)量、不同試驗(yàn)持續(xù)時間分布下的試件平均排隊(duì)長度、平均排隊(duì)時間等關(guān)鍵指標(biāo)，用于評估未來任務(wù)量增多時的環(huán)模設(shè)備利用率，為設(shè)備建設(shè)規(guī)劃提供參考。

1 仿真模型

1.1 系統(tǒng)模型

例某大型AIT試驗(yàn)大廳共有4臺供同時開展試驗(yàn)的中型空間環(huán)模設(shè)備，太陽電池板、天線、微小衛(wèi)星及其他試件依次排隊(duì)等待空閑設(shè)備進(jìn)行真空熱試驗(yàn)。

一般的航天器及組件真空熱試驗(yàn)可以分為試驗(yàn)設(shè)計(jì)、試驗(yàn)準(zhǔn)備、試驗(yàn)進(jìn)行、試驗(yàn)撤收、試驗(yàn)數(shù)據(jù)整理幾個階段，其中在試驗(yàn)準(zhǔn)備、試驗(yàn)進(jìn)行和試驗(yàn)撤收階段需要完全占用空間環(huán)模設(shè)備，期間不能進(jìn)行其他試驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)空間環(huán)模設(shè)備測控系統(tǒng)的啟動、關(guān)閉時間是準(zhǔn)確統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)時間的一種有效方法[10]。本文統(tǒng)計(jì)了2014年至2018年共計(jì)237次調(diào)試與試驗(yàn)任務(wù)的測控系統(tǒng)啟動、關(guān)閉時間，其中間隔5天以上的同名試驗(yàn)按照2次試驗(yàn)計(jì)算，啟動、關(guān)閉時間接近且占用同一容器的多個試驗(yàn)（一般為搭載試驗(yàn)）按照1次試驗(yàn)計(jì)算。試驗(yàn)對空間環(huán)模設(shè)備占用時間T1與測控系統(tǒng)運(yùn)行時間T2的關(guān)系如圖1所示：T1=t1+t2+t3，T2=t2+t3。本文按照T1=1.5×T2來估算環(huán)模設(shè)備占用時間，即認(rèn)為對測控系統(tǒng)占用時間長的復(fù)雜試驗(yàn)，其試驗(yàn)準(zhǔn)備時間也線性增加。

2014年至2018年237次試驗(yàn)任務(wù)的試驗(yàn)間隔時間、試驗(yàn)持續(xù)時間統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1。

表1 試驗(yàn)間隔時間與試驗(yàn)持續(xù)時間統(tǒng)計(jì)Table 1 Statistics of test pieces arrival time and test duration

1.2 試驗(yàn)間隔時間分布

在排隊(duì)模型中，試驗(yàn)間隔時間分布一般有確定型（D）、負(fù)指數(shù)型（M）和k階埃爾朗（Ek）分布等，其中以負(fù)指數(shù)分布最為常見。圖2所示為本文統(tǒng)計(jì)的試驗(yàn)間隔時間分布與負(fù)指數(shù)分布曲線的對比，可以看到二者較為接近。

圖2 試驗(yàn)間隔時間分布Fig.2 Distribution of test intervals

Kolmogorov-Smirnov方法可基于累積分布函數(shù)，檢驗(yàn)一個經(jīng)驗(yàn)分布是否符合某種理論分布或比較兩個經(jīng)驗(yàn)分布是否有顯著性差異[11]。本文統(tǒng)計(jì)的試驗(yàn)間隔近似服從θ=7.19的負(fù)指數(shù)分布，其中參數(shù)θ的標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.47，K-S檢驗(yàn)結(jié)果參數(shù)p為0.13，即選擇顯著性水平α=0.05時，不能拒絕試驗(yàn)間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布的假設(shè)，其概率密度為

式中θ為負(fù)指數(shù)分布的尺度參數(shù)。當(dāng)試驗(yàn)間隔時間分布服從負(fù)指數(shù)分布時，可以認(rèn)為試件到達(dá)為泊松流，即單位時間內(nèi)到達(dá)的試件數(shù)量n服從泊松分布

式中λ為單位時間內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生次數(shù)，取為1/θ。

圖3為月平均試件到達(dá)數(shù)量分布統(tǒng)計(jì)與泊松分布的對比，可以看到單位時間內(nèi)達(dá)到的試件數(shù)量近似服從泊松分布，表明對于試驗(yàn)間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布的假設(shè)是合理的。

圖3 月平均試件到達(dá)數(shù)量分布Fig.3 Distribution of the number of monthly arrived test pieces

1.3 試驗(yàn)持續(xù)時間分布

在排隊(duì)模型中，服務(wù)時間分布一般有指數(shù)型（M）、一般型（G）和k階埃爾朗（Ek）分布等，其中一般型包括正態(tài)分布、Gamma分布等形式。圖4為本文統(tǒng)計(jì)的試驗(yàn)持續(xù)時間分布與負(fù)指數(shù)分布、截?cái)嗾龖B(tài)分布、Gamma分布的對比，并進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，結(jié)果見表2。表中：θ為負(fù)指數(shù)分布的尺度參數(shù)；μ、σ為截?cái)嗾龖B(tài)分布的位置參數(shù)和尺度參數(shù)；α、β為Gamma分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

如表2所示，當(dāng)顯著性水平α=0.05時，不能拒絕試驗(yàn)持續(xù)時間服從Gamma分布的假設(shè)，其概率密度為

圖4 試驗(yàn)持續(xù)時間分布Fig.4 Comparison among distributions of test duration

式中，Gamma分布的形狀參數(shù)α、尺度參數(shù)β的擬合值分別為3.05和3.15。

1.4 排隊(duì)模型構(gòu)建

試件排隊(duì)進(jìn)行真空熱試驗(yàn)的排隊(duì)模型（圖5）可以用M/G/k/∞/∞/FCFS模型描述，即：試驗(yàn)間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布，試件占用空間環(huán)模設(shè)備的時間服從Gamma分布，隊(duì)列為單一隊(duì)列多服務(wù)臺模型，系統(tǒng)容量和試件數(shù)無限制，排序規(guī)則為先到先服務(wù)規(guī)則。

圖5 真空熱試驗(yàn)試件排隊(duì)模型Fig.5 Queuing model for the test pieces

目前對于M/G/k排隊(duì)模型尚沒有公式化的推導(dǎo)過程，平均排隊(duì)時間和平均排隊(duì)長度等指標(biāo)亦沒有明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可采用近似公式給出[12]，但對于不同排隊(duì)長度的概率，則較難通過經(jīng)驗(yàn)公式求解。本文通過MatLab建立了試件排隊(duì)進(jìn)行試驗(yàn)的蒙特卡羅仿真模型，對比不同的試驗(yàn)持續(xù)時間分布對于仿真結(jié)果的影響。仿真工況如表3所示（其中任務(wù)量比以現(xiàn)有任務(wù)量下的θ=7為基準(zhǔn)）。

表3 排隊(duì)模型仿真工況Table 3 Simulation cases

2 計(jì)算結(jié)果分析

本文通過蒙特卡羅方法分別對每個計(jì)算工況進(jìn)行了100次仿真，仿真中的試驗(yàn)持續(xù)時間分布分別采用負(fù)指數(shù)（Exp）分布、截?cái)嗾龖B(tài)（Norm）分布和Gamma分布。統(tǒng)計(jì)排隊(duì)模型關(guān)鍵指標(biāo)平均值見表4，表中：W為試件在試驗(yàn)大廳的停留時間；Wq為試件在試驗(yàn)前的平均排隊(duì)時間；Ws為試件的平均試驗(yàn)時間；Lq為試件平均排隊(duì)長度；N為排隊(duì)系統(tǒng)中的平均試件數(shù)，取等待中試件和試驗(yàn)中試件數(shù)量之和。同時，對工況中試驗(yàn)大廳內(nèi)無空置環(huán)模設(shè)備的概率Pfull進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。

表4 不同任務(wù)量下排隊(duì)模型仿真的關(guān)鍵參數(shù)統(tǒng)計(jì)Table 4 Analysis of key parameters of queuing models with different test task numbers

為了對蒙特卡羅模型的收斂性進(jìn)行評估，引入離散系數(shù)，對于一組仿真中獲得的排隊(duì)模型關(guān)鍵參數(shù)樣本x，其可以表示為

式中：SD(x)為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差；為樣本的平均值。通過離散系數(shù)可以對多組平均值、單位不同的樣本進(jìn)行離散度比較，統(tǒng)計(jì)排隊(duì)模型關(guān)鍵指標(biāo)仿真值的離散系數(shù)如表5所示。可以看到，對于所有計(jì)算工況，多次蒙特卡羅仿真獲得的結(jié)果非常接近，排隊(duì)模型關(guān)鍵參數(shù)的離散系數(shù)均小于0.05，可以認(rèn)為結(jié)果已經(jīng)收斂，即本文通過蒙特卡羅法求解的結(jié)果可以代表該排隊(duì)模型的關(guān)鍵參數(shù)。

表5 排隊(duì)模型關(guān)鍵參數(shù)仿真值的離散系數(shù)Table 5 Coefficients of variation for key parameters of the queue model

圖6為不同任務(wù)量下根據(jù)3種試驗(yàn)持續(xù)時間分布所計(jì)算的試件排隊(duì)長度分布。由圖可見：任務(wù)量較低時，不同的試驗(yàn)持續(xù)時間分布對試件排隊(duì)長度分布影響非常小；但隨著任務(wù)量的增大，負(fù)指數(shù)分布的試驗(yàn)持續(xù)時間分布逐漸與截?cái)嗾龖B(tài)分布和Gamma分布產(chǎn)生差異。

圖6 試件排隊(duì)長度分布Fig.6 Distribution of queue length

圖7和圖8為不同任務(wù)量、不同試驗(yàn)持續(xù)時間分布下，試件進(jìn)行試驗(yàn)前的平均排隊(duì)長度、平均排隊(duì)時間以及試驗(yàn)大廳內(nèi)無空置環(huán)模設(shè)備的概率。可以看到：在空間環(huán)模設(shè)備負(fù)載量相對較低時，由于不同試驗(yàn)持續(xù)時間分布的數(shù)學(xué)期望一致，排隊(duì)時間、排隊(duì)長度等關(guān)鍵指標(biāo)并無差異；隨著任務(wù)量的增大，試驗(yàn)持續(xù)時間的分布對平均排隊(duì)長度和平均排隊(duì)時間均會產(chǎn)生影響，其中截?cái)嗾龖B(tài)分布與Gamma分布的計(jì)算結(jié)果較為接近，負(fù)指數(shù)分布的計(jì)算結(jié)果則偏差較大。這表明，針對真空熱試驗(yàn)的試件排隊(duì)問題，應(yīng)選取與實(shí)際情況最為接近的Gamma分布或截?cái)嗾龖B(tài)分布。此外，當(dāng)試驗(yàn)持續(xù)時間分布不發(fā)生變化時，若任務(wù)量繼續(xù)上升，在達(dá)到當(dāng)前任務(wù)量的2倍前，平均排隊(duì)長度、平均排隊(duì)時間隨任務(wù)量的增加緩慢增加；但若任務(wù)量達(dá)到當(dāng)前任務(wù)量的2.4倍以上時，平均排隊(duì)長度、平均排隊(duì)時間上升斜率迅速變大，現(xiàn)有設(shè)備將難以滿足全部試件的進(jìn)度要求。

圖7 平均排隊(duì)時間和平均排隊(duì)長度Fig.7 Average waiting time and queue length

圖8 無空置環(huán)模設(shè)備的概率Fig.8 Probability of no-vacancy state of facilities

3 結(jié)論

1）本文統(tǒng)計(jì)的試驗(yàn)間隔時間近似服從θ=7.19的負(fù)指數(shù)分布。隨著任務(wù)量的上升，負(fù)指數(shù)分布的尺度參數(shù)θ逐漸降低；試驗(yàn)對空間環(huán)模設(shè)備的占用時間近似服從Gamma分布。

2）當(dāng)任務(wù)負(fù)載量較低時，排隊(duì)模型的關(guān)鍵參數(shù)僅和試驗(yàn)持續(xù)時間分布的數(shù)學(xué)期望有關(guān)，因此不同分布對排隊(duì)關(guān)鍵參數(shù)的影響很小；隨著任務(wù)量增大，模型間差異逐漸增大，選取與實(shí)際情況最接近的Gamma分布或截?cái)嗾龖B(tài)分布計(jì)算結(jié)果較為接近，均可用于對試件的排隊(duì)估算。

3）當(dāng)試驗(yàn)持續(xù)時間等關(guān)鍵參數(shù)不發(fā)生改變時，在任務(wù)量達(dá)到當(dāng)前值的2.0倍之前，平均排隊(duì)時間、排隊(duì)長度不會發(fā)生較大變化；但當(dāng)任務(wù)量達(dá)到當(dāng)前值的2.4倍以上時，平均排隊(duì)時間、平均排隊(duì)長度將會迅速上升，現(xiàn)有設(shè)備數(shù)量將難以滿足全部試件的進(jìn)度要求。

本文建立的排隊(duì)模型可用于估算組批空間環(huán)模設(shè)備的最大試驗(yàn)承載能力，并為未來相應(yīng)設(shè)備的建設(shè)與規(guī)劃提供參考。