城市軌道交通市郊線快慢車開行比例優(yōu)化研究*

楊薛臣 丁小兵 劉志鋼

(上海工程技術(shù)大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，201620,上海//第一作者，碩士研究生)

0 引言

隨著城市尤其是特大城市的快速發(fā)展，中國城市軌道交通進(jìn)入高速發(fā)展時(shí)期。特大城市郊區(qū)因其優(yōu)勢明顯，市郊客流劇增。開行市郊線快慢車能夠較大程度上使運(yùn)能與客流匹配，更加適應(yīng)市郊客流的通勤特點(diǎn)。

國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于軌道交通短時(shí)客流預(yù)測的相關(guān)研究主要匯集在歷史數(shù)據(jù)和實(shí)時(shí)判斷，并且做了較為基礎(chǔ)的理論分析。文獻(xiàn)[1]提出了各個(gè)時(shí)段進(jìn)站乘客起訖點(diǎn)分布的預(yù)測方法和軌道交通客流分布的實(shí)時(shí)算法。文獻(xiàn)[2]研究了基于時(shí)段的市郊軌道交通車站滯留客流的分時(shí)段預(yù)測方法，提出了候車客流與列車載客量之間的影響動(dòng)態(tài)交互模型，為市郊線快慢車客流預(yù)測提供了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[3]總結(jié)了近年來提出的各種短期客流的主要思路和預(yù)測方法，指出了城市軌道交通短期客流預(yù)測未來的研究方向。文獻(xiàn)[4]根據(jù)軌道交通歷史數(shù)據(jù)，利用灰色模型對(duì)軌道交通短期客流進(jìn)行預(yù)測，并基于馬爾科夫鏈對(duì)模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了修正和改進(jìn)。文獻(xiàn)[5]根據(jù)軌道交通客流周期的時(shí)變特征，在灰色預(yù)測模型的基礎(chǔ)之上對(duì)馬爾科夫算法進(jìn)行了改進(jìn)，提高了短時(shí)客流預(yù)測的精確性，理論較為成熟。

以上學(xué)者在客流預(yù)測的研究方面做出了重要貢獻(xiàn)，但是將客流預(yù)測與城市軌道交通快慢車開行比例相結(jié)合的研究還有待完善。

目前，關(guān)于軌道交通快慢車開行比例的相關(guān)研究主要集中在已知開行比例的情況下。文獻(xiàn)[6]研究了不同快慢車開行比例對(duì)旅客出行時(shí)間的影響，提出了不同快慢車比例下的乘客總在途時(shí)間計(jì)算模型。文獻(xiàn)[7]提出了用上、下車的客流量不均衡程度來對(duì)快慢車的開行比例進(jìn)行衡量，并且與平均運(yùn)距綜合考慮計(jì)算開行比例。文獻(xiàn)[8]根據(jù)列車運(yùn)用數(shù)量、線路通過能力、發(fā)車間隔等，對(duì)5種快、普、慢車組合比例的比選方案進(jìn)行分析，篩選出相對(duì)較優(yōu)方案，再通過滿載率以及乘客的主觀選擇因素判斷得到最佳快慢車開行比例。

本文首先研究客流分時(shí)段預(yù)測，繼而對(duì)軌道交通快慢車開行比例的優(yōu)化問題進(jìn)行分析，在模型假設(shè)及約束條件下，且在滿足滿載率的情況下，建立以單方向高峰小時(shí)列車的最大載客量為目標(biāo)的開行比例優(yōu)化模型，并以上海軌道交通16號(hào)線(以下簡稱“16號(hào)線”)為案例進(jìn)行分析。

1 市郊線客流分時(shí)段預(yù)測

市郊線客流具有時(shí)空分布不均的特點(diǎn)，根據(jù)此特點(diǎn)建立基于城市軌道交通分時(shí)段客流的灰色預(yù)測模型，對(duì)市郊客流進(jìn)行預(yù)測。

灰色預(yù)測的基本理論是基于離散的時(shí)間序列，通過將數(shù)據(jù)進(jìn)行累加生成運(yùn)算，建立灰色預(yù)測微分模型，求解生成函數(shù)從而進(jìn)行預(yù)測。在進(jìn)行城市軌道交通客流預(yù)測時(shí)，多數(shù)采用的是一階單變量的GM(1,1)模型：

(1)

式中：

t——時(shí)間；

x(1)——將原始數(shù)據(jù)累加之后得到的新的數(shù)列；

a、u——待定的參數(shù)。

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列X(0)={x1,(0),x2,(0),…,xn,(0)}，其中xk,(0)≥0,k=1,2,…,n。通常情況下，可使用累加生成數(shù)法對(duì)原始數(shù)列進(jìn)行簡單的處理。將原始數(shù)列中前i項(xiàng)元素做一階累加之后生成新的數(shù)列：

X(1)={x1,(1),x2,(1),…,xn,(1)}，xk,(1)≥0

(2)

GM(1,1)模型是單一變量的構(gòu)成一階方程式，在對(duì)其進(jìn)行求解時(shí)，過程比較復(fù)雜。根據(jù)城市軌道交通客流預(yù)測的特征，在對(duì)模型進(jìn)行正式求解時(shí)，可通過最小二乘法對(duì)GM(1,1)模型中的參數(shù)a和u進(jìn)行求解，設(shè)a1為待估參數(shù)向量：

a1=[a,u]T=(BTB)-1BTyn

(3)

(4)

(5)

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，將標(biāo)定的參數(shù)帶入到微分方程，可得預(yù)測時(shí)間跨度內(nèi)各日客流量，具體公式如下：

(6)

qi+1,(0)=qi+1,(1)-qi,(1)

(7)

q1,(0)=x1，(1)

(8)

式中:

qi+1,(0)——模型計(jì)算得到的第i+1天的客流量；

qi+1,(1)——模型計(jì)算得到的前i+1天客流量之和。

以上計(jì)算得出的qi+1,(0)值即為最后預(yù)測結(jié)果，預(yù)算的客流量可以用于開行比例的研究，作為開行比例確定后單位小時(shí)內(nèi)運(yùn)能的對(duì)比。

2 基于決策變量的快慢車開行比例建模及優(yōu)化求解

2.1 快慢車開行比例及優(yōu)化方法假設(shè)

快慢車開行比例的研究以市郊客流為基礎(chǔ)，通過開行比例與列車最大載客量之間的關(guān)系，對(duì)比載客量與預(yù)測客流，運(yùn)用分支定界法求解整數(shù)規(guī)劃模型，最終確定全天各時(shí)段快慢車開行比例。

在模型假設(shè)及約束條件下，并且在滿足滿載率的情況下，建立以單方向高峰小時(shí)列車的最大載客量為目標(biāo)的開行比例優(yōu)化模型，為了便于描述模型，約定如下：

1) 在早晚高峰及非高峰時(shí)段，至少發(fā)出一列快車。

2) 假定各時(shí)段中，客流是均勻到達(dá)的。

3) 客流量均為各站發(fā)送量。

4) 假設(shè)快、慢車的停站時(shí)間均為1 min。

2.2 快慢車開行比例建模及優(yōu)化求解

2.2.1 快慢車開行比例模型

在約束條件及模型假設(shè)下，并且在滿足滿載率的情況下，單方向高峰小時(shí)列車的最大載客量為目標(biāo)函數(shù)，以單位小時(shí)快車開行列數(shù)和單位小時(shí)慢車開行列數(shù)為變量，根據(jù)16號(hào)線實(shí)際情況，高峰時(shí)刻快車3節(jié)編組，慢車6節(jié)編組，非高峰時(shí)刻快車、慢車均為3節(jié)編組，開行3節(jié)編組的列車載客量為744人，6節(jié)編組為1 488人；在早晚高峰時(shí)，慢車與快車之間的發(fā)車間隔、快車與慢車之間的發(fā)車間隔時(shí)間均為8 min；在非高峰時(shí)刻，慢車與快車之間的發(fā)車間隔、快車與慢車之間的發(fā)車間隔時(shí)間均為10 min。

根據(jù)以上條件，得到早晚高峰時(shí)刻整數(shù)線性規(guī)劃如下：

Zmax=744(ω1x1+2ω2x2)

(9)

式中:

Zmax——快慢車開行比例確定后運(yùn)輸?shù)某丝腿藬?shù)；

x1——單位小時(shí)開行快車列數(shù)；

x2——單位小時(shí)開行慢車列數(shù)；

ω1——快車的最大滿載率；

ω2——慢車的最大滿載率；

ω3——從龍陽路車站出發(fā)時(shí)快車的滿載率；

ω4——從龍陽路車站出發(fā)時(shí)慢車的滿載率；

N——各時(shí)段客流預(yù)測值;

xi——單位小時(shí)開行快慢車的列數(shù)。

平峰時(shí)刻整數(shù)線性規(guī)劃如下：

Zmax=744(ω1x1+ω2x2)

(10)

建立以上開行比例優(yōu)化模型，通過分支定界法進(jìn)行求解即可得到與客流匹配的單位小時(shí)開行快慢車的數(shù)量。

2.2.2 快慢車開行比例模型優(yōu)化求解

采用分支定界法對(duì)快慢車開行比例模型進(jìn)行優(yōu)化求解。其步驟歸納為：

步驟1：先不考慮整數(shù)規(guī)劃中的整數(shù)約束條件，對(duì)其松弛問題進(jìn)行最優(yōu)解的求解，若該最優(yōu)解為一整數(shù)解，則其為整數(shù)規(guī)劃問題的最優(yōu)解；否則，以該最優(yōu)解為上界，0為下界進(jìn)行定界。

步驟2：分支，在問題A的最優(yōu)解之中選擇一個(gè)與整數(shù)條件不符的變量xj，該變量值為bj，以[bj]表示小于bj最大的整數(shù)值。構(gòu)造兩個(gè)約束條件：

xj≤[bj]+1

(11)

xj≥[bj]

(12)

將以上得到的約束條件，分別放進(jìn)問題A中，求后續(xù)兩個(gè)規(guī)劃問題A1和A2。

定界，以每一后續(xù)問題為一分值作為求解的結(jié)果，在所有問題的求解結(jié)果中，尋找目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)最大值，使其成為新的上界z1。根據(jù)已切合整數(shù)條件的各個(gè)分支，尋找最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值中的最大值，使其成為新的上界z1。根據(jù)已符合整數(shù)條件的各個(gè)分支，尋找目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)最大值，使其成為新的下界z1，若沒有可行解，則z1=0。

步驟3：比較與剪樹枝，各個(gè)分支當(dāng)中，若最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值中有值小于z2，則將這支去除。若大于z2，且不符合整數(shù)條件，則重復(fù)步驟1。一直到最后得到zn=z2為止，得最優(yōu)整數(shù)解xjn，j=1,…,n。

3 快慢車開行比例實(shí)例分析

3.1 快慢車運(yùn)營概況

16號(hào)線采用快慢車的運(yùn)營模式，為了滿足開行快車的需要，在羅山路站修建了單島四線的越行線，在航頭東站、野生動(dòng)物園站、惠南東站修建了雙島四線的越行線，以及在臨港大道修建了一島一側(cè)配線，每隔1～2個(gè)線路區(qū)間還設(shè)置了渡線。其基本線路結(jié)構(gòu)圖可簡化為圖1。

3.2 16號(hào)線龍陽路快慢車開行比例確定

數(shù)據(jù)來自16號(hào)線龍陽路下行工作日客流調(diào)查，根據(jù)該調(diào)查數(shù)據(jù)預(yù)測下一工作日的客流。表1～表3分別為16號(hào)線工作日早高峰、非高峰和晚高峰單位小時(shí)客流分布。

表1 16號(hào)線龍陽路站工作日早高峰單位小時(shí)客流分布表(7:00—9:00)

表2 16號(hào)線龍陽路站工作日非高峰時(shí)刻客流分布表(15:00—16:00)

注:●為快車停靠站

圖1 16號(hào)線快車開行示意圖

表3 16號(hào)線龍陽路站工作日晚高峰單位小時(shí)客流分布表(17:00—19:00)

以龍陽路晚高峰時(shí)刻為例進(jìn)行開行比例計(jì)算：

根據(jù)式(2)、(3)、(4)可以得到：

(13)

從而得到a=0.006 8，u=10 064.43。依照式(5)、(6)、(7)得出模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：

根據(jù)式(5)、(6)、(7)還可以計(jì)算出預(yù)測值q6,(0)=q6,(1)-q5,(1)=9 693人次/h。即16號(hào)線下一個(gè)工作日晚高峰的預(yù)測客流量為9 693人次/h。

因此式(8)中的N取9 693，根據(jù)快車取3節(jié)編組，慢車6節(jié)編組的情況，加上快車停靠站上下車客流會(huì)更多，故列車從龍陽路站出發(fā)時(shí)取ω1=1.1，ω2=0.9，另外整條線路列車的最大滿載率取ω3=1.3，ω4=1.25。故式(8)可轉(zhuǎn)化為下式：

Zmax=967.2x1+1 860x2

(14)

用分支定界法對(duì)上述整數(shù)規(guī)劃進(jìn)行求解，具體過程如圖2所示：

因此上述線性規(guī)劃的最優(yōu)解為X優(yōu)=(2,6)，即x1=2，x2=6，Zmax=z優(yōu)=13 094人次/h，晚高峰時(shí)刻最優(yōu)的快慢車開行比例為k∶m=1∶3。同理得出龍陽路早高峰時(shí)刻參數(shù)a=0.002 79，u=8 154.08，預(yù)測客流量為8 000人次/h，最優(yōu)快慢車開行比例為k∶m=1∶3；平峰時(shí)刻參數(shù)a=-0.000 787，u=2 230.7，預(yù)測客流量為5 864人次/h，最優(yōu)快慢車開行比例為k∶m=1∶2。最后得出16號(hào)線下一個(gè)工作日全天各時(shí)段快慢車開行比例如表4所示。

圖2 快慢車開行比例整數(shù)規(guī)劃求解過程

表4 16號(hào)線上下行各時(shí)段最優(yōu)快慢車開行比例表

3.3 16號(hào)線快慢車開行方案

根據(jù)上文，晚高峰時(shí)段龍陽路下行快慢車開行比例為1:3，即單位小時(shí)內(nèi)快車開2列，慢車開6列。快車停靠車站為：龍陽路、羅山路、新場、惠南站和滴水湖，停站方案以16號(hào)線實(shí)際情況為準(zhǔn)，慢車采用站站停方式。早晚高峰時(shí)刻每趟列車開行時(shí)間間隔(慢車與慢車間隔、慢車與快車間隔、快車與慢車間隔)均為8 min，非高峰時(shí)刻列車開行時(shí)間間隔為10 min。快車和慢車在各站停站時(shí)間都為1 min(慢車被快車越行的站除外)。快車運(yùn)行一趟的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為45 min，慢車運(yùn)行一趟的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為60 min(除等待快車越行的慢車外)。列車最小追蹤間隔為2 min。

16號(hào)線18:00—20:00時(shí)段龍陽路下行列車運(yùn)行圖如圖3所示，其中單下劃線車站為快車停車站，雙下劃線車站為具備越行條件的車站，其余為普通車站。

由圖3可知，晚高峰18:00—19:00時(shí)段內(nèi)快車發(fā)生了兩次越行，第一次越行發(fā)生在航頭東站，抵達(dá)航頭東站等待快車越行的慢車停站時(shí)間為5 min；第二次越行發(fā)生在惠南東站，此時(shí)抵達(dá)惠南東站等待快車越行的慢車停站時(shí)間為9 min。

圖3 晚高峰龍陽路下行18:00～20:00時(shí)間段快慢車開行方案

4 結(jié)語

主要從城市軌道交通短期客流預(yù)測和快慢車開行比例模型兩個(gè)角度進(jìn)行了開行比例的優(yōu)化研究。研究表明：快慢車開行比例可按一定周期(月或季度)進(jìn)行調(diào)整，可以通過對(duì)各時(shí)段客流進(jìn)行預(yù)測得到與之相匹配的快慢車開行比例，一方面可以減少乘客的滯留，另一方面也可以達(dá)到節(jié)能的目的。需要說明的是，僅僅依靠開行比例的優(yōu)化還不能完全解決市郊線乘客的滯留，今后將結(jié)合線路通過能力與開行比例的匹配情況作綜合研究。