Hermite分數(shù)時延濾波器在聲納信號源仿真逆波束形成中的應(yīng)用

王樂寧， 喻敏， 姚直象， 張曉亮

(1.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院, 湖北 武漢 430063; 2.海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033; 3.中國船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院, 北京 100036)

0 引言

水下信號處理算法研究一直是水聲工程學(xué)者研究的熱點，但由于水下實測數(shù)據(jù)在水聲目標噪聲和海洋環(huán)境噪聲等因素的影響下離散性大，并且試驗過程耗時長、成本高，并不適合直接用于新算法、新技術(shù)的初步測試和可行性檢測。而且各國的真實目標數(shù)據(jù)保密等級高，不易獲得，現(xiàn)有數(shù)據(jù)也很難取得包含可變信號形式的不同目標在整個模式空間內(nèi)的全部樣本，所以水下信號源仿真不僅是水聲技術(shù)的仿真基礎(chǔ)，也是關(guān)乎水下探測技術(shù)和水下對抗技術(shù)發(fā)展的重點問題和熱點問題。

從信號源仿真原理上看，陣元信號仿真的過程可以看成是波束形成的逆過程。傳統(tǒng)的聲納陣列信號波束形成處理方式可分為兩種，即頻域和時域波束形成。相對于時域波束形成，頻域法易使用于多波束形成，但由于現(xiàn)在主流的頻率分解方法不能完全消除子帶對陣列流型矢量的影響，并且波束主軸指向的信號特性不隨頻率變化，波束主瓣寬度內(nèi)非主軸的其他指向信號會有能量損失，且信號帶寬越大、偏離主軸越遠，會引起波束偏移和失真[1-2]。時域波束形成是對時域信號進行實時補償?shù)姆椒ǎ瞬ㄊ频膯栴}。并且對于寬帶信號頻域波束形成需要將時域信號變換到頻域，劃分成子窄帶后進行窄帶相移波束形成。整個過程要保證聲納測向的高分辨率，將會引起計算量大、所需儲存空間多的缺點，相較之下時域直接延時補償法更適合寬帶陣列信號處理，因此信號源仿真采用對基元信號的精確時延即直接時延法來實現(xiàn)。

直接時延法的核心是對各個方向接收的陣列信號進行精確延時補償以保證快速準確地搜索定位，但現(xiàn)有的模擬/數(shù)字(A/D)采樣速率是有限的，不可能無限高，因此陣列信號的延時精度受到限制。傳統(tǒng)提高時間精度的方法可以分為模擬和數(shù)字兩類，但模擬延時線成本高，體積龐大且穩(wěn)定度不高。相比之下，以分數(shù)延時技術(shù)為代表的數(shù)字延遲法結(jié)構(gòu)簡單，更易于實現(xiàn)[3]。傳統(tǒng)的分數(shù)時延濾波器(如最小二乘法分數(shù)時延濾波器、Lagrange插值濾波器)的幅頻特性與群時延特性在信號高頻段性能惡化，因而導(dǎo)致波束形成中信號高頻部分衰減失真變大，數(shù)字波束形成的增益下降[4]。Soontornwong等[5]給出了后向差分、2階中央差分和4階中央差分近似的3階Hermite濾波器的幅頻響應(yīng)和群延時響應(yīng)，但階數(shù)較小，相應(yīng)的分數(shù)延時量也較小。Tseng等[6]驗證了Hermite高階分數(shù)時延濾波器的可行性。隨后，杜強等[1]采用Hermite濾波器對超寬帶(USB)雷達時延波束形成的性能優(yōu)化，但僅考慮了單一延時量的分析。

基于以上研究現(xiàn)狀，本文提出了Hermite可變分數(shù)時延濾波器，即將Hermite濾波器和Farrow型設(shè)計相結(jié)合組成可變分數(shù)時延濾波器用于精確延時，應(yīng)用到聲納直接時延法信號仿真中，并對陣列信號源進行頻域波束形成驗證，以證明Hermite分數(shù)時延濾波器在信號直接時延仿真時衰減少、性能好的特點。

1 分數(shù)時延濾波器

在模擬信號處理中，理想的分數(shù)時延濾波器的信號輸入x(t)和輸出y(t)，需滿足y(t)=x(t-tD)，其中tD為延時量。只要設(shè)計單位沖激響應(yīng)逼近于h(t)=x(t-tD)的線性系統(tǒng)就可以實現(xiàn)。但在數(shù)字系統(tǒng)中，對連續(xù)時間信號進行采樣可以得到y(tǒng)(n)=x(n-D)，其中n為采樣點數(shù)，D=int {D}+d，int{D}表示時延量D的整數(shù)部分，d表示時延量D的小數(shù)部分。從時域角度分析連續(xù)可變的時延可以通過設(shè)計逼近hd(n)=sinc(n-D)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)來實現(xiàn)，從頻域角度分析，設(shè)計的分數(shù)濾波器要滿足系統(tǒng)響應(yīng)[7]為

(1)

|H(ejω)|=1，arg{H(ejω)}=-Dω，

(2)

式中：X(ejω)和Y(ejω)分別為x(n)和y(n)的離散時間傅里葉變換；ω=2πf，f為信號頻率。可以得到其群延遲τg和相位延遲τp分別為

(3)

兩種延遲都能描述系統(tǒng)的時延，對于線性系統(tǒng)或者逼近線性系統(tǒng)來說，群延遲和相位延遲都是一條平坦的曲線，且(3)式在整個歸一化頻率范圍內(nèi)都是常數(shù)D[8]，本文通過逼近理想相位延遲曲線，來設(shè)計分數(shù)時延濾波器。

1.1 Hermite分數(shù)時延濾波器

Hermite分數(shù)時延濾波器是基于Hermite插值多項式近似的時延濾波器。其原理如下：已知N+1個不同的點(t0,x(t0)),(t1,x(t1)),…,(tN,x(tN))和其1階導(dǎo)數(shù)(t0,x′(t0)),(t1,x′(t1)),…,(tN,x′(tN))，則有Hermite插值多項式：

(4)

其滿足于H2N+1(tk)=x(tk)和H′2N+1(tk)=x′(tk)，且H2N+1(t)≈x(t)，t∈[n-N,n].

令tk=n-k，k∈[0,N]，則(4)式可變換為

(5)

根據(jù)文獻[5-6]，(5)式需滿足

(6)

對(6)式左右兩邊進行離散傅里葉變換：

(7)

兩邊同時除以X(ejωD)，得

(8)

由(8)式可知，理想時延濾波器的系統(tǒng)響應(yīng)G(ejωD)可由Hermite插值多項式近似得到，即

G(ejωD)=G1(ejωk)+jωG2(ejωk)，

(9)

此時，進行Z變換z=ejω，Hermite分數(shù)時延濾波器可以基于兩個有限沖激響應(yīng)(FIR)濾波器和一個微分器進行設(shè)計，兩個濾波器分別為G1型FIR濾波器和G2型FIR濾波器：

式中：g1(k)和g2(k)為兩個濾波器的系數(shù)，且滿足

(10)

根據(jù)上述原理，搭建成的Hermite分數(shù)時延濾波器框架如圖1所示。

圖1 Hermite分數(shù)時延濾波器實現(xiàn)框架Fig.1 Framework of Hermite fractional delay filter

對于單波束形成而言，此類時域波束形成相較于傳統(tǒng)的頻域波束，其計算復(fù)雜度會大大降低。這是因為對于N點信號劃分為B個子帶時，其K點的傅里葉變換的復(fù)乘次數(shù)為(NB/2)log2K，劃分子帶時L階多相濾波器組處理復(fù)乘次數(shù)為(L+1)N/2. 而對于Hermite分數(shù)時延濾波器，僅有兩個L階G1型和G2型濾波器以及一個微分器組成。對于G1和G2型濾波器的復(fù)乘次數(shù)為(L+1)N，傳統(tǒng)的微分器也可以用線性相位FIR濾波器或無限沖激響應(yīng)(IIR)濾波器法。相較之下傅里葉變換的復(fù)乘次數(shù)，Hermite時延濾波器計算復(fù)雜度較低。

1.2 Farrow型Hermite延時濾波器

經(jīng)典的Farrow結(jié)構(gòu)由M組2N+1階直接型 FIR濾波器以及M-1個分數(shù)時延乘法器組成[9]。設(shè)計Farrow型的目的是將分數(shù)時延量D獨立于具體的濾波器系數(shù)，使得時延改變時，系統(tǒng)不需重新加載濾波器系數(shù)，避免了大量系數(shù)的存儲，同時時延精度改變時只需改變送入的時延D精度即可[10]。為了實現(xiàn)可變分數(shù)Hermite濾波器的設(shè)計，將Farrow型結(jié)構(gòu)的設(shè)計原理引入Hermite濾波器。

(11)

式中：Am(ejω)和Bm(ejω)分別是am(k)和bm(k)的離散傅里葉變換。此時，進行Z變換z=ejω，得到數(shù)字信號濾波器的設(shè)計方案，即

因此，Hermite分數(shù)時延濾波器可以設(shè)計為延時量獨立的Farrow型濾波器，其框架為圖2所示。

圖2 Farrow型Hermite分數(shù)時延濾波器框架Fig.2 Framework of Farrow-type Hermite fractional time delay filter

2 直接時延補償逆波束形成

陣列信號源仿真一般基于波束形成的逆過程，本文采用直接時延補償逆波束形成進行信號源仿真。直接時延補償波束形成是將陣元接收信號相對參考陣元進行精確時延補償，使接收陣列在來波方向接收能量最大，從而確定來波方向[11-12]。其中精確延時通過采樣間隔的整數(shù)倍延遲和分數(shù)時延濾波器延遲兩部分實現(xiàn)。本文著重研究Hermite分數(shù)時延濾波器相對傳統(tǒng)Lagrange分數(shù)時延濾波器的優(yōu)化性問題，故采用此兩類濾波器進行精確延時。圖3為基于Hermite分數(shù)時延濾波器的直接延時補償波束形成的實現(xiàn)框圖，各陣元信號是將參考信號分成兩路進行處理：一路直接通過A/D轉(zhuǎn)換，經(jīng)過粗延時即整數(shù)延時再經(jīng)G1型FIR數(shù)字濾波器；另一路先通過模擬微分濾波器進行微分后，再經(jīng)過粗延時和G2型FIR數(shù)字濾波器，將兩路信號疊加即完成了該路信號的時延過程。

圖3 直接延時補償逆波束形成的實現(xiàn)框圖Fig.3 Framework of direct delay compensation inverse beamforming

3 仿真分析

3.1 分數(shù)延時插值濾波器頻響特性分析

本文對16階的復(fù)頻響應(yīng)法、切比雪夫加窗法、Lagrange插值法和Hermite插值法設(shè)計的FIR濾波器進行實驗仿真，以濾波器頻率響應(yīng)的均方誤差作為判斷準則，分析各個濾波器的優(yōu)缺性。圖4～圖7分別展示了復(fù)頻響應(yīng)法、切比雪夫加窗法、Lagrange插值法和Hermite插值法分數(shù)時延濾波器的頻率響應(yīng)。可以明顯地看出，Hermite分數(shù)時延濾波器在整個頻域范圍內(nèi)即歸一化角頻率帶寬為[0,π]，其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)都是最為逼近理想分數(shù)時延濾波器的，此類濾波器的效果最佳。

圖4 復(fù)頻響應(yīng)法的分數(shù)時延濾波器頻率響應(yīng)Fig.4 Frequency response of fractional delay filter with complex frequency response method

圖5 切比雪夫法的分數(shù)時延濾波器頻率響應(yīng)Fig.5 Frequency response of fractional delay filter with Chebyshev method

圖6 Lagrange分數(shù)時延濾波器頻率響應(yīng)Fig.6 Frequency response of Lagrange fractional delay filter

圖7 Hermite分數(shù)時延濾波器頻率響應(yīng)Fig.7 Frequency response of Hermite fractional delay filter

在其他3種濾波器之中，復(fù)頻響應(yīng)法的頻率響應(yīng)是最為逼近理想分數(shù)時延濾波器的，此濾波器在延時量D=2.4，頻段[0,0.6π]范圍內(nèi)均方誤差僅為1.74%. 但是此方法計算復(fù)雜，還可能會遇到矩陣計算中的病態(tài)問題，在實際工程中應(yīng)用并不廣泛。與此相比，Lagrange分數(shù)時延濾波器只能保證在[0,0.4π]范圍內(nèi)滿足分數(shù)時延濾波器的設(shè)計要求，其均方誤差為0.93%. 切比雪夫分數(shù)時延濾波器的頻率響應(yīng)只能在帶寬[0,0.4π]內(nèi)保持較為理想的特性，此頻率范圍的均方誤差為1.02%，并且影響此濾波器的因素還包括主旁瓣高度差等。各濾波器在不同頻率范圍內(nèi)的均方誤差如表1所示。

表1 不同頻率范圍內(nèi)各濾波器均方誤差

本文在保證均方誤差最小的前提下，選擇適應(yīng)帶寬盡可能高的濾波器。綜合上述分析，Lagrange分數(shù)時延濾波器的運算量和影響因素相對較少，且在一定帶寬內(nèi)均方誤差最小。Hermite分數(shù)時延濾波器雖然設(shè)計復(fù)雜度相對較高，但是在高帶寬內(nèi)保證了最小的均方誤差。所以本文將采用這兩種方法對各基元信號進行精確延時，從而完成陣元聲壓信號的仿真，并在下文中進行波束形成處理，以驗證Hermite分數(shù)時延濾波器的正確性和優(yōu)化性。

3.2 波束形成驗證

假設(shè)目標聲源處于遠場，信號發(fā)射形式為窄帶CW信號和線性調(diào)頻LFM信號，信號幀長為1 s，脈沖重復(fù)周期為0.2 s，脈寬為0.05 s，窄帶信號的初始位置方位角θ為30°，中心頻率為1 kHz. 寬帶信號的方位角為60°，中心頻率為2 kHz，帶寬為2 kHz. 接收基陣為線性陣列，基陣數(shù)目為16，基陣間距為0.5 m. 將產(chǎn)生的窄帶信號和寬帶信號分別波束形成，圖8為窄帶信號的波束形成圖，圖9為寬帶LFM信號的寬帶頻域波束形成圖。

圖8 窄帶信號的相移波束形成圖Fig.8 Phase-shifting beamforming diagram of narrow band signals

圖9 寬帶LFM信號的寬帶頻域波束形成圖Fig.9 Frequency domain beamforming diagram of wideband LFM signals

首先，由圖8～圖9可知，Hermite分數(shù)時延濾波器延時模式的信號源仿真信號正確估算出了聲源的方位，可以達到波束形成所需的精確時延精度。其次，由圖8可知，Hermite濾波器延時的信號波束形成處理產(chǎn)生的波束圖主瓣寬度相較Lagrange濾波器會窄一些，旁瓣電平數(shù)會相對較小。由圖9可知，Lagrange分數(shù)時延濾波器所產(chǎn)生信號經(jīng)過能量疊加后，相對Hermite分數(shù)時延濾波器所產(chǎn)生的信號能量有近3.8 dB的損失。這是因為Hermite分數(shù)濾波器適用帶寬比較大，信號高頻段經(jīng)過濾波器后衰減較小，而Lagrange分數(shù)時延濾波器的適用帶寬比較窄，可能會使信號高頻段發(fā)生衰減。綜上所述，Hermite分數(shù)時延濾波器不僅能完成陣元聲壓信號的高精度延時，而且可以在較寬頻帶內(nèi)保持分數(shù)時延濾波器的特性。

4 實驗驗證

為了驗證Hermite分數(shù)時延濾波器算法的有效性，在消聲水池進行兩個陣元間時延估計試驗。陣元個數(shù)為2，間距是0.4 m，聲源距離陣元5 m，通過幾何關(guān)系計算得到陣元間的信號延遲為0.006 2 ms，采樣率為108 kHz，故兩路數(shù)字采樣信號之間的信號延遲為0.67個采樣間隔，將信號進行濾波，門限判斷后得到可用實測數(shù)據(jù)，圖10為兩陣元間的實測數(shù)據(jù)。利用Hermite分數(shù)時延濾波器以第1路信號為基準進行分數(shù)時延，得到第2路仿真數(shù)據(jù)，對比實測數(shù)據(jù)驗證分數(shù)時延的正確性。圖11為信號仿真數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)的對比圖。

圖10 基元接收的實測信號Fig.10 Measured signals received by the elements

圖11 仿真數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)對比圖Fig.11 Comparison of simulated and measured data

為了衡量仿真誤差，本文采用均方根誤差作為衡量標準，信號采樣幀長為40 ms，幀數(shù)為10幀，其均方根誤差如表2所示。通過實驗可以得出，Hermite分數(shù)時延濾波器的均方誤差在0.97%左右，證明了Hermite濾波器的分數(shù)延時的可行性。

5 結(jié)論

本文將Farrow型Hermite分數(shù)時延濾波器應(yīng)用到聲納信號源仿真中，通過與現(xiàn)有時延濾波器的性能比較、波束形成驗證以及仿真與試驗數(shù)據(jù)的誤差分析，得出以下結(jié)論：

表2 Hermite分數(shù)時延濾波器仿真數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的均方根誤差

1)Hermite分數(shù)時延濾波的幅頻特性與群時延特性在信號高頻段性能較好，在整個歸一化頻帶內(nèi)的均方誤差較小，表明了此方法在高帶寬信號時延時的優(yōu)勢。

2)基于Hermite分數(shù)時延濾波器的窄帶波束圖主瓣寬度稍窄，旁瓣電平較低；寬帶波束圖的主瓣也接收了更多的信號能量。

3)通過對比實測數(shù)據(jù)，測得Hermite分數(shù)時延濾波器時延信號具有較小的均方誤差，驗證了此方法的有效性。