新加坡初中數學教科書中的探究活動分析①

邢 昀 唐恒鈞

(浙江師范大學教師教育學院 321004)

隨著對人才創新能力培養要求的提升，探究成為各國數學學習的重要方式，探究能力也成為數學核心素養的重要內涵.而教科書是承載課程理念最為核心的載體，也是數學教學基本線索.因此對教科書中的探究活動進行分析有助于更好地理解數學探究教學的實施，也有利于培養學生的探究能力.新加坡的數學教育因其學生在如TMISS、PISA等國際比較中的突出表現而備受關注.以新加坡SHINGLEE出版社2014年出版的《NEW SYLLABUS MATHEMATICS NORMAL(ACADEMIC)》[1](下簡稱《NSMN》)教科書為分析載體，借鑒劉云等在《高中數學必修教科書中的數學探究活動分析》[2]中的分析框架，從內容類型、開放水平和完成方式這3個方面對其教科書第2冊中“函數及其線性圖像”一章的探究活動進行分析，以期為我國數學教育中探究活動的處理提供借鑒.

1 《NSMN》教科書中探究活動概況

教科書中的探究活動是指，在功能上以解決具體問題為目的，要求學生完成“觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明”等數學活動[2].這樣的數學探究活動必然會促進數學基本活動經驗的積累，從而提升學生的數學素養.在分析過程中，以具有上述特征的欄目為分析對象.《NSMN》在其前言部分對教科書欄目設置的說明中指出：“通過調查活動、課堂討論、思考時間、日志撰寫、表現性任務等欄目讓學生獲得學習經驗”.這些欄目與前述所指的探究活動是具有相關性的.因此，本研究主要以“調查活動”，“課堂討論”，“思考時間”，“日志撰寫”，“表現性任務”等顯性欄目為主，考察教科書中的探究活動.另外，在對“函數與線性圖像”一章的分析中發現，其中 “開心一刻”欄目也具有探究性質，因此也被納入分析的范圍.表1呈現了該章探究活動的數量及具體分布.由于在“2.5生活中線性圖像應用”中沒有涉及顯性欄目，在下面的討論中我們也只對前四節內容從探究活動的內容類型、開放水平、完成方式等角度進行的分析.

表1 數學探究活動的數量及分布

2 探究活動的文本分析

2.1 探究活動的內容類型

探究活動的內容類型是指所探究的內容的歸屬，可以細分為數學知識本身的探究和應用數學知識的探究兩類.具體地，數學知識本身的探究指向具體數學知識的學習，一般與數學概念、定理、公式、表示、運算、方法、研究方法等有關[2].而且根據數學內容的性質可以分為陳述性知識探究和程序性知識探究.陳述性知識探究是對數學概念、定理和公式的探究.案例1是一個陳述性知識探究.即通過該活動，實現對坐標系橫向、縱向及對角方向，以及船所占據的位置即坐標概念的感悟.

案例1：坐標概念(第一節中的“課堂討論”)

在標記為“自己”的網格中，需要放置如下五條船：一艘航空母艦AAAAA，一艘戰艦BBBB，一艘潛水艇SSS，一艘巡洋艦CCC，一艘驅逐艦DD，這些船必須水平或豎直地放置；不可以對角放置.如何放置是合適的？

程序性知識探究是指對進行某項操作活動所需知識的探索，與數學表示、運算、方法、研究方法等的學習有關.比如，第一節“課堂討論”中要求學生說出網格中的一個位置，說出“擊沉”或“錯過”，用遮蔽“擊沉”船只和給“錯過”船只畫十字的方式記錄位置等探究活動，讓學生主動且獨立經歷坐標的數學表示過程.

應用數學知識探究針對數學知識的應用，分為模仿性應用探究和創造性應用探究兩種類型.模仿性應用探究中提前將知識應用步驟告訴學生，并給學生提供可以借鑒模仿的應用程序.例如，第一節“日志撰寫”中讓學生用類似于戰艦游戲里的網格繪制一個商場里的樓層示意圖.而在第一節“課堂討論”中要求學生思考“數對中兩數字書寫的順序重要嗎？……你認為他們為什么被叫做有序對？”等問題，但學生并沒有可直接模仿的前例，屬創造性應用探究.學生需要結合網格進行思考，這涉及了數對在網格中的應用，通過創造性應用可以鞏固之前對數對的認識和掌握.將數對概念與網格位置結合起來，使得學生對數對概念的理解更加清晰.

根據上述分類，對新加坡初中教科書“函數及其線性圖像”一章中的探究內容類型進行統計(表2)發現，應用數學知識進行探究的比例明顯多于數學知識本身的探究.而應用數學知識的探究活動中，仔細分析不難發現，雖創造性應用探究的總數多于模仿性應用，但在分布上顯得不如模仿性應用均勻，前者主要分布在第四節“直線表達式 ”，占全部創造性應用探究的69.6%.另外，創造性應用探究以拋出問題的形式呈現，且問題大多以“你”開頭進行發問，具有強烈地啟發學生自主地、創造性思考的引導性.另外，程序性知識的探究顯著多于陳述性知識的探究，前者是后者的5倍之多.

表2 數學探究活動的內容類型統計

2.2 數學探究活動的開放水平

在探究活動中，問題、證據、結論和論證是否已經告訴學生，顯然影響著學生探究的空間[2].據此可以將探究活動的開放水平由低到高界定為4層次.其中，水平1是指問題、證據、結論已經給出但又要求學生進行論證的情形.比如，第二節“思考時間”中直接給出的問題：“y2=x不是函數的表達式因為……如果輸入x的值是負的，輸出的y沒有取值”.水平2是指問題明確，證據已經給出，而結論和論證尚未給出的探究活動.比如，第二節“思考時間”中的問題：“可能有這樣一個函數，使得兩個輸入的x都有相同的y值嗎？(提示：考慮函數表達式y=x2)”.水平3只給出問題的探究活動.水平4是指沒有直接提出問題而鼓勵學生自己提出問題的探究.

根據數學探究活動四水平體系，對“函數及其線性圖像”的探究活動進行分析發現(表3)，《NSMN》并沒有出現水平4的探究活動，以水平2、水平3為主，分別占61.2%和32.8%，并且在章節安排上總體表現出越到后面的小節開放性水平越高.就初中的數學教科書而言，這樣的處理也許是比較理性的.這是因為，水平4對于初中學生而言是比較困難的.而水平1又顯得過于直接，不利于培養學生的探究能力.水平2和水平3在開放性程度上處于中等水平，這既貼近大多數學生的認知發展水平，易于在課堂教學中實施，也利于通過探究不斷變化學生的最近發展區從而提高學生獨立解決探究問題的能力.

特別是，水平3為學生較高水平的探究能力的發展提供了載體.比如，第三節的“課堂討論”中給出如下情境：

Amirah認為“直線上的每一點都滿足函數的表達式y=2x”，與同學討論她的說法是否正確.

這一探究活動的情境性表述十分開放靈活，能引發學生的求知欲與探究興趣.當明確了問題之后，如何尋找證據和條件呢？學生需要先觀察函數的圖像，嘗試找到直線上的一些點并利用坐標知識寫出它們的坐標，進而代入函數表達式，經過多次探究和計算，最終判斷Amirah的說法是否正確.在這一活動中，由于缺少證據和條件，這推動了學生主動探索，大膽嘗試，最終找到破解問題的線索，得出結論和論證.

表3 數學探究活動的開放水平統計

2.3 數學探究內容的完成方式

數學探究活動的完成方式是指在探究活動中所需要的數學研究方法的類型[2]，包括實驗型探究、觀察型探究和思想型探究三類.其中，思想型探究依靠學生邏輯的推理和思維的抽象即可得到解決，觀察型探究需要先用眼觀察得到信息，再結合思考才能完成，實驗型探究要求學生動手操作實驗，觀察并抽象，最終完成探究活動.探究活動完成方式的多樣性展示了學生進行各種探究必要的多種途徑.在教學中，巧妙設計觀察型和實驗型探究，學生的實踐能力將得以提升，而較為純粹的思想型探究則有助于學生思維的靈活性與開放性.生活中的實際問題往往最常用觀察型和實驗型探究，但是卻始終需要思維的引領，后者有利于學生在面臨真實情境時更有效地解決問題.

盡管實驗型探究活動最多，但總體而言三種完成方式的占比大致相當.而且不論是哪種類型的探究，都普遍遵循由易到難、循序漸進的探究順序.比如，利用電子數據表，先把直線y=mx+c中的c值由-3一個單位一個單位地變換到3，讓學生在一次次的觀察中發現圖像的變化，學生有機會總結出c的值總是與x為0時y的坐標相等的規律，從而可以從圖像感知字母c所代表的值的意義，實現數形結合.又比如，在此基礎上，又設計了按0到5，0到-5的順序變化m值的探究活動，最終希望學生探究出“m為正值和m為負值的直線之間的不同”，從而利用信息技術實現了一整套的實驗性探究活動.這樣直觀的探究活動會比教師的講授更加令學生印象深刻，有助于更加透徹地理解數學概念的本質，形成數學知識間的聯系.

3 結論與啟示

3.1 關注程序性知識探究與創造型應用探究，兼顧其他探究的交叉進行

有研究表明，程序性知識與創造性應用探究活動對學生問題解決能力及創新意識的培養作用更大，特別是數學知識的創造性應用，它更能幫助學生學會數學地思維[2].從“函數及其線性圖像”的第一節開始，一直是以程序性知識探究和創造性應用探究占主導地位，最高占據總探究活動的88.2%.這樣的處理有助于引導學生形成自主探索的意識與能力.同時，教科書在內容設置過程中也遵循陳述性知識探究與程序性知識探究、模仿性應用探究與創新性應用探究的交叉進行，這有利于使得探究水平逐級遞升，避免因跨度太大而導致學生難以接受.

3.2 設置不同探究水平間的過渡，穩步推進探究向更高水平發展

與探究活動內容類型類似，“函數及其線性圖像”整體上開放水平較高.不同層次開放水平的探究活動的設置根據學習的主題，有鮮明的比例側重.在本章的前三節內容的設置中，從要求較低的水平2探究活動切入，這有利于用一定難度的探究引發和推動學生積極思考，并使學生有機會體悟坐標系的價值和函數意義與功能.而到第四節，水平3探究活動的比重明顯上升，并超過水平2.可見，在開放水平上，新加坡教科書的設置也是按照學習的進程遞進的.在保證適當探究開放水平的同時也追求著給學生提供更大的探究空間.

3.3 思維和實踐并重，為不同潛能的學生提供不同的發展路徑

從完成方式上看，各種完成方式的探究活動均有，并且從總體上看，三種完成方式分布較為均衡.對于每一種完成方式的探究活動，其數量在第四節均達到了較多，這也體現了隨著知識學習的深入，探究活動設計的最終要求是著力培養學生在不同領域的潛能.操作實驗使數學知識的呈現更加直觀、可視化，也使學生更易于觀察發現規律.觀察能力和動手操作能力都是認識事物十分重要的能力，其敏銳度和靈活度將助推思維的發展，當然思維指導下的觀察和實驗也必將開展得更為有效.

總之，探究能力已成為學生需要養成的一項重要能力，教科書中的探究活動是學生探究能力發展的重要載體.從對新加坡初中數學教科書中“函數及其線性圖像”一章中探究活動的分析中發現，其在探究活動的內容、開放水平及完成方式的設置是有啟示性的.