一類多能級Rosen-Zener模型的精確解

姚紹武 曹洪2) 岑理相?

1)(四川大學物理科學與技術學院,理論物理中心,成都 610065)

2)(重慶交通大學材料科學與工程學院,重慶 400074)

1 引 言

含時外場驅動量子體系是一類非自治量子系統,其研究近年來受到較多關注.研究興趣主要源于兩方面的原因,一是非自治系統的可解性或可積性本身是一個值得探討的課題.例如,若一個系統的哈密頓量顯含時間,其薛定諤方程一般不具有定態解.但如果該系統具有動力學不變量(也稱Lewis不變量[1,2]),則系統仍將有解析解,且解與定態解可作類比.另一方面的原因,是近年來量子調控與量子信息科學領域的發展,促進了人們對含時驅動體系精確解以及以此為基礎的非絕熱調控技術的研究.這方面研究近期取得不少有意義的進展,例如,借用輔助外場實現的無躍遷算法[3]、超絕熱協議[4?6]來完成量子態的非絕熱調控.相似的研究思路早前曾在不同場合被提出[7],近年來這一調控方法更是在多個實驗系統中得以實現和檢驗[6,8?10].此外,相關研究還包括一些新穎的原子布居數轉移非絕熱方案[11?13]、基于逆向求解微分方程實現解析調控等[14,15].

二能級系統的含時驅動體系常被稱為最簡單的非平庸量子體系,長期以來都是人們研究的對象.早期提出的一些二能級驅動模型,例如Landau-Zener模型[16,17]、Rosen-Zener模型[18]、Rabi模型[19,20]等,至今仍受到持續關注.Landau-Zener模型表征典型的能級免交叉動力學,由于其線性驅動場的簡單特性,成為目前量子調控特別是量子態轉移的熱門方案,其可行性在眾多實驗系統中得以研究和檢驗[21?24],可謂歷久彌新.與Landau-Zener模型不同,Rosen-Zener模型中系統裸能級差固定而能級間的耦合隨外場可調,其最初被提出用以研究旋轉磁場中兩能級原子雙斯特恩-蓋拉赫實驗現象[18].多年來對這類驅動模型及其變形方案的研究也從未中斷,除了最初提出的雙曲正割型,涉及的兩能級耦合形式還包括高斯型[25]、指數型[26]及雙曲正切型[27]等.此外Rosen-Zener驅動在非線性體系中的研究也得到一定關注[28,29].

本文研究一類特殊的Rosen-Zener模型及其多能級模型的精確解.以往文獻求解這類體系主要限于二能級模型,常用方法是將系統薛定諤方程升階為二階常微分方程進而轉化為超幾何方程,然后根據超幾何函數研究其演化性質.本文發現在特殊的頻率參數條件下這類模型可以利用代數轉動變換(也稱代數動力學方法[30?32])予以解析求解,其解可以用初等函數表示.后文將詳細闡明這一模型的動力學演化,包括系統的布居數轉移、非絕熱效應以及其多能級推廣系統的解析解與非絕熱動力學行為.另外,本文也會討論系統的Lewis動力學不變量、系統的對偶模型及其可解性.

2 二能級Rosen-Zener模型的精確求解

2.1 原有方法回顧

考慮如下的二能級系統哈密頓量:

其中V(t)描述橫向磁場,e為正常數,描述裸原子能級.原則上,形為(1)式的哈密頓量其薛定諤方程可以通過如下過程化為二階常微分方程.設系統波函數為 |ψ(t)=c1(t)e?iεt|↑+c2(t)eiεt|↓,其中c1(t)與c2(t)為待定系數.將其代入薛定諤方程(令 ?=1):

容易得系數c1,2(t)滿足如下方程:

對方程(3)式再做微分并將(4)式代入,可得:

上述方程容易轉化為超幾何方程從而可以得到超幾何函數解.值得指出,利用上述方法求解二能級驅動系統有過大量研究,包括熟知的Landau-Zener模型、Allen-Eberly模型[33]以及近來的研究工作如Rosen-Zener-Demkov模型[26]、雙曲正切模型[27]及Sech-Tanh模型[34,35]等.當V(t)取雙曲正割形式即V(t)=νsech(t/τ)時,系統的解最早由Rosen和Zener[18]給出.雖然這種情況利用超幾何函數不能給出任意時刻c1(t)的初等函數解,但是對于全時段演化,設若t→?∞系統處在 |↑狀態,即 |c1(?∞)|=1與c2(?∞)=0 ,則可求得t→+∞時系統的躍遷幾率為

2.2 正則變換方法求解二能級Rosen-Zener模型

一般而言,上述將薛定諤方程升階為高階常微分方程的方法不便向多能級系統推廣.以下考慮一類特殊Rosen-Zener模型,研究發現其可以利用正則變換方法嚴格解析求解.后文會將這類模型推廣到多能級系統并證明其亦可解析求解.這類模型的哈密頓量為

與原Rosen-Zener模型一樣,這里的驅動場取雙曲正割型,但要求場強與頻率滿足ν=2ε及ντ=1(實為ντ=?),模型由單一頻率參數ν描述.現對該模型進行求解.同樣設該兩能級系統波函數的一般形式為 |ψ(t)=c1(t)|↑+c2(t)|↓,其中待定系數c1(t)與c2(t)須滿足歸一化條件|c1(t)|2+|c2(t)|2=1.依據薛定諤方程(2)式,有

通過如下變換

可以得到

也就是說,在變換后的新表象中,d1(t)和d2(t)所滿足的方程組已經退耦合.可以稱方程(10)式和(11)式所描述的變換為正則變換或規范變換.該變換是幺正的,變換后d1(t)和d2(t)亦滿足|d1(t)|2+|d2(t)|2=1.上述方程組的解從而可以表示為d1(t)=μ1e?iνt/2,d2(t)=μ2eiνt/2,其中μ1,2由系統初始條件決定.分別取μ1=1 ,μ2=0 或μ1=0 ,μ2=1,并將得到的d1(t)和d2(t)代入方程(10)式和(11)式中,即可得到滿足系統薛定諤方程的兩個特解,亦即系統的動力學基矢:

如果初始時刻t→?∞系統處在 |↑態上,隨時間演化系統狀態將由基矢決定.演化過程中系統向 |↓狀態躍遷的幾率為

在t→+∞時,顯然系統仍將回到 |↑態上,也就是說經過整體演化躍遷幾率為零.這與(6)式結果(須取 1/τ=ν)一致.

值得指出,上述解析解使得我們可以描述系統在演化過程中的非絕熱躍遷.定義表征系統哈密頓量(7)式的瞬時絕熱本征態.由于時一致,故描述了演化過程中絕熱態的保留幾率則描述非絕熱效應所致的絕熱態之間的躍遷幾率.圖1分別畫出了驅動過程中上述布居數以及非絕熱效應隨時間的演變.

3 多能級模型及其精確解

3.1 規范變換及系統的動力學演化

下面將上一節中提出的正則變換求解方法推廣到相應的多能級系統.為此,研究如下哈密頓量:

其中J是角動量算符,其分量滿足對易關系當角動量量子數時,這個哈密頓量就是上面求解的哈密頓量(7)式.欲利用前述變換方法處理目前代數系統,需要采用特定形式轉動變換(也稱規范變換[30]).結果表明,對上述驅動模型采用如下變換可以為求解帶來便利:

在新表象中容易得到 |ψg(t)滿足協變薛定諤方程i?t|ψg(t)=Hg(t)|ψg(t),相應有效哈密頓量Hg(t)可表達為

其中X(t)三個分量的具體形式為:

容易驗證,如果取

可以得到X1(t)=X2(t)=0 以及X3(t)=ν,從而

也就是說,在做規范變換后的新表象,協變薛定諤方程中的有效哈密頓量不再顯含時間,系統因而具有定態解:

從而有:

注意到方程(21)式中α(t)的表達式,可以檢驗這一結果與方程(14)式和(15)式完全一致.

及

圖2 (a)初態為 |1 態時系統演化過程中的非絕熱躍遷Fm1(t)(m=0,±1).其中 |1→|?1 躍遷幾率非常小,在 t=0 時 F?11≈0.0028 ;(b)初態為 |0 態時系統演化過程中的非絕熱躍遷 Fm0(t),其中F10(t)=F?10(t)Fig.2.(a)Nonadiabaticity-induced transition of the initial state |1 during the evolution.The transition probability from |1 to |?1 is very small with F?11≈0.0028 at t=0;(b)nonadiabaticity-induced transition of the initial state |0 during the evolution,where F10(t)=F?10(t).

3.2 系統的動力學不變量

前面已經得到多能級Rosen-Zener模型的精確解.按照代數動力學方法本身[30],上述求解過程表明該系統具有Lewis動力學不變量

其中α(t),β(t)由方程(21)式給出.欲檢驗I(t)是否滿足

可考察其分量方程.記I(t)≡R(t)·J,根據(21)式和(31)式,可知

從而可以直接驗證(32)式的分量方程均成立:

根據(31)式,I(t)的本征態可表示為對比方程(24)式可以看到僅相差一相位,此即所謂的Lewis總相位[1,2]:

4 討 論

哈密頓量(17)式存在一個對偶系統:

容易檢驗,該系統具有如下動力學不變量

其中α(t),β(t)仍由方程(21)式給出.這一結果可以通過對上面動力學不變量分量方程(34)式直接觀察得到.實際上,這樣的對偶變換對兩分量形式哈密頓量是普適的.由于哈密頓量H′(t)與H(t)僅x分量相差一負號只要將不變量算子x,y分量做替換Rx(t)→?Rx(t),Ry(t)→?Ry(t),則分量方程(34)式仍能成立.上述變換I(t)→I′(t)相當于將角度參數α(t),β(t)換成?α(t)與?β(t).也就是說,對于上面的對偶哈密頓量(36)式,可以采用規范變換前述代數動力學求解方法依然有效.

5 結 論

本文用代數動力學方法精確求解了一類多能級Rosen-Zener模型,討論了系統波函數演化、非絕熱躍遷以及動力學不變量算子.以往對這類體系基于超幾何方程的求解方法難以推廣至多能級系統,我們的方法克服了這一缺點.值得指出的是,盡管從形式上看代數動力學方法能夠普適處理這類含時驅動系統,但是對于具體給定的驅動外場,如何確定規范變換并不是一個平庸的問題.本文采用了由Jx與Jy生成元生成的規范變換,形式上與以往采用由Jy與Jz生成的轉動稍有不同.雖然它們在數學上是等價的,但是本文的做法表明采用不同形式能為求解特定系統帶來便利.這為今后進一步研究含時體系提供了一個可以借鑒的的思路.